2023年山东省菏泽市牡丹区中考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省菏泽市牡丹区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  点，在数轴上的位置如图所示，点，表示的有理数为，如果，，那么下列描述数轴原点的位置说法正确的是(    )

A. 原点在点左侧
B. 原点在点的右侧
C. 原点在点、之间，且
D. 原点在点、之间，且

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  达芬奇椭圆规是画椭圆的一种工具，如图所示，当滑标在滑槽内往复运动，滑标在滑槽内随之运动，将笔尖放置于处即可画出椭圆，则画出的椭圆是(    )

A. 是轴对称图形，也是中心对称图形
B. 是轴对称图形，不是中心对称图形
C. 不是轴对称图形，但是中心对称图形
D. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形

4.  如图，在四边形中，，点在边上，平分下列角中，与相等的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图是九章算术中“堑堵”的立体图形，它的左视图为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  质检部门从甲，乙两个厂家生产的同一种产品中，各抽出件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，结果如下单位：年：甲：，，，，，，，；乙：，，，，，，，；已知两个厂家在广告中都称该种产品的使用寿命是年请根据调查结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中哪一种特征数(    )

A. 甲：平均数，乙：众数 B. 甲：众数，乙：平均数
C. 甲：中位数，乙：众数 D. 甲：众数，乙：中位数

7.  已知反比例函数的图象如图所示，若点的坐标为，则的值可能为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，小球从左侧的斜坡滚下，沿着水平面继续滚动一段距离后停止在这个过程中，小球的运动速度单位：与运动时间单位：的函数图象如图所示，则该小球的运动路程单位：与运动时间单位：之间的函数图象大致是(    )

 

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  为深入贯彻落实党的二十大精神，适应新时代学校德智体美劳“五育”并举需要，中央财政进一步优化完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制，年安排亿元，比上年增加亿元，支持地方落实好“两免一补”等政策，进一步提高义务教育学校公用经费保障水平数用科学记数法表示为______ ．

10.  分解因式：______．

11.  如图，中，平分，交于点若，，则 ______ ．

12.  由电源、开关、滑动变阻器及若干导线组成的串联电路中，已知电源电压为定值，闭合开关后，改变滑动变阻器的阻值始终保持，发现通过滑动变阻器的电流与滑动变阻器的电阻成反比例函数关系，它的图象如图所示，若使得通过滑动变阻器的电流不超过，则滑动变阻器阻值的范围是______ ．

13.  在中，，，，点不与重合是线段上的动点，将沿翻折得，当时，四边形的面积为______ ．

14.  如图，在中，，，，点、点、点分别是，，边的中点，连接、，得到，它的面积记作；点、点、点分别是，，边的中点，连接、，得到，它的面积记作，照此规律作下去，则 ______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．

17.  本小题分
如图，在平行四边形中，点、分别在、上，且，直线与、的延长线分别交于点、．
求证：；
连接、，若，请判断四边形的形状，并证明你的结论．

18.  本小题分
随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼与之间的距离的长结果精确到参考数据：，，，．

 

19.  本小题分
牡丹是菏泽市市花某校为了丰富学生的校园生活，准备购进绿色和红色两种牡丹其中红色牡丹一盆的价格比绿色牡丹一盆的价格少元，用元购进的绿色牡丹的数和用元购进的红色牡丹的盆数相等．
求绿色牡丹和红色牡丹一盆的价格分别是多少？
该校计划用元购买绿色牡丹和红色牡丹，且两种牡丹都必须购买，请问恰好用完元的购买方案有哪几种？

20.  本小题分
如图，直线与反比例函数的图象交于点，与坐标轴分别交于，两点．
若，求自变量的取值范围；
动点在轴上运动，当为何值时，的值最大？并求最大值．

21.  本小题分
年月日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取名学生进行测试，并对成绩百分制进行整理，绘制了不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．

其中统计成绩在这一组的是单位：分

根据以上信息，解答下列问题：
在频数分布表中， ______ ；在扇形统计图中， ______ ；补全频数分布直方图；
在这次测试中，成绩的中位数是______ 分；
学校决定从本次比赛获得“：”的学生中，随机选出名去参加市中学生知识竞赛已知“：”中只有名女生，请用列表或画树状图的方法求女生被选中的概率．

22.  本小题分
如图，为的直径，为上一点，点为的中点，连接，过点作，交的延长线于点．
求证：是的切线；
延长交的延长线于点，若，，求的半径和的长．

23.  本小题分
如图，矩形中，，将一块直角三角板的直角顶点放在两对角线，的交点处，以点为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边，所在的直线相交，交点分别为，．
当，时，如图，则的值为______；
现将三角板绕点逆时针旋转角，如图，求的值；
在的基础上继续旋转，当，且使：：时，如图，的值是否变化？证明你的结论．

 

24.  本小题分
已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点点在点右侧，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
如图，若点是抛物线上、两点之间的一个动点不与、重合，是否存在点，使四边形的面积最大？若存在，求点的坐标及四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
数与数异号，并且正数的绝对值大，
即，，，
原点在点、之间，且．
故选：．
根据数轴和，，可以判断、的符号，从而可以解答本题．
本题考查数轴，解题的关键是明确数轴的特点能根据题目中的信息，判断各个数在数轴上对应哪一个点．
 

2.【答案】 

【解析】解：结果是，故本选项不符合题意；
B.结果是，故本选项不符合题意；
C.完全平方公式展开后缺少积项，故本选项不符合题意；
D.结果是，故本选项符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则，同底数幂的除法，幂的乘方，完全平方公式求出每个式子的值，再判断即可．
本题考查了合并同类项法则，同底数幂的除法，幂的乘方，完全平方公式等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：画出的椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
此题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
平分，
，
．
故选：．
根据题意得出，再由平分，即可得出答案．
本题主要考查平行线的性质，通过角平分线的性质找出相等的角是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：这个“堑堵”的左视图如下：

故选：．
找到从几何体的左面看所得到的图形即可．
本题考查了简单几何体的三视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
 

6.【答案】 

【解析】解：甲厂数据的平均数为，众数为和，中位数为；
乙厂数据的平均数为，众数为，中位数为，
所以甲厂家运用了其数据的平均数，乙厂家运用了其数据的众数，
故选：．
分别计算出甲、乙厂家产品使用寿命的平均数、中位数和众数，继而可得答案．
本题主要考查中位数，平均数和众数，解题的关键是掌握中位数，平均数和众数的定义．
 

7.【答案】 

【解析】解：过作轴于，交双曲线于，
点的纵坐标为，横坐标为，
，
，
故选：．
根据待定系数法即可得到结论．
本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意小球在左侧斜坡上时，，
，
小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程是的二次函数，图象开口向上；
小球在水平直线上滚动时，，
，
小球匀变速直线运动，运动的路程是的二次函数，图象开口向下．
故选：．
根据小球运动时的速度与时间图象设出函数解析式，再根据运动的路程速度时间分别列出函数解析式判断即可．
本题考查动点问题函数图象，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
根据科学记数法的定义即可得．
本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义是解题关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
．
先提公因式，再对剩余项利用完全平方公式分解因式．
本题考查提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式，本题要进行二次分解因式，分解因式要彻底．
 

11.【答案】 

【解析】解：平分，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
．
故答案为：．
根据角分线的性质得，由平行线的性质得，进而得，于是，易得∽，根据相似三角形的性质即可求解．
本题主要考查等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，根据角平分线的性质和平行线的性质得出，进而求出是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设反比例函数解析式为，
将点代入，得，
故百分率函数解析式为；
电流不超过安培，
则，
，故滑动变阻器阻值的范围是．
故答案为：．
设反比例函数解析式为，将点代入，求得百分率函数解析式为；解不等式即可得到结论．
本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，，，
，
由翻折知：，
，
，
是等边三角形，
，，
，，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由翻折知，再根据平行线的性质证明，再证明是等边三角形，然后证明，根据中线的性质得即可．
本题主要考查了翻折变换折叠问题，含角直角三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是证明是等边三角形．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，，
，
由题意可得，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据题意和题目中的数据，可以先计算出，再分别计算出、、，然后发现式子的变化特点，即可写出．
本题考查解直角三角形的应用、图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形面积的变化特点，利用数形结合的思想解答．
 

15.【答案】解：原式

． 

【解析】先计算零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式，特殊角三角函数值，再根据实数的混合计算法则求解即可．
本题主要考查了实数的混合计算，化简二次根式，特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
 

16.【答案】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
系数化为得：．
在数轴上表示为：
 

【解析】根据去分母，去括号，移项并合并同类项，系数化为的步骤计算即可．
本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键．
 

17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，
≌，
；
解：四边形是矩形，理由如下：
连接、，如图，

四边形是平行四边形，
，，
由知，，
，
即，
又，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是矩形． 

【解析】根据平行四边形的性质、邻补角定义推出，，结合，即可判定≌，根据全等三角形的性质即可得解；
由平行四边形的性质得出，由知，证出，得出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质推出，即可判定四边形是矩形．
本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，证题的关键是通过证明三角形≌得到．
 

18.【答案】解：延长，分别与直线交于点和点，

则，，，
在中，，
，
是的一个外角，
，
，
，
在中，，
，
，
楼与之间的距离的长约为． 

【解析】延长，分别与直线交于点和点，则，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用三角形的外角求出，从而可得米，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】解：设绿色牡丹一盆的价格是元，则红色牡丹一盆的价格是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：绿色牡丹一盆的价格是元，则红色牡丹一盆的价格是元；
设购买绿色牡丹盆，红色牡丹盆，恰好用完元，
由题意得：，
整理得：，
、都是正整数，
或或，
购买方案有种：
购买绿色牡丹盆，红色牡丹盆；
购买绿色牡丹盆，红色牡丹盆；
购买绿色牡丹盆，红色牡丹盆． 

【解析】设绿色牡丹一盆的价格是元，则红色牡丹一盆的价格是元，根据用元购进的绿色牡丹的数和用元购进的红色牡丹的盆数相等．列出分式方程，解方程即可；
设购买绿色牡丹盆，红色牡丹盆，根据恰好用完元，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题．
本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
 

20.【答案】解：当时，，
点的坐标为．
观察函数图象，可知：当时，直线在双曲线上方，
若，自变量的取值范围为．

将代入中，
，解得：，
直线的解析式为．
当时，，
点的坐标为，
．
当时，，
点的坐标为．
当点于点重合时，的值最大，此时，．
当为时，的值最大，最大值为． 

【解析】由点的纵坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，即可得出当时，自变量的取值范围；
由点的坐标利用待定系数法即可求出直线的函数解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点、的坐标，再根据三角形的三边关系即可确定当点与点重合时，的值最大，利用两点间的距离公式即可求出此最大值．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的三边关系，解题的关键是：利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点的坐标；利用三角形的三边关系确定点的位置．
 

21.【答案】     

【解析】解：，
，即，
补全直方图如下：

故答案为：、；
在这次测试中，成绩的中位数是，
故答案为：；
画树状图：

共有种等可能的结果数，其中女生被选中的结果数为，
所以女生被选中的概率为．
根据总人数为可得的值，用组人数除以总人数即可得出答案，继而补全图形即可；
根据中位数的定义求解即可；
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
 

22.【答案】证明：连接，如图，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
解：设的半径为，则，，
，
，
，
解得：．
的半径为；
，．
，
∽，
，
，
． 

【解析】连接，利用圆周角定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质与垂直的定义得到，利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论；
设的半径为，则，，利用的结论和勾股定理列出方程解答即可求得圆的半径；利用相似三角形的判定与性质，理财比例式即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定与性质，锤击点性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
 

23.【答案】；
如答图，过点作于点，于点，则，


，，
，
又，
∽，
，
由知，，
，

答：变化，
证明：如答图，过点作于点，于点，则，，，

，，
，，
∽，
，得，
在中，，
，
，，
，
又，
∽，
，
的值发生变化． 

【解析】

解：矩形，
，，
，，
，
，
，，
，
．
在与中，

≌，
．
在中，，
；
故答案为：；
见答案；
见答案．
【分析】
证明≌，得；在中，解直角三角形求得的值；
如答图所示，作辅助线，构造直角三角形，证明∽，并利用的结论，求得的值；
如答图所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明∽，求得的值；然后证明∽，从而由求得的值．与问相比较，的值发生了变化．
此题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，本题三问的解题思路是一致的：即都是直接或作辅助线构造直角三角形，通过相似三角形或全等三角形解决问题．  

24.【答案】解：抛物线的对称轴是直线，
，
，
抛物线的解析式为；
存在；
令，则，
则抛物线与轴的交点的坐标是，
令，则，
解得：，，
点在点右侧，
抛物线与轴的交点坐标为：，，
连接，设点的坐标为点在第一象限的抛物线上，



，
，



，
，
四边形的面积有最大值，
，
当时，四边形的面积最大，最大值为，
此时，
点的坐标为，
存在点，使得四边形的面积最大，最大值为． 

【解析】由抛物线的对称轴公式求出的值，即可得出抛物线的解析式；
先求出抛物线与轴的交点、的坐标，与轴的交点的坐标，根据四边形的面积等于的面积与的面积之和可求出面积最大时的值，从而得到点的坐标．
本题主要考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求解析式，解析式法求面积及点的坐标的存在性，最值问题，难度较大，需认真思考．