高二数学同步检测 2-2-2《反证法》 新人教A版选修2-2

反证法

一、选择题

1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是(　　)

A．有一个解　　　　　　

B．有两个解

C．至少有三个解 

D．至少有两个解

[答案]　C

[解析]　在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.

2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为(　　)

A．a、b、c都是奇数

B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数

C．a、b、c都是偶数

D．a、b、c中至少有两个偶数

[答案]　B

[解析]　a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选B.

3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是(　　)

A．假设三内角都不大于60°

B．假设三内角都大于60°

C．假设三内角至多有一个大于60°

D．假设三内角至多有两个大于60°

[答案]　B

[解析]　“至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”．故应选B.

4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是(　　)

A．假设a，b，c都是偶数

B．假设a、b，c都不是偶数

C．假设a，b，c至多有一个偶数

D．假设a，b，c至多有两个偶数

[答案]　B

[解析]　“至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数．

5．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是(　　)

A．a<b 

B．a≤b

C．a＝b 

D．a≥b

[答案]　B

[解析]　“a>b”的否定应为“a＝b或a<b”，即a≤b.故应选B.

6．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为(　　)

A．一定是异面直线 

B．一定是相交直线

C．不可能是平行直线 

D．不可能是相交直线

[答案]　C

[解析]　假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.

7．设a，b，c∈(－∞，0)，则三数a＋，c＋，b＋中(　　)

A．都不大于－2

B．都不小于－2

C．至少有一个不大于－2

D．至少有一个不小于－2

[答案]　C

[解析]　＋＋

＝＋＋

∵a，b，c∈(－∞，0)，

∴a＋＝－≤－2

b＋＝－≤－2

c＋＝－≤－2

∴＋＋≤－6

∴三数a＋、c＋、b＋中至少有一个不大于－2，故应选C.

8．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则(　　)

A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行

B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直

C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交

D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面

[答案]　B

[解析]　对于A，若存在直线n，使n∥l且n∥m

则有l∥m，与l、m异面矛盾；对于C，过点P与l、m都相交的直线不一定存在，反例如图(l∥α)；对于D，过点P与l、m都异面的直线不唯一．

9．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是(　　)

A．甲　 　　

B．乙　 　　

C．丙　 　　

D．丁

[答案]　C

[解析]　因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手．故应选C.

10．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2…)，试证“数列{xn}或者对任意正整数n都满足xn<xn＋1，或者对任意正整数n都满足xn>xn＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为(　　)

A．对任意的正整数n，都有xn＝xn＋1

B．存在正整数n，使xn＝xn＋1

C．存在正整数n，使xn≥xn＋1且xn≤xn－1

D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0

[答案]　D

[解析]　命题的结论是“对任意正整数n，数列{xn}是递增数列或是递减数列”，其反设是“存在正整数n，使数列既不是递增数列，也不是递减数列”．故应选D.

二、填空题

11．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．

[答案]　没有一个是三角形或四边形或五边形

[解析]　“至少有一个”的否定是“没有一个”．

12．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是________________．

[答案]　a，b都不能被5整除

[解析]　“至少有一个”的否定是“都不能”．

13．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：

①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；

②所以一个三角形中不能有两个直角；

③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.

正确顺序的序号排列为____________．

[答案]　③①②

[解析]　由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.

14．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：

假设______________．设全体质数为p1、p2、…、pn，令p＝p1p2…pn＋1.

显然，p不含因数p1、p2、…、pn.故p要么是质数，要么含有______________的质因数．这表明，除质数p1、p2、…、pn之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．

[答案]　质数只有有限多个　除p1、p2、…、pn之外

[解析]　由反证法的步骤可得．

三、解答题

15．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.

求证：a>0，b>0，c>0.

[证明]　用反证法：

假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，

不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，

可得c>－(a＋b)，

又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)

ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab

即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2

∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，

这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假设不成立．

因此a>0，b>0，c>0成立．

16．已知a，b，c∈(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于.

[证明]　证法1：假设(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a都大于.∵a、b、c都是小于1的正数，∴1－a、1－b、1－c都是正数.≥＞＝，

同理＞，＞.

三式相加，得

＋＋＞，

即＞，矛盾．

所以(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a不能都大于.

证法2：假设三个式子同时大于，即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，三式相乘得

(1－a)b(1－b)c(1－c)a>3①

因为0<a<1，所以0<a(1－a)≤2＝.

同理，0<b(1－b)≤，0<c(1－c)≤.

所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤3.②

因为①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．

17．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.

(1)若a＋b≥0，求证：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；

(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．

[解析]　(1)证明：∵a＋b≥0，∴a≥－b.

由已知f(x)的单调性得f(a)≥f(－b)．

又a＋b≥0⇒b≥－a⇒f(b)≥f(－a)．

两式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．

(2)逆命题：

f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)⇒a＋b≥0.

下面用反证法证之．

假设a＋b<0，那么：

⇒f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．

这与已知矛盾，故只有a＋b≥0.逆命题得证．

18．(2010·湖北理，20改编)已知数列{bn}的通项公式为bn＝n－1.求证：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．

[解析]　假设数列{bn}存在三项br、bs、bt(r<s<t)按某种顺序成等差数列，由于数列{bn}是首项为，公比为的等比数列，于是有bt>bs>br，则只可能有2bs＝br＋bt成立．

∴2·s－1＝r－1＋t－1.

两边同乘3t－121－r，化简得3t－r＋2t－r＝2·2s－r3t－s，

由于r<s<t，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．

故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列．