高中数学人教版新课标A选修2-13.2立体几何中的向量方法练习题

课时作业(四十一)　[第41讲　立体几何中的向量方法(一)——位置关系的证明]

[时间：45分钟　　分值：100分]

1．直线l1，l2相互平行，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是(　　)

A．s1＝(0,1,2)，s2＝(2,1,0)

B．s1＝(0,1,1)，s2＝(1,1,0)

C．s1＝(1,1,2)，s2＝(2,2,4)

D．s1＝(1,1,1)，s2＝(－1,2，－1)

2．直线l1，l2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是(　　)

A．s1＝(1,1,2)，s2＝(2，－1,0)

B．s1＝(0,1，－1)，s2＝(2,0,0)

C．s1＝(1,1,1)，s2＝(2,2，－2)

D．s1＝(1，－1,1)，s2＝(－2,2，－2)

3．若直线l∥平面α，直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，则下列结论正确的是(　　)

A．s＝(－1,0,2)，n＝(1,0，－1)

B．s＝(－1,0,1)，n＝(1,2，－1)

C．s＝(－1,1,1)，n＝(1,2，－1)

D．s＝(－1,1,1)，n＝(－2,2,2)

4．若直线l⊥平面α，直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，则下列结论正确的是(　　)

A．s＝(1,0,1)，n＝(1,0，－1)

B．s＝(1,1,1)，n＝(1,1，－2)

C．s＝(2,1,1)，n＝(－4，－2，－2)

D．s＝(1,3,1)，n＝(2,0，－1)

5．若平面α，β平行，则下面可以是这两个平面的法向量的是(　　)

A．n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1)

B．n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1)

C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1)

D．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2)

6．若平面α，β垂直，则下面可以是这两个平面的法向量的是(　　)

A．n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1)

B．n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1)

C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1)

D．n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2)

7．直线l的方向向量为s＝(－1,1,1)，平面π的法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥平面π，则x的值为(　　)

A．－2  B．－

C.  D．±

8．[2011·枣庄模拟]  已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的单位法向量是(　　)

A．s＝±(1,1,1)

B．s＝±

C．s＝±

D．s＝±

9．[2011·宁波调研]  已知非零向量a，b及平面α，若向量a是平面α的法向量，则a·b＝0是向量b所在直线平行于平面α或在平面α内的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

10．平面α的一个法向量n＝(0,1，－1)，如果直线l⊥平面α，则直线l的单位方向向量是s＝________.

11．空间中两个有一条公共边AD的正方形ABCD与ADEF，设M，N分别是BD，AE的中点，给出如下命题：①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN，CE异面．

则所有正确命题的序号为________．

12．平面α经过点A(0,0,2)且一个法向量n＝(1，－1，－1)，则x轴与该平面的交点坐标是________．

13．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为________．

14．(10分)如图K41－1，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥BP交BP于点F.

(1)证明：PA∥平面EDB；

(2)证明：PB⊥平面EFD.

图K41－1

15．(13分)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°，AB＝AA1＝2，AC＝1，M，N分别是A1B1，BC的中点．

(1)求证：AB⊥AC1；

(2)求证：MN∥平面ACC1A1.

图K41－2

16．(12分)如图K41－3，已知棱长都为1的三棱锥O－ABC，棱OA的中点为M，自O作平面ABC的垂线，垂足为H，OH与平面MBC交于点I.

(1)将用，，表示；

(2)P点分线段MB的比为(0<t<1)，

①将用t，，表示；

②若三点P，I，C在同一直线上，求t的值；

③若PO⊥PA，求t的值．

图K41－3

课时作业(四十一)

【基础热身】

1．C　[解析] 两直线平行则其方向向量平行，根据两向量平行的条件检验知正确选项为C.

2．B　[解析] 两直线垂直，其方向向量垂直，只有选项B中的两个向量垂直．

3．C　[解析] 直线与平面平行，直线的方向向量和平面的法向量垂直，检验知正确选项为C.

4．C　[解析] 线面垂直时，直线的方向向量平行于平面的法向量，只有选项C中的两向量平行．

【能力提升】

5．D　[解析] 两个平面平行时其法向量也平行，检验知正确选项为D.

6．A　[解析] 两个平面垂直时其法向量垂直，只有选项A中的两个向量垂直．

7．D　[解析] 线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，故x2－2＝0，解得x＝±.

8．C　[解析] 先求出平面ABC的一个法向量，再把其单位化．不难求出其一个法向量是n＝(1,1,1)，单位化得s＝±.

9．C　[解析] 根据向量与平面平行、以及平面的法向量与直线的方向向量之间的关系进行判断．

a·b＝0说明向量b垂直于平面α的法向量，故向量b与平面α共面，此时向量b所在的直线平行于平面α或在平面α之内；反之a·b＝0.

10．±　[解析] 直线l的方向向量平行于平面α的法向量，故直线l的单位方向向量是s＝±.

11．①②③　[解析] 如图，设＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|c|且a·b＝c·b＝0.＝－＝(b＋c)－(a＋b)＝(c－a)，·＝(c－a)·b＝(c·b－a·b)＝0，故AD⊥MN；＝c－a＝2，故MN∥CE，故MN∥平面CDE，故①②③正确；④一定不正确．

12．(－2,0,0)　[解析] 设交点M(x,0,0)，＝(x,0，－2)，平面的一个法向量是n＝(1，－1，－1)，故n⊥，故x＋2＝0，得x＝－2，故x轴与该平面的交点坐标是(－2,0,0)．

13.，－，4　[解析] 由题知：⊥，⊥.

所以

即

解得x＝，y＝－，z＝4.

14．[解答] 证明：以D为坐标原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系．设DC＝a.

(1)连接AC，AC交BD于G，连接EG.依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E.

因为底面ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故点G的坐标为，

且＝(a,0，－a)，＝.所以＝2，这表明PA∥EG.而EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.

(2)依题意得B(a，a,0)，＝(a，a，－a)，＝，

故·＝0＋－＝0，

所以PB⊥DE，

由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，所以PB⊥平面EFD.

15．[解答] 依条件可知AB，AC，AA1两两垂直．如图，以点A为原点建立空间直角坐标系A－xyz.

根据条件容易求出如下各点坐标：

A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(－1,0,0)，A1(0,0,2)，B1(0,2,2)，C1(－1,0,2)，M(0,1,2)，N.

(1)证明：因为＝(0,2,0)，＝(－1,0,2)，所以·＝0×(－1)＋2×0＋0×2＝0.

所以⊥，即AB⊥AC1.

(2)证明：因为＝，＝(0,2,0)是平面ACC1A1的一个法向量，

且·＝－×0＋0×2－2×0＝0，

所以⊥.

又MN⊄平面ACC1A1，

所以MN∥平面ACC1A1.

【难点突破】

16．[解答] (1)据已知，H是正△ABC的中心，∴＝(＋＋)，又I在上，故存在实数λ，使＝λ＝(＋＋)＝(2＋＋)，

∵I在平面MBC内，故＋＋＝1，即λ＝，于是＝(＋＋)．

(2)①＝t，＝(1－t)，＝＋＝＋t＝＋t(－)＝＋t＝＋t；

②P在直线IC上，故存在实数m，使

＝(1－m)＋m＝(1－m)＋·＋·＋·

＝·＋·＋·，

比较①②中两式可得

解得故t的值为.

③·＝·(－)＝·

＝2＋t22－t2·

＝·12＋t2·12－t2·1·1·cos60°＝，

∵⊥，∴·＝0，∴＝0，即t＝±，

又∵0<t<1，∴t＝即为所求．