高中数学2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第二课时教案

这是一份高中数学2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第二课时教案，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学方法，教学过程等内容，欢迎下载使用。

一、教学目标
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义.
2.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题．
二、教学重难点
1.理解二次函数及一元二次方程、一元二次不等式的联系
2.会运用二次不等式模型求解范围及最值等问题及化归思想的呈现
三、教学方法
“问题链”教学法；
“以学生为中心的课堂展开”
四、教学过程
1.复习引入
2.变式探究
一元二次不等式的本质
问题1：现在，让我们回到问题的本质上去，为什么一元二次不等式的解是这个是形式？如果是一元高次不等式呢，我们又将如何解决？
【活动预设】
引导学生回归问题本质，运用乘法的性质来重新认识一元二次不等式，让理解力强的同学能举一反三解决三次不等式.
【设计意图】
从感知个例到分析通例，遵循从特殊到一般的思路，在具体实践的基础上进行理性分析，认识一元二次不等式的本质，加深外延的理解,为后续高次不等式的学习作铺垫.
1．不等式的解集为 ( )
A．
B．
C．
D．
【预设的答案】B
问题2：若上述不等式改为三次不等式如：：，那么我们有什么办法求解呢？问题的本质是怎么样的呢？
【预设的答案】或
当我们将因式看作一个整体时，上述问题就归化为一元二次不等式的解题本质上去了，其本质是两同号因式相乘结果为正，两异号因式相乘结果为负。
分式不等式
问题3：在明确了问题的本质后，如果两个因式相乘与相除有什么不同呢，在具体的求解中我们又要注意些什么？
【活动预设】
引导学生回归问题本质，既然乘法与除法在结果上有相似性，那么对一元二次不等式问题进行迁移就可以解决分式不等式
【设计意图】
从感知个例到分析通例，遵循从特殊到一般的思路，在具体实践的基础上进行理性分析，认识分式不等式的本质，并理解乘法与除法的区别在于：分母不能为零
2.解下列不等式：
(1)eq \f(2x－5,x＋4)<0； (2)eq \f(x＋1,2x－3)≤1.
【预设的答案】解 (1)eq \f(2x－5,x＋4)<0⇔(2x－5)(x＋4)<0⇔－4∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4(2)∵eq \f(x＋1,2x－3)≤1，∴eq \f(x＋1,2x－3)－1≤0，
∴eq \f(－x＋4,2x－3)≤0，即eq \f(x－4,x－\f(3,2))≥0.
此不等式等价于(x－4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))≥0且x－eq \f(3,2)≠0，解得x∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(3,2)或x≥4)))).
反思感悟 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母即可．
跟踪训练1 解下列不等式：
(1)eq \f(2x－1,3x＋1)≥0；(2)eq \f(2－x,x＋3)>1.
【预设的答案】 (1)原不等式可化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－13x＋1≥0，,3x＋1≠0.))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤－\f(1,3)或x≥\f(1,2)，,x≠－\f(1,3)，))∴x<－eq \f(1,3)或x≥eq \f(1,2)，
∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,3)或x≥\f(1,2))))).
(2)方法一 原不等式可化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3>0，,2－x>x＋3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3<0，,2－x解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>－3，,x<－\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－3，,x>－\f(1,2)，))
∴－3∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3方法二 原不等式可化为eq \f(2－x－x＋3,x＋3)>0，
化简得eq \f(－2x－1,x＋3)>0，即eq \f(2x＋1,x＋3)<0，
∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3不等式恒成立问题
问题4：在理解二次函数及一元二次方程、一元二次不等式的联系后，能否提炼出一元二次不等式恒成立问题的解题核心？
【活动预设】
引导学生回归一元二次函数图象来解决恒成立问题.
【设计意图】
从感知个例到分析通例，遵循从特殊到一般的思路，在具体实践的基础上进行理性分析，认识恒成立问题，渗透数形结合这一思想，加深对一元二次不等式，一元二次方程，二次函数三者的联系的理解,为后续函数的学习作铺垫.
3.
(1)若对∀x∈R不等式x2＋mx>4x＋m－4恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若x2>4x＋m－4在R上恒成立，求m的取值范围．
【预设的答案】解 (1)原不等式可化为x2＋(m－4)x＋4－m>0，
∴Δ＝(m－4)2－4(4－m)＝m2－4m<0，
∴0∴m的取值范围为{m|0(2)原不等式可化为x2－4x＋4＝(x－2)2>m恒成立，
∴m<0，
∴m的取值范围为{m|m<0}．
[素养提升] 一元二次不等式恒成立的情况：
ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0.))
ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ≤0.))
1．知识清单：
(1)简单的分式不等式的解法
(2)利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：
①选取合适的字母表示题目中的未知数；
②由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
③求解所列出的不等式(组)；
④结合题目的实际意义确定答案．
2．方法归纳：转化、恒等变形．
3．常见误区：利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义．
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))))
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1∅
∅