高中数学人教版新课标A选修2-13.2立体几何中的向量方法教学设计

课题：3.2立体几何中的向量方法（空间距离） 第    课时     总序第    个教案

课型： 新授课                 编写时时间：   年  月  日     执行时间：   年  月  日

教学目标：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．

批   注

教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用。

教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用

教学用具： 三角板

教学方法： 探究

教学过程：

利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题．

例１如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．

分析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点B到平面EFG的距离．

解：如图，设4i，4j，2k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系C－xyz．

由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．

∴　，，

　　　　 ，，

．

设平面EFG，M为垂足，则M、G、E、F四点共面，由共面向量定理知，存在实数a、b、c，使得，

∴　＝(2a+4b,－2b－4c,2c)．

由平面EFG，得，，于是

　　，．

∴　

整理得：，解得．

∴　＝(2a+4b,－2b－4c,2c)＝．

∴　

故点B到平面EFG的距离为．

说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了．

例2已知正方体ABCD－的棱长为1，求直线与AC的距离．

分析：设异面直线、AC的公垂线是直线l，则线段在直线l上的射影就是两异面直线的公垂线段，所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解．

解：如图，设i，j，k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系－xyz，则有

，，，．

∴　，，．

设n是直线l方向上的单位向量，则．

∵　n，n，

∴　，解得或．

取n，则向量在直线l上的投影为

　　　n··．

由两个向量的数量积的几何意义知，直线与AC的距离为．

教学后记：