2020年山东省枣庄市台儿庄区中考数学一调试卷解析版

这是一份2020年山东省枣庄市台儿庄区中考数学一调试卷解析版，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020年山东省枣庄市台儿庄区中考数学一调试卷
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
1．下列运算正确的是（　　）
A．（﹣2x2）3＝﹣6x6 B．（3a﹣b）2＝9a2﹣b2
C．﹣a（x﹣1）2＝﹣ax2+2ax﹣a D．x2+x3＝x
2．支付宝与“快的打车”联合推出优惠，“快的打车”一夜之间红遍大江南北．据统计，2014年“快的打车”账户流水总金额达到47.3亿元，47.3亿用科学记数法表示为（　　）
A．4.73×108 B．4.73×109 C．4.73×1010 D．4.73×1011
3．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（　　）

A．30° B．20° C．15° D．14°
4．关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是（　　）
A．m≤ B．m≤且m≠0 C．m＜1 D．m＜1且m≠0
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣
6．已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则a+b的值是（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．0
7．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是（　　）

A． B． C．﹣1 D．
8．从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a、c，则关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数解的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，则sin∠ABO的值为（　　）

A． B． C． D．
10．如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（　　）

A．EH＝HG
B．四边形EFGH是平行四边形
C．AC⊥BD
D．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍
11．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是（　　）
①abc＜0
②b2﹣4ac＜0
③2a＞b
④（a+c）2＜b2

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作边BC的垂线AF交DC的延长线于点E，点F是垂足，连接BE、DF，DF交AC于点O．则下列结论：①四边形ABEC是正方形；②CO：BE＝1：3；③DE＝BC；④S四边形OCEF＝S△AOD，正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共6小题，满分24分．只填写最后结果，每小题填对得4分．
13．（4分）计算的结果是　 　．
14．（4分）分解因式：﹣2x2y+16xy﹣32y＝　 　．
15．（4分）如果不等式组的解集是x＜a﹣4，则a的取值范围是　 　．
16．（4分）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α+β）＝　 　．

17．（4分）如图，在△ABC中，已知AC＝3，BC＝4，点D为边AB的中点，连结CD，过点A作AE⊥CD于点E，将△ACE沿直线AC翻折到△ACE′的位置．若CE′∥AB，则CE′＝　 　．

18．（4分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y＝x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，则An的坐标是　 　．

三、解答题：本大题共7小题，满分60分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（8分）先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解．
20．（8分）我州实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高．某学校为了了解学生自主学习、合作交流的具体情况，对部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差．现将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了　 　名同学，其中C类女生有　 　名；
（2）将下面的条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，学校想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男生、一位女生的概率．

21．（7分）如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB＝2．
（1）求k的值；
（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，求的值．

22．（7分）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．
AB，AD，DC之间的等量关系　 　；
（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．

23．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．
（1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：H为CE的中点；
（3）若BC＝10，cosC＝，求AE的长．

24．（10分）如图①，在正方形ABCD中，AB＝6，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N
（1）求证：MN＝MC；
（2）若DM：DB＝2：5，求证：AN＝4BN；
（3）如图②，连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：5，求NG•CG的值．

25．（11分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；
（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．
①若△AOC与△BMN相似，请直接写出t的值；
②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．


2020年山东省枣庄市台儿庄区中考数学一调试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
1．下列运算正确的是（　　）
A．（﹣2x2）3＝﹣6x6 B．（3a﹣b）2＝9a2﹣b2
C．﹣a（x﹣1）2＝﹣ax2+2ax﹣a D．x2+x3＝x
【分析】根据幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，以及合并同类项的法则解答．
【解答】解：A、原式＝﹣8x6，运算不正确，不符合题意．
B、原式＝9a2﹣6ab+b2，运算不正确，不符合题意．
C、原式＝﹣ax2+2ax﹣a，运算正确，符合题意．
D、x2与x3不是同类项，不能合并，运算不正确，不符合题意．
故选：C．
2．支付宝与“快的打车”联合推出优惠，“快的打车”一夜之间红遍大江南北．据统计，2014年“快的打车”账户流水总金额达到47.3亿元，47.3亿用科学记数法表示为（　　）
A．4.73×108 B．4.73×109 C．4.73×1010 D．4.73×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：47.3亿＝47 3000 0000＝4.73×109，
故选：B．
3．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（　　）

A．30° B．20° C．15° D．14°
【分析】延长两三角板重合的边与直尺相交，根据两直线平行，内错角相等求出∠2，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：如图，∠2＝30°，
∠1＝∠3﹣∠2＝45°﹣30°＝15°．
故选：C．

4．关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是（　　）
A．m≤ B．m≤且m≠0 C．m＜1 D．m＜1且m≠0
【分析】先由根的判别式可得方程有两个实数根则△≥0，根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣2（m﹣1），x1x2＝m2，再由x1+x2＞0，x1x2＞0，解出不等式组即可．
【解答】解：∵△＝[2（m﹣1）]2﹣4m2＝﹣8m+4≥0，
∴m≤，
∵x1+x2＝﹣2（m﹣1）＞0，x1x2＝m2＞0
∴m＜1，m≠0
∴m≤且m≠0．
故选：B．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣
【分析】根据三角形的内角和得到∠B＝60°，根据圆周角定理得到∠COD＝120°，∠CDB＝90°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∴∠COD＝120°，
∵BC＝4，BC为半圆O的直径，
∴∠CDB＝90°，
∴OC＝OD＝2，
∴CD＝BC＝2，
图中阴影部分的面积＝S扇形COD﹣S△COD＝﹣2×1＝﹣，
故选：A．
6．已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则a+b的值是（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．0
【分析】将代入即可求出a与b的值；
【解答】解：将代入得：
，
∴a+b＝2；
故选：B．
7．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是（　　）

A． B． C．﹣1 D．
【分析】由正方形的性质得出∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1，证明Rt△ABE≌Rt△ADF得出∠BAE＝∠DAF，求出∠DAF＝15°，在AD上取一点G，使∠GFA＝∠DAF＝15°，则AG＝FG，∠DGF＝30°，由直角三角形的性质得出DF＝FG＝AG，DG＝DF，设DF＝x，则DG＝x，AG＝FG＝2x，则2x+x＝1，解得：x＝2﹣，得出DF＝2﹣，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BAE＝∠DAF，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠DAF＝30°，
∴∠DAF＝15°，
在AD上取一点G，使∠GFA＝∠DAF＝15°，如图所示：
∴AG＝FG，∠DGF＝30°，
∴DF＝FG＝AG，DG＝DF，
设DF＝x，则DG＝x，AG＝FG＝2x，
∵AG+DG＝AD，
∴2x+x＝1，
解得：x＝2﹣，
∴DF＝2﹣，
∴CF＝CD﹣DF＝1﹣（2﹣）＝﹣1；
故选：C．

8．从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a、c，则关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数解的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先画出树状图即可求得所有等可能的结果与使ac≤4的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：

由树形图可知：一共有12种等可能的结果，其中使ac≤4的有6种结果，
∴关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数解的概率为，
故选：C．
9．在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，则sin∠ABO的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】点A，B落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形AOB的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案．
【解答】解：过点A、B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，
∵点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）上，点B在y＝（x＞0）上，
∴S△AOD＝，S△BOE＝2，
又∵∠AOB＝90°
∴∠AOD＝∠OBE，
∴△AOD∽△OBE，
∴（）2＝，
∴
设OA＝m，则OB＝2m，AB＝，
在Rt△AOB中，sin∠ABO＝
故选：D．

10．如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（　　）

A．EH＝HG
B．四边形EFGH是平行四边形
C．AC⊥BD
D．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍
【分析】根据题意和图形，可以判断各个选项中的结论是否成立，本题得以解决．
【解答】解：∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，在▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，
∴EH＝AD＝2，HG＝AB＝1，
∴EH≠HG，故选项A错误；
∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，
∴EH＝，
∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；
由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；
∵点E、F分别为OA和OB的中点，
∴EF＝，EF∥AB，
∴△OEF∽△OAB，
∴，
即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，故选项D错误，
故选：B．
11．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是（　　）
①abc＜0
②b2﹣4ac＜0
③2a＞b
④（a+c）2＜b2

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由函数图象可知a＜0，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同的交点；即可得出b﹣2a＞0，b＜0；△＝b2﹣4ac＞0；再由图象可知当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0；当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0；即可求解．
【解答】解：由函数图象可知a＜0，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同的交点，
∴b﹣2a＞0，b＜0；
△＝b2﹣4ac＞0；
abc＞0；
当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0；
当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0；
∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2＜b2；
∴只有④是正确的；
故选：A．
12．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作边BC的垂线AF交DC的延长线于点E，点F是垂足，连接BE、DF，DF交AC于点O．则下列结论：①四边形ABEC是正方形；②CO：BE＝1：3；③DE＝BC；④S四边形OCEF＝S△AOD，正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①先证明△ABF≌△ECF，得AB＝EC，再得四边形ABEC为平行四边形，进而由∠BAC＝90°，得四边形ABCD是正方形，便可判断正误；
②由△OCF∽△OAD，得OC：OA＝1：2，进而得OC：BE的值，便可判断正误；
③根据BC＝AB，DE＝2AB进行推理说明便可；
④由△OCF与△OAD的面积关系和△OCF与△AOF的面积关系，便可得四边形OCEF的面积与△AOD的面积关系．
【解答】解：①∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴BF＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DE，
∴∠BAF＝∠CEF，
∵∠AFB＝∠CFE，
∴△ABF≌△ECF（AAS），
∴AB＝CE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴四边形ABEC是正方形，故此题结论正确；
②∵CF∥AD，
∴△OCF∽△OAD，
∴OC：OA＝CF：AD＝CF：BC＝1：2，
∴OC：AC＝1：3，∵AC＝BE，
∴OC：BE＝1：3，故此小题结论正确；
③∵AB＝CD＝EC，
∴DE＝2AB，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴AB＝BC，
∴DE＝2×，故此小题结论正确；
④∵△OCF∽△OAD，
∴，
∴，
∵OC：AC＝1：3，
∴3S△OCF＝S△ACF，∵S△ACF＝S△CEF，
∴，
∴，故此小题结论正确．
故选：D．
二、填空题：本大题共6小题，满分24分．只填写最后结果，每小题填对得4分．
13．（4分）计算的结果是　1+4　．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方，然后合并同类项，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：
＝1+3﹣（﹣）
＝1+4．
故答案为：1+4．
14．（4分）分解因式：﹣2x2y+16xy﹣32y＝　﹣2y（x﹣4）2　．
【分析】根据提取公因式以及完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣2y（x2﹣8x+16）
＝﹣2y（x﹣4）2
故答案为：﹣2y（x﹣4）2
15．（4分）如果不等式组的解集是x＜a﹣4，则a的取值范围是　a≥﹣3　．
【分析】根据口诀“同小取小”可知不等式组的解集，解这个不等式即可．
【解答】解：解这个不等式组为x＜a﹣4，
则3a+2≥a﹣4，
解这个不等式得a≥﹣3
故答案a≥﹣3．
16．（4分）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α+β）＝　　．

【分析】给图中相关点标上字母，连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α＝30°，同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α，由∠AEC＝60°结合∠AED＝∠AEC+∠CED可得出∠AED＝90°，设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝a，利用勾股定理可得出AD的长，再结合余弦的定义即可求出cos（α+β）的值．
【解答】解：给图中相关点标上字母，连接DE，如图所示．
在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，
∴∠α＝30°．
同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．
又∵∠AEC＝60°，
∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．
设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝2×sin60°•a＝a，
∴AD＝＝a，
∴cos（α+β）＝＝．
故答案为：．

17．（4分）如图，在△ABC中，已知AC＝3，BC＝4，点D为边AB的中点，连结CD，过点A作AE⊥CD于点E，将△ACE沿直线AC翻折到△ACE′的位置．若CE′∥AB，则CE′＝　　．

【分析】如图，作CH⊥AB于H．首先证明∠ACB＝90°，解直角三角形求出AH，再证明CE′＝AH即可．
【解答】解：如图，作CH⊥AB于H．

由翻折可知：∠AE′C＝∠AEC＝90°，∠ACE＝∠ACE′，
∵CE′∥AB，
∴∠ACE′＝∠CAD，
∴∠ACD＝∠CAD，
∴DC＝DA，
∵AD＝DB，
∴DC＝DA＝DB，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝＝5，
∵•AB•CH＝•AC•BC，
∴CH＝，
∴AH＝＝，
∵CE′∥AB，
∴∠E′CH+∠AHC＝180°，
∵∠AHC＝90°，
∴∠E′CH＝90°，
∴四边形AHCE′是矩形，
∴CE′＝AH＝，
故答案为．
18．（4分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y＝x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，则An的坐标是　（2n﹣1﹣1，2n﹣1）　．

【分析】先求出A1、A2、A3的坐标，找出规律，即可得出答案．
【解答】解：∵直线y＝x+1和y轴交于A1，
∴A1的坐标（0，1），
即OA1＝1，
∵四边形C1OA1B1是正方形，
∴OC1＝OA1＝1，
把x＝1代入y＝x+1得：y＝2，
∴A2的坐标为（1，2），
同理A3的坐标为（3，4），
…
An的坐标为（2n﹣1﹣1，2n﹣1），
故答案为：（2n﹣1﹣1，2n﹣1），
三、解答题：本大题共7小题，满分60分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（8分）先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解．
【分析】原式第一项括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，求出不等式组的解集，找出解集中的整数解得到x的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷﹣＝•﹣＝＝﹣，
不等式组，
解得：﹣2＜x＜3，即整数解为：﹣1，0，1，2，
当x＝2时，原式＝﹣．
20．（8分）我州实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高．某学校为了了解学生自主学习、合作交流的具体情况，对部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差．现将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了　50　名同学，其中C类女生有　8　名；
（2）将下面的条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，学校想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男生、一位女生的概率．

【分析】（1）由扇形图可知，B类总人数为10+15＝25人，由条形图可知B类占50%，则样本容量为：25÷50%＝50人；由条形图可知，C类占40%，则C类有50×40%＝20人，结合条形图可知C类女生有20﹣12＝8人；
（2）根据（1）中所求数据补全条件统计图；
（3）根据被调查的A类和D类学生男女生人数列表即可得出答案．
【解答】解：（1）样本容量：25÷50%＝50，
C类总人数：50×40%＝20人，
C类女生人数：20﹣12＝8人．
故答案为：50，8；

（2）补全条形统计图如下：


（3）将A类与D类学生分为以下几种情况：

男A
女A1
女A2
男D
男A男D
女A1男D
女A2男D
女D
女D男A
女A1女D
女A2女D
∴共有6种结果，每种结果出现可能性相等，
∴两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为：
P（一男一女）＝＝．
21．（7分）如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB＝2．
（1）求k的值；
（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，求的值．

【分析】（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，利用等腰三角形的性质可得出DH的长，利用勾股定理可得出AH的长，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；
（2）由OB的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出BC的长，利用三角形中位线定理可求出MH的长，进而可得出AM的长，由AM∥BC可得出△ADM∽△BDC，利用相似三角形的性质即可求出的值．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．
∵OA＝AB，AH⊥OB，
∴OH＝BH＝OB＝2，
∴AH＝＝6，
∴点A的坐标为（2，6）．
∵A为反比例函数y＝图象上的一点，
∴k＝2×6＝12．
（2）∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，
∴BC＝＝3．
∵AH∥BC，OH＝BH，
∴MH＝BC＝，
∴AM＝AH﹣MH＝．
∵AM∥BC，
∴△ADM∽△BDC，
∴＝＝．

22．（7分）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．
AB，AD，DC之间的等量关系　AD＝AB+DC　；
（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．

【分析】（1）由“AAS”可证△CEF≌△BEA，可得AB＝CF，即可得结论；
（2）延长AE交DF的延长线于点G，由“AAS”可证△AEB≌△GEC，可得AB＝CG，即可得结论；
【解答】解：（1）AD＝AB+DC
理由如下：∵AE是∠BAD的平分线
∴∠DAE＝∠BAE
∵AB∥CD
∴∠F＝∠BAE
∴∠DAF＝∠F
∴AD＝DF，
∵点E是BC的中点
∴CE＝BE，且∠F＝∠BAE，∠AEB＝∠CEF
∴△CEF≌△BEA（AAS）
∴AB＝CF
∴AD＝CD+CF＝CD+AB
（2）AB＝AF+CF
理由如下：如图②，延长AE交DF的延长线于点G

∵E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∵AB∥DC，
∴∠BAE＝∠G．且BE＝CE，∠AEB＝∠GEC
∴△AEB≌△GEC（AAS）
∴AB＝GC
∵AE是∠BAF的平分线
∴∠BAG＝∠FAG，
∵∠BAG＝∠G，
∴∠FAG＝∠G，
∴FA＝FG，
∵CG＝CF+FG，
∴AB＝AF+CF
23．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．
（1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：H为CE的中点；
（3）若BC＝10，cosC＝，求AE的长．

【分析】（1）连结OD、AD，如图，先利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，则根据等腰三角形的性质得BD＝CD，再证明OD为△ABC的中位线得到OD∥AC，加上DH⊥AC，所以OD⊥DH，然后根据切线的判定定理可判断DH为⊙O的切线；
（2）连结DE，如图，有圆内接四边形的性质得∠DEC＝∠B，再证明∠DEC＝∠C，然后根据等腰三角形的性质得到CH＝EH；
（3）利用余弦的定义，在Rt△ADC中可计算出AC＝5，在Rt△CDH中可计算出CH＝，则CE＝2CH＝2，
然后计算AC﹣CE即可得到AE的长．
【解答】（1）解：DH与⊙O相切．理由如下：
连结OD、AD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
而AO＝BO，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴OD⊥DH，
∴DH为⊙O的切线；
（2）证明：连结DE，如图，
∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形，
∴∠DEC＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠DEC＝∠C，
∵DH⊥CE，
∴CH＝EH，即H为CE的中点；
（3）解：在Rt△ADC中，CD＝BC＝5，
∵cosC＝＝，
∴AC＝5，
在Rt△CDH中，∵cosC＝＝，
∴CH＝，
∴CE＝2CH＝2，
∴AE＝AC﹣CE＝5﹣2＝3．

24．（10分）如图①，在正方形ABCD中，AB＝6，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N
（1）求证：MN＝MC；
（2）若DM：DB＝2：5，求证：AN＝4BN；
（3）如图②，连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：5，求NG•CG的值．

【分析】（1）作ME∥AB、MF∥BC，证四边形BEMF是正方形得ME＝MF，再证∠CME＝∠FMN，从而得△MFN≌△MEC，据此可得证；
（2）由FM∥AD，EM∥CD知＝＝＝，据此得AF＝2.4，CE＝2.4，由△MFN≌△MEC知FN＝EC＝2.4，AN＝4.8，BN＝6﹣4.8＝1.2，从而得出答案；
（3）把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，先证△MCG≌△HCG得MG＝HG，由BG：MG＝3：5可设BG＝3a，则MG＝GH＝5a，继而知BH＝4a，MD＝4a，由DM+MG+BG＝12a＝6得a＝，知BG＝，MG＝，证△MGN∽△CGB得＝，从而得出答案．
【解答】解：（1）如图①，过M分别作ME∥AB交BC于E，MF∥BC交AB于F，

则四边形BEMF是平行四边形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠BME＝45°，
∴ME＝BE，
∴平行四边形BEMF是正方形，
∴ME＝MF，
∵CM⊥MN，
∴∠CMN＝90°，
∵∠FME＝90°，
∴∠CME＝∠FMN，
∴△MFN≌△MEC（ASA），
∴MN＝MC；

（2）由（1）得FM∥AD，EM∥CD，
∴＝＝＝，
∴AF＝2.4，CE＝2.4，
∵△MFN≌△MEC，
∴FN＝EC＝2.4，
∴AN＝4.8，BN＝6﹣4.8＝1.2，
∴AN＝4BN；

（3）如图②，把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，

∵△DMC≌△BHC，∠BCD＝90°，
∴MC＝HC，DM＝BH，∠CDM＝∠CBH＝45°，∠DCM＝∠BCH，
∴∠MBH＝90°，∠MCH＝90°，
∵MC＝MN，MC⊥MN，
∴△MNC是等腰直角三角形，
∴∠MNC＝45°，
∴∠NCH＝45°，
∴△MCG≌△HCG（SAS），
∴MG＝HG，
∵BG：MG＝3：5，
设BG＝3a，则MG＝GH＝5a，
在Rt△BGH中，BH＝4a，则MD＝4a，
∵正方形ABCD的边长为6，
∴BD＝6，
∴DM+MG+BG＝12a＝6，
∴a＝，
∴BG＝，MG＝，
∵∠MGC＝∠NGB，∠MNG＝∠GBC＝45°，
∴△MGN∽△CGB，
∴＝，
∴CG•NG＝BG•MG＝．
25．（11分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；
（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．
①若△AOC与△BMN相似，请直接写出t的值；
②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

【分析】（1）将A、B关坐标代入y＝﹣x2+bx+c中，即可求解；
（2）确定直线BC的解析式为y＝﹣x+3，根据点E、F关于直线x＝1对称，即可求解；
（3）①△AOC与△BMN相似，则，即可求解；②分OQ＝BQ、BO＝BQ、OQ＝OB三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1））∵点A、B关于直线x＝1对称，AB＝4，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
代入y＝﹣x2+bx+c中，得：，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴C点坐标为（0，3）；
（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n，
则有：，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵点E、F关于直线x＝1对称，
又E到对称轴的距离为1，
∴EF＝2，
∴F点的横坐标为2，将x＝2代入y＝﹣x+3中，
得：y＝﹣2+3＝1，
∴F（2，1）；
（3）①如下图，连接BC交MN于Q，

MN＝﹣4t2+4t+3，MB＝3﹣2t，
△AOC与△BMN相似，则，
即：，
解得：t＝或﹣或1（舍去、﹣），
故：t＝1；
②∵M（2t，0），MN⊥x轴，∴Q（2t，3﹣2t），
∵△BOQ为等腰三角形，∴分三种情况讨论，
第一种，当OQ＝BQ时，
∵QM⊥OB
∴OM＝MB
∴2t＝3﹣2t
∴t＝；
第二种，当BO＝BQ时，在Rt△BMQ中
∵∠OBQ＝45°，
∴BQ＝，
∴BO＝，
即3＝，
∴t＝；
第三种，当OQ＝OB时，
则点Q、C重合，此时t＝0
而t＞0，故不符合题意
综上述，当t＝或秒时，△BOQ为等腰三角形．