2023年山东省菏泽市牡丹区中考数学三模试卷

2023年山东省菏泽市牡丹区中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  孙子算经中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆”说明了大数之间的关系：亿万万，兆万万亿将“兆”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，某校倡议学生在家做一些力所能及的家务劳动，李老师为了解学生每周参加家务劳动的时间，随机调查了本班名学生，收集到如下数据：

关于家务劳动时间的描述正确的是(    )

A. 众数是 B. 平均数是 C. 中位数是 D. 方差是

4.  若不等式组无解，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，和是以点为位似中心的位似图形．若：：，则与的周长比是(    )
 

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

7.  如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到若点恰好在线段的延长线上，且，则旋转角的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在中，，，，点从点出发沿的路径运动到点停止，点以相同的速度沿的路径运动到点停止，连接，设点的运动路程为，的面积为，则下列图象能大致反映与之间的函数关系的是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  分解因式：        ．

10.  设、是方程的两个实数根，则 ______ ．

11.  如图，在中，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，若，，则 ______
 

12.  如图，在正方形中，是边上一点，将沿翻折至，延长交于点若，，则的长是______ ．

13.  如图，点在反比例函数的图象上，点在轴正半轴上，直线交轴于点，若，的面积为，则的值为______ ．

14.  如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
化简求值：；其中．

17.  本小题分
如图，在▱中，，是对角线上的点，且，求证：．

18.  本小题分
某市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图，消防官兵利用云梯成功救出在处的求救者后，发现在处正上方处又有一名求救者，消防官兵立即升高云梯将其求出，经测得点与居民楼的水平距离是米，且在点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角，第二次施救时云梯与水平线的夹角，求、两点间的距离结果精确到米【参考数据：；，】

19.  本小题分
某校将举行跳绳比赛，需要购买、两种跳绳已知每根种跳绳的单价比种跳绳的单价少元，元购买种跳绳的数量与元购买种跳绳的数量相等．
求购进一根种跳绳和一根种跳绳各需多少元？
设购买种跳绳根，若学校计划购买，两种跳绳共根，且购买种跳绳的数量不超过种跳绳的数量的倍，请设计出最省钱的购买方案．

20.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的，两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，．
求反比例函数和一次函数的表达式；
将直线沿轴向下平移个单位长度后，与双曲线交于，两点，连接，，求的面积．

21.  本小题分
随着中考的时间越来越近，学生的压力也越来越大某校为了解本校九年级学生的压力情况，设计了一份调查问卷，对该校所有九年级的学生进行调查，并随机抽取部分调查结果，通过分析可将本校九年级学生的压力情况归纳为非常大，比较大，正常，没有压力四种类型具体分析数据如下统计图：

本次抽查的学生总人数为______ ，在扇形统计图中， ______
请把条形统计图补充完整．
若感觉压力非常大的同学中有两名女同学，三名男同学，从中随机抽取两名同学进行心理疏导，求抽到的两名同学恰好是一男一女的概率．

22.  本小题分
如图，是的直径，点在直径上与，不重合，，且，连接，与交于点，在上取一点，使．
求证：是的切线：
连接，若是的中点，，求的长．

23.  本小题分
综合与实践
【问题情境
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接请根据小明的方法思考：
由已知和作图能得到≌，依据是______ ；
A.
由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是______ ．
解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
初步运用
如图，是的中线，交于，交于，且若，，求线段的长．
灵活运用
如图，在中，，为中点，，交于点，交于点，连接，试猜想线段、、三者之间的等量关系，直接写出你的结论．

 

24.  本小题分
已知抛物线经过、、三点，直线是抛物线的对称轴．
求抛物线的函数关系式；
设点是直线上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标；
在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：兆万万亿，
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解；和指数不同，不能相加减，故错，不符题意；
B.，故错，不符题意；
C.正确，符合题意；
D.，故错，不符题意；
故选：．
根据同底数幂的乘除计算、根据幂的乘方计算、根据平方差公式计算．
本题同底数幂的乘除计算、根据幂的乘方计算、根据平方差公式计算，掌握这些是本题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：每周参加家务劳动的时间为和出现的次数最多，故众数是和，故本选项不符合题意；
B.平均数是，故本选项符合题意；
C.中位数是，故本选项不符合题意；
D.方差为，故本选项不符合题意．
故选：．
排序后位于中间或中间两数的平均数即为中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
本题主要考查了众数、平均数以及方差的计算，注意：极差只能反映数据的波动范围，众数反映了一组数据的集中程度，平均数是反映数据集中趋势的一项指标，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得关于的不等式，解之可得．
【解答】
解：解不等式，得：，
不等式组无解，
，
解得，
故选A．  

5.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，此正三棱柱底面的边在右侧面的投影为，

，
，，
，
左视图矩形的宽为，
左视图的面积为．
故选：．
过点作于点，此正三棱柱底面的边在右侧面的投影为，利用等边三角形的性质和勾股定理求出的长，结合左视图矩形的宽可得答案．
本题主要考查由三视图判断几何体，由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；
从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；
利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．
 

6.【答案】 

【解析】解：和是以点为位似中心的位似图形，
和的位似比为：，
：：，
：：，
与的周长比是：．
故选：．
先根据位似的性质得到和的位似比为：，再利用比例的性质得到：：，然后利用相似比等于位似比和相似三角形的性质求解即可．
本题考查了位似的性质，位似的两个图形相似，相似比等于位似比．
 

7.【答案】 

【解析】解：绕点按逆时针方向旋转，得到，
≌，，
，，
，
，
，
故选：．
旋转得全等，即角等和边等，得出等腰三角形，直接代值求解即可．
此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，以及等腰三角形的性质和判定，解题关键是推出等腰三角形．
 

8.【答案】 

【解析】解：由，，知，
则，则，
当时，如下图，

过点作于点，
则，该函数图象为开口向上的二次函数，
当时，如下图，

过点作于点，
则，该函数图象为开口向下的二次函数，
当时，
同理可得：，该函数图象为一次函数，
故选：．
分、、三种情况，画出点、的位置计算值即可．
本题考查的是动点问题的函数图象，涉及到二次函数、一次函数、解直角三角形等知识，确定函数表达式是本题解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：、是方程的两个实数根，
，，
，
．
故答案为：．
由于、是方程的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到，并且，然后把可以变为，把前面的值代入即可求出结果．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由题意可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，则，，即可得，，根据求出，由可得答案．
本题考查作图基本作图、三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线与角平分线的作图方法及性质、三角形内角和定理是解答本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，如图，

四边形为正方形，，
，，
根据折叠的性质可得，，，，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
．
故答案为：．
连接，由折叠可得，，，易通过证明≌，得到，因此设，则，，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可得到结果．
本题主要考查正方形的性质、全等三角形判定与性质、勾股定理，利用定理证明≌，得到是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：作轴于，
设点坐标为，则，，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
设点坐标为，用含代数式表示长度，再由三角形面积得的值．
本题考查反比例函数图象上的点的坐标与系数的关系，解题关键是通过设参数表示出点坐标，然后通过已知条件求出点横纵坐标的积的关系．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得：，，，，，
，
的坐标为，
故答案为：
根据旋转特点，找到坐标的变化规律，再求解．
本题考查了点的坐标，找到坐标的变化规律是解题的关键．
 

15.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式

，
．
，
原式． 

【解析】本题考查了分式的化简求值和整体代入法．
先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解后约分得到原式，然后把代入计算即可．
 

17.【答案】证明：如图，在▱中，，，
，
，
，
，
≌，
． 

【解析】利用平行四边形对边平行且相等的性质、平行线的性质，由证得≌，则对应边相等：．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质．此题是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关线段相等的证明．
 

18.【答案】由题意，得，，，
，
，
，
在中，，，
，
，
答：、两点间的距离约为米． 

【解析】直接根据题意得出，的长，再利用锐角三角函数关系得出的长，即可得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出的长是解题关键．
 

19.【答案】解：设购买一根种跳绳需元，则购买一根种跳绳需元，
根据题意，列方程得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则元，
答：购买一根种跳绳和一根种跳绳各需元，元．
根据题意，列不等式组得：，
解得，
设购绳所需总费用为元，则，
，
随的增大而减少，
当时，购绳最省钱，此时根，
则最省钱的购买方案是购买种跳绳根，购买种跳绳根． 

【解析】设购买一根种跳绳需元，则购买一根种跳绳需元，根据题意易得，然后求解即可；
根据题意易得，然后可得，进而根据一次函数的性质可进行求解．
本题主要考查一次函数的应用及分式方程的应用，熟练掌握一次函数的应用及分式方程的应用是解题的关键．
 

20.【答案】解：过作轴于，
，．
，，
，
即的坐标是，
把的坐标代入得：，
即反比例函数的解析式是，
把代入得：，
即的坐标是，
把、的坐标代入得：，
解得：，
即一次函数的解析式是；
将直线沿轴向下平移个单位长度后的解析式为，
解，
，或
，，
的面积． 

【解析】解直角三角形求出的坐标，代入求出反比例函数解析式，求出的坐标，把、的坐标代入一次函数的解析式求出即可；
将直线沿轴向下平移个单位长度后的解析式为，解方程组得到，，于是得到结论．
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题解直角三角形，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．
 

21.【答案】   

【解析】本次抽样调查的样本容量是人，
故答案为：．
参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数为；
故答案为：．
比较大的人数为人．
补全条形统计图如下：

设三个女生分别为，，，两个男生分别为，，画树状图如下：

恰好取到一男和一女的概率是．
根据样本容量频数所占百分数，求得样本容量后，根据扇形统计图的意义解答即可．
利用频数之和等于样本容量计算即可．
利用画树状图计算即可．
本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连接，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
解：连接，如图所示：
是的直径，
，
是的中点，
，
，
，，
，
由勾股定理得：，
，，
∽，
，
，
． 

【解析】连接，易证，由等腰三角形的性质得，，推出，则，即可得出结论；
连接，则，求出，，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到求出，由即可得出结果．
本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：是边上的中线，
，
在和中，
，
≌，
故答案为：；

，即，
，
，
，
故答案为：；

延长到，使，连接，如图所示：
，
，
是中线，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
即，
故线段的长为；

线段、、之间的等量关系为：，理由如下：
延长到点，使，连接、，如图所示：
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，即，
中，，
．
由全等三角形的判定定理解答即可；
根据三角形的三边关系计算；
【初步运用】延长到，使，连接，由证得≌，根据全等三角形的性质即可得出答案；
【灵活运用】延长到点，使，连接、，易证，由证得≌，得到，推出，再由勾股定理即可得出结果．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边关系、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

24.【答案】解：将、、代入抛物线中，得：
，
解得：
抛物线的解析式：．


连接，直线与直线的交点为，连接，，此时的周长最小；
设直线的解析式为，
将，代入上式，
得：，
解得：，
直线的函数关系式；
当时，，即的坐标．

，，，． 

【解析】解：见答案；
见答案；
抛物线的对称轴为直线，设，已知、，则：
，，；
若，则，得：
，得：；
若，则，得：
，得：；
若，则，得：
，得：，；
当时，、、三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的点有个，，，，．


该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解．
直接将、、三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可．
由图知：、点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接，那么与直线的交点即为符合条件的点．
由于的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：；；，可先设出点的坐标，然后用点纵坐标表示的三边长，再按上面的三种情况列式求解．