选修2-32.3离散型随机变量的均值与方差测试题

选修2-3第二章 随机变量及其分布 综合检测

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知随机变量X满足D(X)＝2，则D(3X＋2)＝(　　)

A．2　　　　 B．8　　　　

C．18　　　　 D．20

[答案]　C

[解析]　D(3X＋2)＝9D(X)＝18.

2．离散型随机变量X的概率分布列如下：

则c等于(　　)

A．0.1     B．0.24 

C．0.01    D．0.76

[答案]　A

[解析]　c＝1－(0.2＋0.3＋0.4)＝0.1.

3．设服从二项分布X～B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是15和，则n、p的值分别是(　　)

A．50，    B．60， 

C．50，    D．60，

[答案]　B

[解析]　由得.

4．某次语文考试中考生的分数X～N(90,100)，则分数在70～110分的考生占总考生数的百分比是(　　)

A．68.26%    B．95.44% 

C．99.74%    D．31.74%

[答案]　B

5．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是，则该随机变量的方差等于(　　)

A．10     B．100 

C.     D.

[答案]　C

[解析]　由正态分布密度曲线上的最高点知＝，∴D(X)＝σ2＝.

6．(2010·山东文，6)在某项项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：

90　89　90　95　93　94　93

去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为(　　)

A．92,2    B．92,2.8 

C．93,2    D．93,2.8

[答案]　B

[解析]　本题考查了方差及平均值的概念，数据设置便于运算属基础题，可各减去90，得0,0,3,4,3.＝2，∴平均数为92，方差

＝2.8，选B.

7．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4、0.5，则恰有一人击中敌机的概率为(　　)

A．0.9     B．0.2 

C．0.7     D．0.5

[答案]　D

[解析]　设事件A、B分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，事件恰有一人击中敌机的概率为P(A＋B)＝P(A)·(1－P(B))＋(1－P(A))·P(B)＝0.5.

8．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为(　　)

A．恰有1只是坏的

B．4只全是好的

C．恰有2只是好的

D．至多有2只是坏的

[答案]　C

[解析]　X＝k表示取出的螺丝钉恰有k只为好的，则P(X＝k)＝(k＝1、2、3、4)．

∴P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，∴选C.

9．某计算机网络有n个终端，每个终端在一天中使用的概率为p，则这个网络在一天中平均使用的终端个数为(　　)

A．np(1－p)   B．np

C．n     D．p(1－p)

[答案]　B

[解析]　每天平均使用的终端个数X～B(n，p)，每天平均使用的终端个数值即E(X)＝np，故答案选B.

10．在高三某个班中，有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么，其中数学成绩优秀的学生数X～B，则P(X＝k)＝Ck·5－k取最大值时k的值为(　　)

A．0     B．1 

C．2     D．3

[答案]　B

[解析]　

由

解得≤k≤，又因为k∈N*，所以k＝1.

11．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2.又已知E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2的值为(　　)

A.     B. 

C．3     D.

[答案]　C

[解析]　∵E(X)＝x1＋x2＝.

∴x2＝4－2x1，D(X)＝2×＋2×＝.

∵x1＜x2，∴，∴x1＋x2＝3.

12．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是(　　)

A.A1     B．A2 

C．A3     D．A4

[答案]　C

[解析]　A1的均值为50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7.

A2的均值为70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5.

A3的均值为－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45

＝45.7.

A4的均值为98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6.

∴选方案A3.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)

13．将一颗骰子连掷100次，则点6出现次数X的均值E(X)＝________.

[答案]　

[解析]　这是100次独立重复试验，X～B，

∴E(X)＝100×＝.

14．一离散型随机变量X的概率分布列为

且E(X)＝1.5，则a－b＝________.

[答案]　0

[解析]　∵∴

∴a－b＝0.

15．(2009·上海·理7)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望(均值)E(ξ)________(结果用最简分数表示)

[答案]　

[解析]　本题考查概率、互斥事件、数学期望，以及运用知识解决问题的能力．

由题意，ξ的可能取值为0,1,2，则P(ξ＝0)＝＝，

P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.

∴ξ的分布列为

∴ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝.

16．(2010·安徽理，15)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．

①P(B)＝；

②P(B|A1)＝；

③事件B与事件A1相互独立；

④A1，A2，A3是两两互斥的事件；

⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．

[答案]　②④

[解析]　由条件概率知②正确．④显然正确．而且P(B)＝P(B∩(A1∪A2∪A3))

＝P(B∩A1)＋P(B∩A2)＋P(B∩A3)

＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)

＝·＋·＋·＝.

故①③⑤不正确．

三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本题满分12分)袋中有5个大小相同的小球，其中1个白球和4个黑球，每次从中任取一球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止．求取球次数X的均值和方差．

[解析]　取球次数X是一个随机变量，X的所有可能值是1、2、3、4、5.为了求X的均值和方差，可先求X的分布列．

P(X＝1)＝＝0.2，

P(X＝2)＝×＝0.2，

P(X＝3)＝××＝0.2，

P(X＝4)＝×××＝0.2，

P(X＝5)＝××××＝0.2.

于是，我们得到随机变量X的分布列

由随机变量的均值和方差的定义可求得：

E(X)＝1×0.2＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.2＋5×0.2

＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，

D(X)＝(1－3)2×0.2＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.2＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.2＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.

[点评]　把5个小球排成一排，在每一个位置上是白球的概率都是，∴P(X＝k)＝，k＝1、2、3、4、5.

18．(本题满分12分)9粒种子种在甲，乙，丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种．

(1)求甲坑不需要补种的概率；

(2)求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；

(3)求有坑需要补种的概率(精确到0.001)．

[解析]　(1)因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3＝，

所以甲坑不需要补种的概率为1－＝＝0.875.

(2)3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为

C××2≈0.041.

(3)因为3个坑都不需要补种的概率为3，所以有坑需要补种的概率为1－3≈0.330.

19．(本题满分12分)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75，

Ⅰ.求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；

Ⅱ.经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为X，求随机变量X的均值．

[解析]　分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A1、A2、A3.

Ⅰ.设E表示第一次烧制后恰好有一件合格，则

P(E)＝P(A1··)＋P(·A2·)＋P(··A3)＝0.5×0.4×0.6＋0.5×0.6×0.6＋0.5×0.4×0.4＝0.38.

Ⅱ.解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p＝0.3，所以X～B(3,0.3)，故E(X)＝np＝3×0.3＝0.9.

解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A、B、C，则

P(A)＝P(B)＝P(C)＝0.3，

所以P(X＝0)＝(1－0.3)3＝0.343，

P(X＝1)＝3×(1－0.3)2×0.3＝0.441，

P(X＝2)＝3×0.32×0.7＝0.189，

P(X＝3)＝0.33＝0.027.

于是，E(X)＝1×0.441＋2×0.89＋3×0.027＝0.9.

20．(本题满分12分)(2010·浙江杭州高二检测)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．

(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；

(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；

(3)设随机变量X为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求X的分布列．

[解析]　(1)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，那么P(EA)＝＝.

即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是.

(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，

那么P(E)＝＝.

所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P()＝1－P(E)＝.

(3)随机变量X可能取的值为1,2，事件“X＝2”是指有两人同时参加A岗位服务，则P(X＝2)＝＝.所以P(X＝1)＝1－P(X＝2)＝，X的分布列为：

21.(本题满分12分)坛子里放着5个相同大小，相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：

(1)第一次拿出绿皮鸭蛋的概率；

(2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率；

(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．

[解析]　设第1次拿出绿皮鸭蛋为事件A，第2次拿出绿皮鸭蛋为事件B，则第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋为事件AB.

(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的基本事件数为μ(Ω)＝A＝20.

又μ(A)＝A×A＝12.于是P(A)＝＝＝.

(2)因为μ(AB)＝A＝6，所以P(AB)＝＝＝.

(3)解法一：由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为

P(B|A)＝＝＝.

解法二：因为μ(AB)＝6，μ(A)＝12，所以P(B|A)

＝＝＝.

22．(本题满分14分)(2010·山东理，20)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：

①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；

②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；

③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束．

假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为，，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响．

(1)求甲同学能进入下一轮的概率；

(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.

[分析]　本题考查了相互独立事件同时发生的概率、考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望的知识，考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力．解决的关键是理解题意，对于(1)问可借助对立事件解决，第(2)问的关键是分清每种情况的含义．

[解析]　(1)因为甲同学能进入下一轮与淘汰出局互为对立事件，所以甲同学能进入下一轮的概率为1－×＋××＋××＝.

(2)ξ可能取2,3,4，则

P(ξ＝2)＝×＝；P(ξ＝3)＝××＋××＝；

P(ξ＝4)＝1－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝1－－＝，

所以ξ的分布列为

数学期望E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝.