高中数学人教版新课标A选修2-32.3离散型随机变量的均值与方差课后练习题

2.3　离散型随机变量的均值与方差

2.3.1　离散型随机变量的均值

课后篇巩固探究

基础巩固

1.若随机变量X的分布列为

则其数学期望E(X)等于(　　)

A.1 B. 

C.4.5 D.2.65

解析E(X)=1×0.55+4×0.3+6×0.15=2.65.

答案D

2.已知篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0分.若某运动员罚球的命中率是0.7,则他罚球6次的总得分X的均值是(　　)

A.0.70 B.6 

C.4.2 D.0.42

解析总得分X~B(6,0.7),E(X)=6×0.7=4.2.

答案C

3.若随机变量X的分布列如下表,则E(5X+4)等于(　　)

A.16 B.11 

C.2.2 D.2.3

解析由题中表格可求E(X)=0×0.3+2×0.2+4×0.5=2.4,故E(5X+4)=5E(X)+4=5×2.4+4=16.故选A.

答案A

4.现有10张奖券,8张2元的、2张5元的,某人从中随机抽取3张,则此人得奖金额的均值是(　　)

A.6 B.7.8 

C.9 D.12

解析设此人的得奖金额为X,则X的所有可能取值为12,9,6.P(X=12)=,P(X=9)=,P(X=6)=,故E(X)=7.8.

答案B

5.已知ξ~Bn,,η~Bn,,且E(ξ)=15,则E(η)等于(　　)

A.5 B.10 

C.15 D.20

解析因为ξ~Bn,,

所以E(ξ)=.

又E(ξ)=15,则n=30.

所以η~B30,.

故E(η)=30×=10.

答案B

6.一个高考考生咨询中心有A,B,C三条咨询热线,已知某一时刻热线A,B占线的概率均为0.5,热线C占线的概率为0.4,各热线是否占线相互之间没有影响,假设该时刻有X条占线,则E(X)=　　　　　. 

解析随机变量X可能的取值为0,1,2,3,依题意知P(X=0)=0.15,P(X=1)=0.4,P(X=2)=0.35,P(X=3)=0.1.

故E(X)=0×0.15+1×0.4+2×0.35+3×0.1=1.4.

答案1.4

7.某射手射击所得环数ξ的分布列如下:

已知ξ的期望E(ξ)=8.9,则y的值为　　　　　　　. 

解析由

解得y=0.4.

答案0.4

8.某次考试中,第一大题由12个选择题组成,每题选对得5分,不选或错选得0分.小王选对每题的概率为0.8,则其第一大题得分的均值为　　　　　　. 

解析设小王选对的个数为X,得分为Y=5X,则X~B(12,0.8),E(X)=np=12×0.8=9.6,

E(Y)=E(5X)=5E(X)=5×9.6=48.

答案48

9.盒中装有5节同品牌的五号电池,其中混有2节废电池,现在无放回地每次取一节电池检验,直到取到好电池为止.求:

(1)抽取次数X的分布列;

(2)抽取次数X的均值.

解(1)由题意知,X的可能取值为1,2,3.

P(X=1)=,

P(X=2)=,

P(X=3)=.

所以X的分布列为

(2)E(X)=1×+2×+3×=1.5.

10.为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚,为了更好地了解市民的态度,在普通行人中随机选取了200人进行调查,得到如下数据:

(1)若用表中数据所得频率代替概率,则处罚10元时与处罚20元时行人会闯红灯的概率的差是多少?

(2)若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚,在两个路口进行试验.

①求这两种金额之和不低于20元的概率;

②若用X表示这两种金额之和,求X的分布列和数学期望.

解(1)由条件可知,处罚10元时行人会闯红灯的概率与处罚20元时行人会闯红灯的概率的差是.

(2)①设“两种金额之和不低于20元”的事件为A,从5种金额中随机抽取2种,总的抽选方法共有=10种,满足金额之和不低于20元的有6种,故所求概率P(A)=.

②根据条件,X的可能取值为5,10,15,20,25,30,35,分布列为

故E(X)=5×+10×+15×+20×+25×+30×+35×=20.

能力提升

1.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的数学期望E(X)>1.75,则p的取值范围是              (　　)

A. B.

C. D.

解析根据题意,X的所有可能取值为1,2,3,且P(X=1)=p,P(X=2)=p(1-p),P(X=3)=(1-p)2,则E(X)=p+2p(1-p)+3(1-p)2=p2-3p+3,依题意有E(X)>1.75,则p2-3p+3>1.75,解得p>或p<,结合p的实际意义,可得0<p<,即p∈.

答案B

2.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球,从中任取2个,则取出的球的最大编号X的期望为              (　　)

A. B. 

C.2 D.

解析因为口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球,从中任取2个,所以取出的球的最大编号X的可能取值为2,3,所以P(X=2)=,P(X=3)=,所以E(X)=2×+3×.

答案D

3.设l为平面上过点(0,1)的直线,l的斜率k等可能地取-2,-,-,0,,2,用ξ表示坐标原点到l的距离,则随机变量ξ的数学期望E(ξ)=　　　　　. 

解析当l的斜率k为±2时,直线l的方程为±2x-y+1=0,此时坐标原点到l的距离ξ=;

当k为±时,ξ=;

当k为±时,ξ=;

当k为0时,ξ=1.由古典概型的概率公式可得分布列如下:

故E(ξ)=+1×.

答案

4.已知箱中装有除颜色外其他都相同的4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出的3个球所得分数之和,则X的均值E(X)=　　　　　. 

解析X=3,4,5,6,P(X=3)=,

P(X=4)=,

P(X=5)=,

P(X=6)=,

所以X的分布列为

X的均值E(X)=.

答案

5.设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3).又X的均值E(X)=3,则a+b=　　　　　　　. 

解析∵P(X=1)=a+b,P(X=2)=2a+b,P(X=3)=3a+b,

∴E(X)=1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)=3,

∴14a+6b=3.①

又∵(a+b)+(2a+b)+(3a+b)=1,

∴6a+3b=1.②

∴由①②可知a=,b=-.∴a+b=-.

答案-

6.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.

(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;

(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和数学期望.

解(1)由题意知,参加集训的男生、女生各有6名.

参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为.

因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-.

(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3.

P(X=1)=,P(X=2)=,

P(X=3)=.

所以X的分布列为

因此,X的数学期望为

E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1×+2×+3×=2.

7.小王在某社交网络的朋友圈中,向在线的甲、乙、丙随机发放红包,每次发放1个.

(1)若小王发放5元的红包2个,求甲恰得1个的概率;

(2)若小王发放3个红包,其中5元的2个,10元的1个.记乙所得红包的总钱数为X,求X的分布列和期望.

解(1)设“甲恰得1个红包”为事件A,

则P(A)=.

(2)X的所有可能取值为0,5,10,15,20.

P(X=0)=,

P(X=5)=,

P(X=10)=,

P(X=15)=,

P(X=20)=.

X的分布列为

故E(X)=0×+5×+10×+15×+20×.

8.(选做题)某城市出租汽车的起步价为10元,行驶路程不超过4 km时租车费为10元,若行驶路程超出4 km,则按每超出1 km加收2元计费(超出不足1 km 的部分按1 km计).从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km.某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客,由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定,每停车5分钟按1 km路程计费),这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量.设他所收租车费为η.

(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式;

(2)若随机变量ξ的分布列为

求所收租车费η的数学期望;

(3)已知某旅客实付租车费38元,而出租汽车实际行驶了15 km,问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?

解(1)依题意得,η=2(ξ-4)+10,

即η=2ξ+2.

(2)E(ξ)=15×0.1+16×0.5+17×0.3+18×0.1=16.4.

∵η=2ξ+2,∴E(η)=2E(ξ)+2=34.8(元).

故所收租车费η的数学期望为34.8元.

(3)由38=2ξ+2,得ξ=18,5×(18-15)=15.

所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟.