人教版新课标A必修52.3 等差数列的前n项和导学案及答案

2．3 等差数列的前n项和

（一）教学目标

1．理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式、前n项和；

2. 体会等差数列与一次函数的关系。

（二）教学重、难点

重点：掌握等差数列的前n项和公式；体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系。

难点：等差数列前n项和公式推导，灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的问题

（三）教学过程

提出问题：1、如何证明一个数列是等差数列？

2、怎么求等差数列的前n项和？

3、等差数列的前n项和公式怎么写？怎样从函数的角度去理解？

高斯故事：1+2+3+……+100=？当时，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101×50=5050

高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，…，n，…前100项的和的问题。

课堂讨论：1、他运用了等差数列的什么性质？还有其它方法吗？

2、这种方法可以推广到求一般等差数列的前n项和吗？

得出结论：

等差数列求和公式：

一般地，称为数列的前n项的和，用表示，即

1、“倒序相加法”进行求和。  

 由此得到等差数列的前n项和的公式

对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。

2、除此之外，等差数列还有其他方法吗？

=

 3、这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道和n，不同点是第一个公式还需知道，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。

课堂讨论：已知数列的前n项为，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

例题讲解：

例1、已知数列的通项，求其前n项和。

例2、已知等差数列，，其中前5项的和为10，求通项公式和前n项和。

例3、已知等差数列，，求.

例4、已知等差数列，。

（1）从第几项开始有；（2）求此数列的前n项和的最大值。

拔高练习：已知等差数列中，，求。

课堂小结: 等差数列的前n项和的公式和

课后思考：已知等差数列的前n项和为，求使得最大的序号n的值.