人教版新课标A选修2-32.1离散型随机变量及其分布列课后复习题

这是一份人教版新课标A选修2-32.1离散型随机变量及其分布列课后复习题，共11页。
理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.
【基础知识】
1、事件的分类：在一定条件下必然发生的事件，叫做必然事件；在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件；在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件.
2、事件A的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某一个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)（0≤P(A)≤1）；必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.
3.等可能事件的概率：
（1）基本事件：一次试验连同其中可能出现的结果称为一个基本事件.
（2）如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性相等，那么每一个基本事件的概率都是.如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.
4.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示
5. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量
6．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
7.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出
若是随机变量，是常数，则也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）
8. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列
9. 分布列的两个性质：
⑴Pi≥0，i＝1，2，…；
⑵P1+P2+…=1．
10.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
，（k＝0,1,2,…，n，）．
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记＝b(k；n，p)．
11.两点分布列
两点分布列的应用非常广泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究．如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布 ( tw一pint distributin)，而称=P (X = 1）为成功概率．
两点分布又称0一1分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利（ Bernulli ) 试验，所以还称这种分布为伯努利分布．
，， ，．
12. 超几何分布列
一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X件次品数，则事件 {X=k｝发生的概率为
,
其中，且．称分布列
为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布
13.求离散型随机变量的概率分布的步骤:
（1）确定随机变量的所有可能的值xi；
（2）求出各取值的概率p(=xi)=pi，注意利用分布列的性质检验；
（3）画出表格。
【例题精讲】
例1 山东水浒书业在2009年8月举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：
(1)从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；
(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．
∴ξ的分布列为
例2 2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：
从中随机地选取5只．
(1)求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；
(2)若完整地选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设X表示所得的分数，求X的分布列．
解：(1)选取的5只恰好组成完整“奥运会吉祥物”的概率
P＝eq \f(C21·C31,C85)＝eq \f(6,56)＝eq \f(3,28).
(2)X的取值为100,80,60,40.
X的分布列为
11.6离散型随机变量及其分布列强化训练
【基础精练】
1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条
件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是( )
A．5 B．9 C．10 D．25
2．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：
则q等于 ( )
A．1 B．1±eq \f(\r(2),2) C．1－eq \f(\r(2),2) D．1＋eq \f(\r(2),2)
3．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq \f(1,2k)，k＝1,2，…，则P(2＜X≤4)等于( )
A.eq \f(3,16) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,16) D.eq \f(5,16)
4．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为
( )
A.eq \f(1,220) B.eq \f(27,55) C.eq \f(27,220) D.eq \f(21,55)
5．若离散型随机变量X的分布列为：
则常数c的值为 ( )
A.eq \f(2,3)或eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,3) D．1
6．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，a、b、c∈(0,1)，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况)，则ab的最大值为 ( )
A.eq \f(1,48) B.eq \f(1,24) C.eq \f(1,12) D. eq \f(1,6)
7．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么n＝________.
8．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布为
9．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)的值为________．
10．某重点高校数学教育专业的三位毕业生甲、乙、丙参加了一所中学的招聘面试，面试合格者可以正式签约，毕业生甲表示只要面试合格就签约，毕业生乙和丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约，设每人面试合格的概率都是eq \f(1,3)，且面试是否合格互不影响，求：
(1)至少有1人面试合格的概率；
(2)签约人数X的分布列．
11．甲，乙两人射击，每次射击击中目标的概率分别是eq \f(1,3)，eq \f(1,4).现两人玩射击游戏，规则如下：若某人某次射击击中目标，则由他继续射击，否则由对方接替射
击．甲、乙两人共射击3次，且第一次由甲开始射击．假设每人每次射击击中目标与否均互不影响．
(1)求3次射击的人依次是甲、甲、乙的概率；
(2)若射击击中目标一次得1分，否则得0分(含未射击)．用X表示乙的总得分，求X的分布列和数学期望．
12．为应对金融危机，刺激消费，某市给市民发放旅游消费券，由抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如下表：
某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点，
(1)求这三人恰有两人消费额大于300元的概率；
(2)求这三人消费总额大于或等于1300元的概率；
(3)设这三人中消费额大于300元的人数为X，求X的分布列．
【拓展提高】
1.某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为eq \f(3,5)，且各次射击的结果互不影响．
(1)求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答)；
(2)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率(用数字作答)；
(3)设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．
2．袋中有8个白球，2个黑球，从中随机地连续取3次球，每次取1个，求：
(1)不放回抽样时，取到黑球的个数ξ的分布列；
(2)放回抽样时，取到黑球个数η的分布列．
【基础精练参考答案】
1. B解析：号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9种．
2. C【解析】：由分布列的性质得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤1－2q＜1,0≤q2＜1,0.5＋1－2q＋q2＝1))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜q≤\f(1,2)，,q＝1±\f(\r(2),2).))
∴q＝1－eq \f(\r(2),2).
3. A解析：P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq \f(1,23)＋eq \f(1,24)＝eq \f(3,16).
4 C.解析：X＝4表示取2个旧的，一个新的，
∴P(X＝4)＝eq \f(C\\al(2,3) ·C\\al(1,9),C\\al(3,12))＝eq \f(27,220).
5. C解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9c2－c≥0，,3－8c≥0，,9c2－c＋3－8c＝1，)) ∴c＝eq \f(1,3).
6. B解析：由已知3a＋2b＋0×c＝1，∴3a＋2b＝1，
∴ab＝eq \f(1,6)·3a·2b≤eq \f(1,6)eq \f((3a＋2b)2,4)＝eq \f(1,24)，
当且仅当a＝eq \f(1,6)，b＝eq \f(1,4)时取“等号”．
7. 10解析：∵P(X＝k)＝eq \f(1,n)(k＝1,2，…，n)，
∴0.3＝P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq \f(3,n)，
∴n＝10.
8. 0.1 0.6 0.3解析：当2球全为红球时eq \f(C\\al(2,3),C\\al(2,5))＝0.3，
当2球全为白球时eq \f(C\\al(2,2),C\\al(2,5))＝0.1，
当1红、1白时eq \f(C\\al(1,3)·C\\al(1,2),C\\al(2,5))＝eq \f(6,10)＝0.6.
9. eq \f(1,3)解析：设X的分布列为：
即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，设失败的概率为p，成功的概率为2p，由p＋2p＝1，则p＝eq \f(1,3).
10.解：(1)至少有1人面试合格的概率为
P＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(19,27).
(2)P(X＝0)＝eq \f(2,3)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＋eq \f(2,3)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(16,27).
P(X＝1)＝eq \f(1,3)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(8,27)，
P(X＝2)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,27).
P(X＝3)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,27).
从而X的分布列为
11. 解：(1)记“3次射击的人依次是甲、甲、乙”为事件A.由题意，得事件A的概率P(A)＝eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9)；
(2)由题意，X的可能取值为0,1,2，
P(X＝0)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)＋eq \f(2,3)×eq \f(3,4)＝eq \f(7,9)；
P(X＝1)＝eq \f(1,3)×eq \f(2,3)×eq \f(1,4)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,4)×eq \f(3,4)＝eq \f(13,72)；
P(X＝2)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,24).
所以，X的分布列为：
12.解：(1)P1＝(0.3)2×0.6＋2×0.3×0.7×0.4＝0.222；
(2)消费总额为1500元的概率是：0.1×0.1×0.2＝0.002消费总额为1400元的概率是：(0.1)2×0.2＋2×(0.2)2×0.1＝0.010，
消费总额为1300元的概率是：(0.1)2×0.3＋0.3×0.1×0.2＋0.1×0.4×0.2＋0.23＋2×0.22×0.1＝0.033.
所以消费总额大于或等于1300元的概率是P2＝0.045；
(3)P(X＝0)＝0.7×0.7×0.6＝0.294，
P(X＝1)＝0.3×0.7×0.6×2＋0.7×0.7×0.4＝0.448，
P(X＝2)＝0.3×0.3×0.6＋0.3×0.7×0.4×2＝0.222，
P(X＝3)＝0.3×0.3×0.4＝0.036.
所以X的分布列为：
【拓展提高参考答案】

2【解析】 (1)不放回抽样时，取到的黑球个数ξ可能的取值为0,1,2，
且有：p(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(3,8),C\\al(3,10))＝eq \f(7,15)，p(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(2,8),C\\al(3,10))＝eq \f(7,15)，
p(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,2)C\\al(1,8),C\\al(3,10))＝eq \f(1,15)，
所以ξ的分布列为：
(2)有放回抽样时，取到的黑球数η可能的取值为0,1,2,3.又由于每次抽到黑球的概率均为eq \f(2,10)＝eq \f(1,5)，3次取球可以看成3次独立重复试验，
即η～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,5)))，
p(η＝k)＝Ceq \\al(k,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))3－k
＝Ceq \\al(k,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))3－k，(k＝0,1,2,3)．
其分布列
ξ
x1
x2
…
xi
…
P
P1
P2
…
Pi
…
ξ
0
1
…
k
…
n
P
…
…
ξ
0
1
P
X
0
1
…
P
…
版本
人教A版
人教B版
苏教版
北师大版
人数
20
15
5
10
ξ
0
1
2
P
eq \f(3,17)
eq \f(60,119)
eq \f(38,119)
福娃名称
贝贝
晶晶
欢欢
迎迎
妮妮
数量
1
2
3
1
1
X
100
80
60
40
P
eq \f(3,28)
eq \f(31,56)
eq \f(9,28)
eq \f(1,56)
X
－1
0
1
P
0.5
1－2q
q2
X
0
1
: 9c2－c
3－8c
X
0
1
2
P
200元
300元
400元
500元
老年
0.4
0.3
0.2
0.1
中年
0.3
0.4
0.2
0.1
青年
0.3
0.3
0.2
0.2
X
0
1
P
p
2p
X
0
1
2
3
P
eq \f(16,27)
eq \f(8,27)
eq \f(2,27)
eq \f(1,27)
X
0
1
2
P
eq \f(7,9)
eq \f(13,72)
eq \f(1,24)
X
0
1
2
3
P
0.294
0.448
0.222
0.036
ξ
0
1
2
P
eq \f(7,15)
eq \f(7,15)
eq \f(1,15)
ξ
0
1
2
3
P
eq \f(64,125)
eq \f(48,125)
eq \f(12,125)
eq \f(1,125)