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2020年山东省枣庄市中考数学试卷
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这是一份2020年山东省枣庄市中考数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年山东省枣庄市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分．
1．（3分）-12的绝对值是（ ）
A．-12 B．﹣2 C．12 D．2
2．（3分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．18° D．30°
3．（3分）计算-23-（-16）的结果为（ ）
A．-12 B．12 C．-56 D．56
4．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．|a|＜1 B．ab＞0 C．a+b＞0 D．1﹣a＞1
5．（3分）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是（ ）
A．49 B．29 C．23 D．13
6．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（ ）
A．8 B．11 C．16 D．17
7．（3分）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（ ）
A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2
8．（3分）如图的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b=1a-b2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=11-32=-18．则方程x⊗（﹣2）=2x-4-1的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7
10．（3分）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB
＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（-3，3） B．（﹣3，3） C．（-3，2+3） D．（﹣1，2+3）
11．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是（ ）
A．33 B．4 C．5 D．6
12．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1．给出下列结论：
①ac＜0；
②b2﹣4ac＞0；
③2a﹣b＝0；
④a﹣b+c＝0．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共6小题，满分24分．只填写最后结果，每小题填对得4分．
13．（4分）若a+b＝3，a2+b2＝7，则ab＝ ．
14．（4分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝ ．
15．（4分）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝ ．
16．（4分）人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若AB，AC的长都为2m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是 m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
17．（4分）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是 ．
18．（4分）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S＝a+12b﹣1（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S＝ ．
三、解答题：本大题共7小题，满分60分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（8分）解不等式组4(x+1)≤7x+13，x-4＜x-83，并求它的所有整数解的和．
20．（8分）欧拉（Euler，1707年～1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flatsurface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
正八面体
图形
顶点数V
4
6
8
棱数E
6
12
面数F
4
5
8
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式： ．
21．（8分）2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
学生立定跳远测试成绩的频数分布表
分组
频数
1.2≤x＜1.6
a
1.6≤x＜2.0
12
2.0≤x＜2.4
b
2.4≤x＜2.8
10
请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
（1）表中a＝ ，b＝ ；
（2）样本成绩的中位数落在 范围内；
（3）请把频数分布直方图补充完整；
（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有多少人？
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=12x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y=kx的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y=12x+5的图象与反比例函数y=kx的图象的另一个交点为B，OB，求△ABO的面积．
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为4，CF＝6，求tan∠CBF．
24．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AC＝BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．
（1）如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF；
（2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中，试证明CD2＝CE•CF恒成立；
（3）若CD＝2，CF=2，求DN的长．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2020年山东省枣庄市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分．
1．（3分）-12的绝对值是（ ）
A．-12 B．﹣2 C．12 D．2
【解答】解：-12的绝对值为12．
故选：C．
2．（3分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．18° D．30°
【解答】解：由题意可得：∠EDF＝45°，∠ABC＝30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD＝∠EDF＝45°，
∴∠DBC＝45°﹣30°＝15°．
故选：B．
3．（3分）计算-23-（-16）的结果为（ ）
A．-12 B．12 C．-56 D．56
【解答】解：-23-（-16）=-23+16=-12．
故选：A．
4．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．|a|＜1 B．ab＞0 C．a+b＞0 D．1﹣a＞1
【解答】解：A、|a|＞1，故本选项错误；
B、∵a＜0，b＞0，∴ab＜0，故本选项错误；
C、a+b＜0，故本选项错误；
D、∵a＜0，∴1﹣a＞1，故本选项正确；
故选：D．
5．（3分）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是（ ）
A．49 B．29 C．23 D．13
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的情况如下：
共有9种可能出现的结果，其中两次都是白球的有4种，
∴P（两次都是白球）=49，
故选：A．
6．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（ ）
A．8 B．11 C．16 D．17
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△ACE的周长＝AC+CE+AE
＝AC+CE+BE
＝AC+BC
＝5+6
＝11．
故选：B．
7．（3分）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（ ）
A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2
【解答】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b＝a﹣b，
则面积是（a﹣b）2．
故选：C．
8．（3分）如图的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意，选项A，C，D可以通过平移，旋转得到，选项B可以通过翻折，平移，旋转得到．
故选：B．
9．（3分）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b=1a-b2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=11-32=-18．则方程x⊗（﹣2）=2x-4-1的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7
【解答】解：根据题意，得1x-4=2x-4-1，
去分母得：1＝2﹣（x﹣4），
解得：x＝5，
经检验x＝5是分式方程的解．
故选：B．
10．（3分）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB
＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（-3，3） B．（﹣3，3） C．（-3，2+3） D．（﹣1，2+3）
【解答】解：如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．
在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，
∴A′H＝A′B′cos60°＝1，B′H＝A′B′sin60°=3，
∴OH＝2+1＝3，
∴B′（-3，3），
故选：A．
11．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是（ ）
A．33 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，
∴AF＝AB，∠AFE＝∠B＝90°，
∴EF⊥AC，
∵∠EAC＝∠ECA，
∴AE＝CE，
∴AF＝CF，
∴AC＝2AB＝6，
故选：D．
12．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1．给出下列结论：
①ac＜0；
②b2﹣4ac＞0；
③2a﹣b＝0；
④a﹣b+c＝0．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴为x=-b2a=1，因此b＞0，与y轴交于正半轴，因此c＞0，
于是有：ac＜0，因此①正确；
由x=-b2a=1，得2a+b＝0，因此③不正确，
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，②正确，
由对称轴x＝1，抛物线与x 轴的一个交点为（3，0），对称性可知另一个交点为（﹣1，0），因此a﹣b+c＝0，故④正确，
综上所述，正确的结论有①②④，
故选：C．
二、填空题：本大题共6小题，满分24分．只填写最后结果，每小题填对得4分．
13．（4分）若a+b＝3，a2+b2＝7，则ab＝ 1 ．
【解答】解：（a+b）2＝32＝9，
（a+b）2＝a2+b2+2ab＝9．
∵a2+b2＝7，
∴2ab＝2，
ab＝1，
故答案为：1．
14．（4分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝ ﹣1 ．
【解答】解：把x＝0代入（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0，解得a＝±1，
∵a﹣1≠0，
∴a＝﹣1．
故答案为﹣1．
15．（4分）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝ 27° ．
【解答】解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP＝90°，
∵∠P＝36°，
∴∠AOP＝54°，
∴∠B=12∠AOP＝27°．
故答案为：27°．
16．（4分）人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若AB，AC的长都为2m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是 1.5 m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【解答】解：∵AB＝AC＝2m，AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴AD＝AC•sin50°＝2×0.77≈1.5（m），
故答案为1.5．
17．（4分）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是 85 ．
【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，
∵AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形，
∴DE＝DF＝BE＝BF，
∵AC＝BD＝8，OE＝OF=8-42=2，
由勾股定理得：DE=OD2+OE2=42+22=25，
∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4×25=85，
故答案为：85．
18．（4分）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S＝a+12b﹣1（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S＝ 6 ．
【解答】解：∵a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积，
∴a＝4，b＝6，
∴该五边形的面积S＝4+12×6﹣1＝6，
故答案为：6．
三、解答题：本大题共7小题，满分60分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（8分）解不等式组4(x+1)≤7x+13，x-4＜x-83，并求它的所有整数解的和．
【解答】解：4(x+1)≤7x+13①x-4＜x-83②，
由①得，x≥﹣3，
由②得，x＜2，
所以，不等式组的解集是﹣3≤x＜2，
所以，它的整数解为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，
所以，所有整数解的和为﹣5．
20．（8分）欧拉（Euler，1707年～1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flatsurface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
正八面体
图形
顶点数V
4
6
8
6
棱数E
6
9
12
12
面数F
4
5
6
8
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式： V+F﹣E＝2 ．
【解答】解：（1）填表如下：
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
正八面体
图形
顶点数V
4
6
8
6
棱数E
6
9
12
12
面数F
4
5
6
8
（2）∵4+4﹣6＝2，
6+5﹣9＝2，
8+6﹣12＝2，
6+8﹣12＝2，
…，
∴V+F﹣E＝2．
即V、E、F之间的关系式为：V+F﹣E＝2．
故答案为：6，9，12，6，V+F﹣E＝2．
21．（8分）2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
学生立定跳远测试成绩的频数分布表
分组
频数
1.2≤x＜1.6
a
1.6≤x＜2.0
12
2.0≤x＜2.4
b
2.4≤x＜2.8
10
请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
（1）表中a＝ 8 ，b＝ 20 ；
（2）样本成绩的中位数落在 2.0≤x＜2.4 范围内；
（3）请把频数分布直方图补充完整；
（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有多少人？
【解答】解：（1）由统计图得，a＝8，b＝50﹣8﹣12﹣10＝20，
故答案为：8，20；
（2）由中位数的意义可得，50个数据从小到大排列处在中间位置的两个数在2.0≤x＜2.4组内，
故答案为：2.0≤x＜2.4；
（3）补全频数分布直方图如图所示：
（4）1200×1050=240（人），
答：该校1200名学生中立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有240人．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=12x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y=kx的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y=12x+5的图象与反比例函数y=kx的图象的另一个交点为B，OB，求△ABO的面积．
【解答】解：（1）联立y=12x+5①和y＝﹣2x并解得：x=-2y=4，故点A（﹣2.4），
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：4=k-2，解得：k＝﹣8，
故反比例函数表达式为：y=-8x②；
（2）联立①②并解得：x＝﹣2或﹣8，
当x＝﹣8时，y=12x+5＝1，故点B（﹣8，1），
设y=12x+5交x轴于点C（﹣10，0），过点A、B分别作x轴的垂线交于点M、N，
则S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC=12×OC•AM-12OC•BN=12×4×10-12×10×1=15．
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为4，CF＝6，求tan∠CBF．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
∵AB＝AC，
∴2∠1＝∠CAB．
∵∠BAC＝2∠CBF，
∴∠1＝∠CBF
∴∠CBF+∠2＝90°
即∠ABF＝90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：过C作CH⊥BF于H，
∵AB＝AC，⊙O的直径为4，
∴AC＝4，
∵CF＝6，∠ABF＝90°，
∴BF=AF2-AB2=102-42=221，
∵∠CHF＝∠ABF，∠F＝∠F，
∴△CHF∽△ABF，
∴CHAB=CFAF，
∴CH4=64+6，
∴CH=125，
∴HF=CF2-CH2=62-(125)2=6215，
∴BH＝BF﹣HF＝221-6215=4215，
∴tan∠CBF=CHBH=1254215=217．
24．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AC＝BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．
（1）如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF；
（2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中，试证明CD2＝CE•CF恒成立；
（3）若CD＝2，CF=2，求DN的长．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是中线，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ACF＝∠BCE＝90°，
∴∠DCF＝∠DCE＝135°，
在△DCF和△DCE中，
CF=CE∠DCF=∠DCEDC=DC，
∴△DCF≌△DCE（SAS）
∴DE＝DF；
（2）证明：∵∠DCF＝135°，
∴∠F+∠CDF＝45°，
∵∠FDE＝45°，
∴∠CDE+∠CDF＝45°，
∴∠F＝∠CDE，
∵∠DCF＝∠DCE，∠F＝∠CDE，
∴△FCD∽△DCE，
∴CFCD=CDCE，
∴CD2＝CE•CF；
（3）解：过点D作DG⊥BC于G，
∵∠DCB＝45°，
∴GC＝GD=22CD=2，
由（2）可知，CD2＝CE•CF，
∴CE=CD2CF=22，
∵∠ECN＝∠DGN，∠ENC＝∠DNG，
∴△ENC∽△DNG，
∴CNNG=CEDG，即2-NGNG=222，
解得，NG=23，
由勾股定理得，DN=DG2+NG2=253．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得9a-3b+4=016a+4b+4=0，解得a=-13b=13，
故抛物线的表达式为：y=-13x2+13x+4；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，4），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4；
设点M（m，0），则点P（m，-13m2+13m+4），点Q（m，﹣m+4），
∴PQ=-13m2+13m+4+m﹣4=-13m2+43m，
∵OB＝OC，故∠ABC＝∠OCB＝45°，
∴∠PQN＝∠BQM＝45°，
∴PN＝PQsin45°=22（-13m2+43m）=-26（m﹣2）2+223，
∵-26＜0，故当m＝2时，PN有最大值为223；
（3）存在，理由：
点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），则AC＝5，
①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，
则CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣（﹣m+4）]2＝25，
解得：m＝±522（舍去负值），
故点Q（522，8-522）；
②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5，
在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2＝25，解得：m＝1或0（舍去0），
故点Q（1，3）；
③当CQ＝AQ时，则2m2＝[m＝（﹣3）]2+（﹣m+4）2，解得：m=252（舍去）；
综上，点Q的坐标为（1，3）或（522，8-522）．
2020年山东省枣庄市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分．
1．（3分）-12的绝对值是（ ）
A．-12 B．﹣2 C．12 D．2
2．（3分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．18° D．30°
3．（3分）计算-23-（-16）的结果为（ ）
A．-12 B．12 C．-56 D．56
4．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．|a|＜1 B．ab＞0 C．a+b＞0 D．1﹣a＞1
5．（3分）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是（ ）
A．49 B．29 C．23 D．13
6．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（ ）
A．8 B．11 C．16 D．17
7．（3分）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（ ）
A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2
8．（3分）如图的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b=1a-b2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=11-32=-18．则方程x⊗（﹣2）=2x-4-1的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7
10．（3分）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB
＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（-3，3） B．（﹣3，3） C．（-3，2+3） D．（﹣1，2+3）
11．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是（ ）
A．33 B．4 C．5 D．6
12．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1．给出下列结论：
①ac＜0；
②b2﹣4ac＞0；
③2a﹣b＝0；
④a﹣b+c＝0．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共6小题，满分24分．只填写最后结果，每小题填对得4分．
13．（4分）若a+b＝3，a2+b2＝7，则ab＝ ．
14．（4分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝ ．
15．（4分）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝ ．
16．（4分）人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若AB，AC的长都为2m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是 m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
17．（4分）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是 ．
18．（4分）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S＝a+12b﹣1（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S＝ ．
三、解答题：本大题共7小题，满分60分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（8分）解不等式组4(x+1)≤7x+13，x-4＜x-83，并求它的所有整数解的和．
20．（8分）欧拉（Euler，1707年～1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flatsurface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
正八面体
图形
顶点数V
4
6
8
棱数E
6
12
面数F
4
5
8
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式： ．
21．（8分）2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
学生立定跳远测试成绩的频数分布表
分组
频数
1.2≤x＜1.6
a
1.6≤x＜2.0
12
2.0≤x＜2.4
b
2.4≤x＜2.8
10
请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
（1）表中a＝ ，b＝ ；
（2）样本成绩的中位数落在 范围内；
（3）请把频数分布直方图补充完整；
（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有多少人？
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=12x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y=kx的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y=12x+5的图象与反比例函数y=kx的图象的另一个交点为B，OB，求△ABO的面积．
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为4，CF＝6，求tan∠CBF．
24．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AC＝BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．
（1）如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF；
（2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中，试证明CD2＝CE•CF恒成立；
（3）若CD＝2，CF=2，求DN的长．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2020年山东省枣庄市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分．
1．（3分）-12的绝对值是（ ）
A．-12 B．﹣2 C．12 D．2
【解答】解：-12的绝对值为12．
故选：C．
2．（3分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．18° D．30°
【解答】解：由题意可得：∠EDF＝45°，∠ABC＝30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD＝∠EDF＝45°，
∴∠DBC＝45°﹣30°＝15°．
故选：B．
3．（3分）计算-23-（-16）的结果为（ ）
A．-12 B．12 C．-56 D．56
【解答】解：-23-（-16）=-23+16=-12．
故选：A．
4．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．|a|＜1 B．ab＞0 C．a+b＞0 D．1﹣a＞1
【解答】解：A、|a|＞1，故本选项错误；
B、∵a＜0，b＞0，∴ab＜0，故本选项错误；
C、a+b＜0，故本选项错误；
D、∵a＜0，∴1﹣a＞1，故本选项正确；
故选：D．
5．（3分）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是（ ）
A．49 B．29 C．23 D．13
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的情况如下：
共有9种可能出现的结果，其中两次都是白球的有4种，
∴P（两次都是白球）=49，
故选：A．
6．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（ ）
A．8 B．11 C．16 D．17
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△ACE的周长＝AC+CE+AE
＝AC+CE+BE
＝AC+BC
＝5+6
＝11．
故选：B．
7．（3分）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（ ）
A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2
【解答】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b＝a﹣b，
则面积是（a﹣b）2．
故选：C．
8．（3分）如图的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意，选项A，C，D可以通过平移，旋转得到，选项B可以通过翻折，平移，旋转得到．
故选：B．
9．（3分）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b=1a-b2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=11-32=-18．则方程x⊗（﹣2）=2x-4-1的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7
【解答】解：根据题意，得1x-4=2x-4-1，
去分母得：1＝2﹣（x﹣4），
解得：x＝5，
经检验x＝5是分式方程的解．
故选：B．
10．（3分）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB
＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（-3，3） B．（﹣3，3） C．（-3，2+3） D．（﹣1，2+3）
【解答】解：如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．
在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，
∴A′H＝A′B′cos60°＝1，B′H＝A′B′sin60°=3，
∴OH＝2+1＝3，
∴B′（-3，3），
故选：A．
11．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是（ ）
A．33 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，
∴AF＝AB，∠AFE＝∠B＝90°，
∴EF⊥AC，
∵∠EAC＝∠ECA，
∴AE＝CE，
∴AF＝CF，
∴AC＝2AB＝6，
故选：D．
12．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1．给出下列结论：
①ac＜0；
②b2﹣4ac＞0；
③2a﹣b＝0；
④a﹣b+c＝0．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴为x=-b2a=1，因此b＞0，与y轴交于正半轴，因此c＞0，
于是有：ac＜0，因此①正确；
由x=-b2a=1，得2a+b＝0，因此③不正确，
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，②正确，
由对称轴x＝1，抛物线与x 轴的一个交点为（3，0），对称性可知另一个交点为（﹣1，0），因此a﹣b+c＝0，故④正确，
综上所述，正确的结论有①②④，
故选：C．
二、填空题：本大题共6小题，满分24分．只填写最后结果，每小题填对得4分．
13．（4分）若a+b＝3，a2+b2＝7，则ab＝ 1 ．
【解答】解：（a+b）2＝32＝9，
（a+b）2＝a2+b2+2ab＝9．
∵a2+b2＝7，
∴2ab＝2，
ab＝1，
故答案为：1．
14．（4分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝ ﹣1 ．
【解答】解：把x＝0代入（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0，解得a＝±1，
∵a﹣1≠0，
∴a＝﹣1．
故答案为﹣1．
15．（4分）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝ 27° ．
【解答】解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP＝90°，
∵∠P＝36°，
∴∠AOP＝54°，
∴∠B=12∠AOP＝27°．
故答案为：27°．
16．（4分）人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若AB，AC的长都为2m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是 1.5 m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【解答】解：∵AB＝AC＝2m，AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴AD＝AC•sin50°＝2×0.77≈1.5（m），
故答案为1.5．
17．（4分）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是 85 ．
【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，
∵AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形，
∴DE＝DF＝BE＝BF，
∵AC＝BD＝8，OE＝OF=8-42=2，
由勾股定理得：DE=OD2+OE2=42+22=25，
∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4×25=85，
故答案为：85．
18．（4分）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S＝a+12b﹣1（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S＝ 6 ．
【解答】解：∵a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积，
∴a＝4，b＝6，
∴该五边形的面积S＝4+12×6﹣1＝6，
故答案为：6．
三、解答题：本大题共7小题，满分60分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（8分）解不等式组4(x+1)≤7x+13，x-4＜x-83，并求它的所有整数解的和．
【解答】解：4(x+1)≤7x+13①x-4＜x-83②，
由①得，x≥﹣3，
由②得，x＜2，
所以，不等式组的解集是﹣3≤x＜2，
所以，它的整数解为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，
所以，所有整数解的和为﹣5．
20．（8分）欧拉（Euler，1707年～1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flatsurface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
正八面体
图形
顶点数V
4
6
8
6
棱数E
6
9
12
12
面数F
4
5
6
8
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式： V+F﹣E＝2 ．
【解答】解：（1）填表如下：
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
正八面体
图形
顶点数V
4
6
8
6
棱数E
6
9
12
12
面数F
4
5
6
8
（2）∵4+4﹣6＝2，
6+5﹣9＝2，
8+6﹣12＝2，
6+8﹣12＝2，
…，
∴V+F﹣E＝2．
即V、E、F之间的关系式为：V+F﹣E＝2．
故答案为：6，9，12，6，V+F﹣E＝2．
21．（8分）2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
学生立定跳远测试成绩的频数分布表
分组
频数
1.2≤x＜1.6
a
1.6≤x＜2.0
12
2.0≤x＜2.4
b
2.4≤x＜2.8
10
请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
（1）表中a＝ 8 ，b＝ 20 ；
（2）样本成绩的中位数落在 2.0≤x＜2.4 范围内；
（3）请把频数分布直方图补充完整；
（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有多少人？
【解答】解：（1）由统计图得，a＝8，b＝50﹣8﹣12﹣10＝20，
故答案为：8，20；
（2）由中位数的意义可得，50个数据从小到大排列处在中间位置的两个数在2.0≤x＜2.4组内，
故答案为：2.0≤x＜2.4；
（3）补全频数分布直方图如图所示：
（4）1200×1050=240（人），
答：该校1200名学生中立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有240人．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=12x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y=kx的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y=12x+5的图象与反比例函数y=kx的图象的另一个交点为B，OB，求△ABO的面积．
【解答】解：（1）联立y=12x+5①和y＝﹣2x并解得：x=-2y=4，故点A（﹣2.4），
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：4=k-2，解得：k＝﹣8，
故反比例函数表达式为：y=-8x②；
（2）联立①②并解得：x＝﹣2或﹣8，
当x＝﹣8时，y=12x+5＝1，故点B（﹣8，1），
设y=12x+5交x轴于点C（﹣10，0），过点A、B分别作x轴的垂线交于点M、N，
则S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC=12×OC•AM-12OC•BN=12×4×10-12×10×1=15．
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为4，CF＝6，求tan∠CBF．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
∵AB＝AC，
∴2∠1＝∠CAB．
∵∠BAC＝2∠CBF，
∴∠1＝∠CBF
∴∠CBF+∠2＝90°
即∠ABF＝90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：过C作CH⊥BF于H，
∵AB＝AC，⊙O的直径为4，
∴AC＝4，
∵CF＝6，∠ABF＝90°，
∴BF=AF2-AB2=102-42=221，
∵∠CHF＝∠ABF，∠F＝∠F，
∴△CHF∽△ABF，
∴CHAB=CFAF，
∴CH4=64+6，
∴CH=125，
∴HF=CF2-CH2=62-(125)2=6215，
∴BH＝BF﹣HF＝221-6215=4215，
∴tan∠CBF=CHBH=1254215=217．
24．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AC＝BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．
（1）如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF；
（2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中，试证明CD2＝CE•CF恒成立；
（3）若CD＝2，CF=2，求DN的长．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是中线，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ACF＝∠BCE＝90°，
∴∠DCF＝∠DCE＝135°，
在△DCF和△DCE中，
CF=CE∠DCF=∠DCEDC=DC，
∴△DCF≌△DCE（SAS）
∴DE＝DF；
（2）证明：∵∠DCF＝135°，
∴∠F+∠CDF＝45°，
∵∠FDE＝45°，
∴∠CDE+∠CDF＝45°，
∴∠F＝∠CDE，
∵∠DCF＝∠DCE，∠F＝∠CDE，
∴△FCD∽△DCE，
∴CFCD=CDCE，
∴CD2＝CE•CF；
（3）解：过点D作DG⊥BC于G，
∵∠DCB＝45°，
∴GC＝GD=22CD=2，
由（2）可知，CD2＝CE•CF，
∴CE=CD2CF=22，
∵∠ECN＝∠DGN，∠ENC＝∠DNG，
∴△ENC∽△DNG，
∴CNNG=CEDG，即2-NGNG=222，
解得，NG=23，
由勾股定理得，DN=DG2+NG2=253．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得9a-3b+4=016a+4b+4=0，解得a=-13b=13，
故抛物线的表达式为：y=-13x2+13x+4；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，4），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4；
设点M（m，0），则点P（m，-13m2+13m+4），点Q（m，﹣m+4），
∴PQ=-13m2+13m+4+m﹣4=-13m2+43m，
∵OB＝OC，故∠ABC＝∠OCB＝45°，
∴∠PQN＝∠BQM＝45°，
∴PN＝PQsin45°=22（-13m2+43m）=-26（m﹣2）2+223，
∵-26＜0，故当m＝2时，PN有最大值为223；
（3）存在，理由：
点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），则AC＝5，
①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，
则CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣（﹣m+4）]2＝25，
解得：m＝±522（舍去负值），
故点Q（522，8-522）；
②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5，
在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2＝25，解得：m＝1或0（舍去0），
故点Q（1，3）；
③当CQ＝AQ时，则2m2＝[m＝（﹣3）]2+（﹣m+4）2，解得：m=252（舍去）；
综上，点Q的坐标为（1，3）或（522，8-522）．
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