2021年山东省菏泽市牡丹区中考数学一模试卷及答案

这是一份2021年山东省菏泽市牡丹区中考数学一模试卷及答案，

2021年山东省菏泽市牡丹区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填在答题卡相应位置.）1．（3分）在，0，，这四个数中，最大的数是　　A． B．0 C． D．2．（3分）下列运算正确的是　　A． B． C． D．3．（3分）已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是　　A． B． C． D．4．（3分）如图，已知正五边形，，交的延长线于点，则等于　　A． B． C． D．5．（3分）为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表：则关于这组数据的结论正确的是　　A．平均数是144 B．众数是141 C．中位数是144.5 D．方差是5.46．（3分）如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴交于点，过点作轴于点，的面积是，则的值为　　A．3.5 B．4 C．5 D．67．（3分）定义运算：☆．例如：4☆．若关于的方程5☆，则代数式的值为　　A． B．10 C．11 D．178．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，点为抛物线的顶点，则下列结论：①；②关于的不等式的解集为；③；④若是直角三角形，则点的坐标为；⑤若为任意实数，则．其中结论正确的个数是　　A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，请把最后结果填写在答题卡的相应区域内）9．（3分）分解因式：　 　．10．（3分）2021年1月中旬石家庄市出现新冠病毒疫情反复后，全市立即启用了核酸检测信息统一平台，满足常态化核酸检测和短时间、大规模核酸检测要求．目前，通过该平台累计采样超过1280000人次，数据1280000用科学记数法可以表示为　　．11．（3分）、两点的坐标分别为、，若将线段平移至，点、的坐标分别为，，则　 　．12．（3分）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是　　．13．（3分）如图，在中，，，将绕的中点逆时针旋转得到△，其中点的运动路径为，则图中阴影部分的面积为　　．14．（3分）如图，已知正方形，是边延长线上的动点（不与点重合），且，由平移得到，若过点作，点为垂足，则有以下结论：①在点运动过程中，四边形可能为菱形；②无论点运动到何处，都有；③若，则有；④无论点运动到何处，一定大于．其中正确结论的序号为 　　．三、解答题（本大题共10个小题，共78分，请把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）15．（6分）计算：．16．（6分）先化简，再求值：，其中是关于的方程的根．17．（6分）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接．（1）求证：．（2）求证：四边形是菱形．18．（6分）某校王老师组织九（1）班同学开展数学活动，某天带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线恰好落在水平地面和斜坡上，在处测得电线杆顶端的仰角为，在处测得电线杆顶端的仰角为，斜坡与地面成角，，请你根据这些数据求电线杆的高．（结果用根号表示）19．（7分）如图，直线分别与轴，轴相交于，，反比例函数的图象与直线相交于，两点，且点坐标是，．（1）求直线及反比例函数的表达式．（2）若轴上有一点，使，求点的坐标．20．（7分）2020年5月，全国两会召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，雅苑社区拟建，两类摊位以激活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多2平方米，建类摊位每平方米的费用为50元，建类摊位每平方米的费用为40元，用120平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的．（1）求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社区拟建，两类摊位共100个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的4倍，求建造这100个摊位的最大费用．21．（10分）如图，在中，，是上一点，过，，三点的交于点，连接，，点是线段上的一点，连接，其中．（1）求证：是的切线．（2）若是的中点，，，求的长．22．（10分）随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选择一种），在全校随机调查了部分学生，将统计结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，其中扇形统计图中，表示“钉钉”和“”的扇形圆心角相等，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）这次统计共抽查了　　名学生；在扇形统计图中，表示“钉钉”的扇形圆心角的度数为　　；（2）将条形统计图补充完整；（3）该校共有2000名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“钉钉”、“ ”、“电话”四种沟通方式中选择一种方式与对方联系，请用列表或树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．23．（10分）如图，是等腰直角三角形，，是射线上一点（点不与点重合），以为斜边作等腰直角三角形（点和点在的同侧），连接．（1）如图①，当点与点重合时，直接写出与的位置关系；（2）如图②，当点与点不重合时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当时，请直接写出的值．24．（10分）如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点．点是轴上的一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点仅在线段上运动，如图，求线段的最大值；②若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填在答题卡相应位置.）1．（3分）在，0，，这四个数中，最大的数是　　A． B．0 C． D．【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得，在这四个数中，最大的数是．故选：．2．（3分）下列运算正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：、，无法计算，故此选项错误；、，故此选项错误；、，故此选项错误；、，正确．故选：．3．（3分）已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是　　A． B． C． D．【解答】解：从左面看易得是一个矩形，矩形的中间有一条横向的虚线，虚线与上沿之间有一个由虚线组成的圆．故选：．4．（3分）如图，已知正五边形，，交的延长线于点，则等于　　A． B． C． D．【解答】解：在正五边形中，，正五边形的边，，，，．故选：．5．（3分）为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表：则关于这组数据的结论正确的是　　A．平均数是144 B．众数是141 C．中位数是144.5 D．方差是5.4【解答】解：根据题目给出的数据，可得：平均数为：，故选项错误；众数是：141，故选项正确；中位数是：，故选项错误；方差是：，故选项错误；故选：．6．（3分）如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴交于点，过点作轴于点，的面积是，则的值为　　A．3.5 B．4 C．5 D．6【解答】解：令直线与轴的交点为点，如图所示．令直线中，则，解得：，令，则，即，，，轴于点，，的面积是，，解得：．结合题意可知点的纵坐标为1，当时，有，解得：，点的坐标为，．故选：．7．（3分）定义运算：☆．例如：4☆．若关于的方程5☆，则代数式的值为　　A． B．10 C．11 D．17【解答】解：☆，5☆，，，，，故选：．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，点为抛物线的顶点，则下列结论：①；②关于的不等式的解集为；③；④若是直角三角形，则点的坐标为；⑤若为任意实数，则．其中结论正确的个数是　　A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：①函数的对称轴在轴右侧，则，而，故，故①正确，符合题意；②从图象看，当抛物线在轴下方时，，此时，故②正确，符合题意；③函数的对称轴为直线，则，由图象知，时，，即，即，故③正确，符合题意；④抛物线的对称轴为直线，当为直角三角形时，因为，故为等腰直角三角形，则，故点的坐标为，故④正确，符合题意；⑤因为当时，抛物线取得最小值，即，故⑤错误，不符合题意；故选：．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，请把最后结果填写在答题卡的相应区域内）9．（3分）分解因式：　　．【解答】解：原式，故答案为：．10．（3分）2021年1月中旬石家庄市出现新冠病毒疫情反复后，全市立即启用了核酸检测信息统一平台，满足常态化核酸检测和短时间、大规模核酸检测要求．目前，通过该平台累计采样超过1280000人次，数据1280000用科学记数法可以表示为　　．【解答】解：将数据1280000用科学记数表示为．故答案为：．11．（3分）、两点的坐标分别为、，若将线段平移至，点、的坐标分别为，，则　2　．【解答】解：由题意可得线段向右平移1个单位，向上平移了1个单位，、两点的坐标分别为、，点、的坐标分别为，，，故答案为：2．12．（3分）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是　且　．【解答】解：方程去分母得：，解得：，根据题意得：，即，且，解得：且．故答案为：且．13．（3分）如图，在中，，，将绕的中点逆时针旋转得到△，其中点的运动路径为，则图中阴影部分的面积为　　．【解答】解：连接，．绕的中点逆时针旋转得到△，此时点在斜边上，，，，．故答案为．14．（3分）如图，已知正方形，是边延长线上的动点（不与点重合），且，由平移得到，若过点作，点为垂足，则有以下结论：①在点运动过程中，四边形可能为菱形；②无论点运动到何处，都有；③若，则有；④无论点运动到何处，一定大于．其中正确结论的序号为 　②③④　．【解答】解：四边形是正方形，，，由平移得到，，，，在中，，，四边形不是菱形，故①错误；，，，，又，，，，，，为等腰直角三角形，，故②正确；，，为等腰直角三角形，，，，，故③正确；，，，，故④正确，故答案为：②③④．三、解答题（本大题共10个小题，共78分，请把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）15．（6分）计算：．【解答】解：原式．16．（6分）先化简，再求值：，其中是关于的方程的根．【解答】解：原式，是关于的方程的根，，或，，，，原式．17．（6分）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接．（1）求证：．（2）求证：四边形是菱形．【解答】证明：（1），是直角三角形，是边上的中线，是的中点，，在和中，，（2）由（1）知，，且，，且，四边形是平行四边形，是的中点，四边形是菱形18．（6分）某校王老师组织九（1）班同学开展数学活动，某天带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线恰好落在水平地面和斜坡上，在处测得电线杆顶端的仰角为，在处测得电线杆顶端的仰角为，斜坡与地面成角，，请你根据这些数据求电线杆的高．（结果用根号表示）【解答】解：延长交的延长线于，作于，在中，，，则，，，，，，设，，，，，，，，解得：答：电线杆的高为．19．（7分）如图，直线分别与轴，轴相交于，，反比例函数的图象与直线相交于，两点，且点坐标是，．（1）求直线及反比例函数的表达式．（2）若轴上有一点，使，求点的坐标．【解答】解：（1）如图1，过点作于，，，，，，，，，，将点的坐标代入直线中，得，，直线的解析式为，将点的坐标代入反比例函数中，得，反比例函数的解析式为；（2）如图2，由（1）知，直线的解析式为①，反比例函数的解析式为②，联立①②解得，或，，过点作于，，，，，，，，，，，，，，，．20．（7分）2020年5月，全国两会召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，雅苑社区拟建，两类摊位以激活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多2平方米，建类摊位每平方米的费用为50元，建类摊位每平方米的费用为40元，用120平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的．（1）求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社区拟建，两类摊位共100个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的4倍，求建造这100个摊位的最大费用．【解答】解：（1）设每个类摊位的占地面积为平方米，则每个类摊位占地面积为平方米，依题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，．答：每个类摊位占地面积为6平方米，每个类摊位的占地面积为4平方米．（2）设建类摊位个，建造这100个摊位的费用为元，则建类摊位个，依题意得：，，随的增大而增大．，解得：，当取20时，费用最大，最大费用为（元．答：建造这100个摊位的最大费用是18800元．21．（10分）如图，在中，，是上一点，过，，三点的交于点，连接，，点是线段上的一点，连接，其中．（1）求证：是的切线．（2）若是的中点，，，求的长．【解答】解：（1），点，在上，是的直径，，，，，即，，又是的直径，是的切线．（2）如图，，，，，，点是的中点，，是的直径，，，，在中，，在中，，，，，，，，即，．22．（10分）随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选择一种），在全校随机调查了部分学生，将统计结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，其中扇形统计图中，表示“钉钉”和“”的扇形圆心角相等，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）这次统计共抽查了　100　名学生；在扇形统计图中，表示“钉钉”的扇形圆心角的度数为　　；（2）将条形统计图补充完整；（3）该校共有2000名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“钉钉”、“ ”、“电话”四种沟通方式中选择一种方式与对方联系，请用列表或树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．【解答】解：（1）喜欢用电话沟通的人数为20，所占百分比为，此次共抽查了：（人，表示“钉钉”和“”的扇形圆心角相等，喜欢用“钉钉”和“”沟通的人数相等，喜欢用“钉钉”沟通的人数为15人，表示“钉钉”的扇形圆心角的度数为；故答案为：100；；（2）抽查的100名学生中，喜欢用“短信”沟通的人数为：（人，喜欢用“微信”进行沟通的学生有：（人，将条形统计图补充完整如图：（3）（名，即该校共有2000名学生，估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有800名；（4）画出树状图，如图所示：所有情况共有16种情况，其中甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的共有4种情况，故甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为：．23．（10分）如图，是等腰直角三角形，，是射线上一点（点不与点重合），以为斜边作等腰直角三角形（点和点在的同侧），连接．（1）如图①，当点与点重合时，直接写出与的位置关系；（2）如图②，当点与点不重合时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当时，请直接写出的值．【解答】解：（1）当点与点重合时，，理由如下：是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，，，；（2）当点与点不重合时，（1）的结论仍然成立，理由如下：在上截取，连接，，，在和中，，，，，，，，，；（3）如图②，，，，，，为等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，，，如图③，，由（2）得，，，，，延长至，使，，在和中，，，，，，为等腰直角三角形，，，综上所述，当时，的值为或．24．（10分）如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点．点是轴上的一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点仅在线段上运动，如图，求线段的最大值；②若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把，代入中，得，解得，．（2）①设直线的表达式为，把，代入．得，解得，，点是轴上的一动点，且轴．，，，，此函数有最大值．又点在线段上运动，且，当时，有最大值．②如图中，当点在线段上，，四边形是菱形时．，，，解得或0（舍弃），，，．如图中，当是菱形的对角线时，四边形是正方形，此时，可得．如图中，当点在延长线上时，，四边形是菱形时，则有，，解得或0（舍弃），，，，．当点在轴的右侧时，显然，此时满足条件的菱形不存在．综上所述，满足条件的点的坐标为或或，．一分钟跳绳个数（个141144145146学生人数（名5212一分钟跳绳个数（个141144145146学生人数（名5212