2013-2014学年高中数学人教A版选修4-1知能达标演练：2-4弦切角的性质 Word版含解析
展开一、选择题
1．如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F.已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE、OF、DE、DF，那么∠EDF等于
( )．
A．40° B．55°
C．65° D．70°
解析 ∵∠B＝50°，∠C＝60°，
∴∠A＝70°，∴∠EOF＝110°，
∴∠EDF＝55°.
答案 B
2．如图所示，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为
( )．
A．2 B．3
C．2 D．4
解析 连接BC，则∠ACB＝90°，
又AD⊥EF，
∴∠ADC＝90°，
即∠ADC＝∠ACB，
又∵∠ACD＝∠ABC，
∴△ABC∽△ACD，
∴AC2＝AD·AB＝12，
即AC＝2.
答案 C
3．如图所示，经过⊙O上的点A的切线和弦BC的延长线相交于点P，若∠CAP＝40°，∠ACP＝100°，则∠BAC所对的弧的度数为
( )．
A．40° B．100° C．120° D．30°
解析 ∵AP是⊙O 的切线，∴∠ABC＝∠CAP＝40°，
又∠ACP＝100°，∴∠BAC＝∠ACP－∠ABC＝60°，
即∠BAC所对的弧的度数为120°.
答案 C
4．如图所示，AB是⊙O直径，直线EF切⊙O于B，C、D为⊙O上的点，∠CBE＝40°，＝，则∠BCD的度数是
( )．
A．110° B．115° C．120° D．135°
解析 由AB⊥EF得∠ABC＝90°－∠CBE＝50°，
∴2∠ABC＝100°，又＝，∴50°，
∴∠BCD＝(180°＋50°)＝115°.
答案 B
二、填空题
5．如图所示，AD切⊙O于点F，FB，FC为⊙O的两弦，请列出图中所有的弦切角________________________．
解析 弦切角的三要素：(1)顶点在圆上，(2)一边与圆相交，(3)一边与圆相切．三要素缺一不可．
答案 ∠AFB、∠AFC、∠DFC、∠DFB
6．如图所示，已知AB与⊙O相切于点M，且＝，且、的长为圆周长的四分之一，则∠AMC＝________，∠BMC＝________，∠MDC＝________，∠MOC＝______.
解析 弦切角等于所夹弧所对的圆周角，等于所夹弦所对圆心角度数的一半．
答案 45° 135° 45° 90°
7．如图所示，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧上的点，若∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.
解析 连接OB、OC，
则OB⊥AB，OC⊥AC，
∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°，
∴∠BDC＝∠BOC＝50°.
答案 50°
8．如图所示，AC切⊙O于点A，∠BAC＝25°，则∠B的度数为________．
解析 ∵∠BAC＝∠AOB，
∴∠AOB＝2×25°＝50°，
∴∠B＝×(180°－50°)＝65°.
答案 65°
三、解答题
9．如图所示，已知BC是⊙O的弦，P是BC延长线上一点，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，∠ACB＝80°，求∠P的度数．
解 因为PA与⊙O相切于点A，
所以∠PAC＝∠ABP＝25°.
又因为∠ACB＝80°，所以∠ACP＝100°.
又因为∠PAC＋∠PCA＋∠P＝180°，
所以∠P＝180°－100°－25°＝55°.
10．如图所示，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝130°，AD是⊙O的直径，过B作⊙O的切线FE，求∠ABE的度数．
解 因为四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠C＝130°，所以∠A＝50°.
连接OB，则∠ABO＝50°，所以∠AOB＝80°.
又因为∠ABF＝∠AOB＝40°，
所以∠ABE＝180°－∠ABF＝180°－40°＝140°，
即∠ABE＝140°.
11．(拓展深化)如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线XY切⊙O于点C，BD∥XY，AC、BD相交于E.
(1)求证：△ABE≌△ACD；
(2)若AB＝6 cm，BC＝4 cm，求AE的长．
(1)证明 因为XY是⊙O的切线，所以∠1＝∠2.
因为BD∥XY，所以∠1＝∠3，∴∠2＝∠3.
因为∠3＝∠4，所以∠2＝∠4.
因为∠ABD＝∠ACD，又因为AB＝AC，
所以△ABE≌△ACD.
(2)解 因为∠3＝∠2，∠ABC＝∠ACB，
所以△BCE∽△ACB，＝，AC·CE＝BC2.
因为AB＝AC＝6 cm，BC＝4 cm，
所以6·(6－AE)＝16.所以AE＝ cm.
