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中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第17讲 统计初步（解析版）学案
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这是一份中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第17讲 统计初步（解析版）学案，共20页。学案主要包含了平均数，统计学中的几个基本概念，众数，方差等内容，欢迎下载使用。
中考数学一轮复习讲义
考点十七：统计知识初步
聚焦考点☆温习理解
一、平均数
1、平均数的概念
(1)平均数：一般地，如果有n个数那么，叫做这n个数的平均数，读作“x拔”。
(2)加权平均数：如果n个数中，出现次，出现次，…，出现次(这里)，那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中叫做权。
2、平均数的计算方法
(1)定义法
当所给数据比较分散时，一般选用定义公式：
(2)加权平均数法：
当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：，其中。
(3)新数据法：
当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：。
其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，，，…，。是新数据的平均数(通常把叫做原数据，叫做新数据)。
二、统计学中的几个基本概念
1、总体
所有考察对象的全体叫做总体。
2、个体
总体中每一个考察对象叫做个体。
3、样本
从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。
4、样本容量
样本中个体的数目叫做样本容量。
5、样本平均数
样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。
6、总体平均数
总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。
三、众数、中位数
1、众数
在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
2、中位数
将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。
四、方差
1、方差的概念
在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“”表示，即
2、方差的计算
(1)基本公式：
(2)简化计算公式(Ⅰ)：
也可写成
此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。
(3)简化计算公式(Ⅱ)：
当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据，，…，，那么，
此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。
(4)新数据法：
原数据的方差与新数据，，…，的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得的方差就等于原数据的方差。
3、标准差
方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即
名师点睛☆典例分类
考点典例一、平均数
【例1】(2019•山东临沂•3分)小明记录了临沂市五月份某周每天的日最高气温(单位：℃)，列成如表：
天数(天)
1
2
1
3
最高气温(℃)
22
26
28
29
则这周最高气温的平均值是( )
A．26.25℃ B．27℃ C．28℃ D．29℃
【分析】由加权平均数公式即可得出结果．
【解答】解：这周最高气温的平均值为(1×22+2×26+1×28+3×29)＝27(℃)；
故选：B．
【点评】本题考查了加权平均数公式；熟练掌握加权平均数的计算是解决问题的关键．
【举一反三】
(2018上海中考模拟)某企业今年第一季度各月份产值占这个季度总产值的百分比如图所示，又知二月份产值是72万元，那么该企业第一季度月产值的平均数是 万元．
【答案】120
【解析】
试题分析：第一季度的总产值是72÷(1﹣45%﹣25%)=360(万元)，
则该企业第一季度月产值的平均值是×360=120(万元)．
考点：平均数、扇形统计图
考点典例二、众数、中位数
【例2】(2019•江苏无锡•3分)已知一组数据：66，66，62，67，63，这组数据的众数和中位数分别是( )
A．66，62 B．66，66 C．67，62 D．67，66
【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列，第3个数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是66，得到这组数据的众数．
【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：62，63，66，66，67，
第3个数是66，
所以中位数是66，
在这组数据中出现次数最多的是66，
即众数是66，
故选：B．
【点评】此题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数．
【举一反三】
1. (2019•广东广州•3分)广州正稳步推进碧道建设，营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群”的生态廊道，使之成为老百姓美好生活的好去处．到今年底各区完成碧道试点建设的长度分别为(单位：千米)：5，5.2，5，5，5，6.4，6，5，6.68，48.4，6.3，这组数据的众数是( )
A．5 B．5.2 C．6 D．6.4
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：5出现的次数最多，是5次，所以这组数据的众数为5
故选：A．
【点评】本题主要考查众数的定义，是需要熟练掌握的概念．
2. (2019•山东泰安•4分)某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：
下列结论不正确的是( )
A．众数是8 B．中位数是8
C．平均数是8.2 D．方差是1.2
【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．
【解答】解：由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故A选项正确；
10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是(8+8)＝8，故B选项正确；
平均数为(6+7×2+8×3+9×2+10×2)＝8.2，故C选项正确；
方差为[(6﹣8.2)2+(7﹣8.2)2+(7﹣8.2)2+(8﹣8.2)2+(8﹣8.2)2+(8﹣8.2)2+(9﹣8.2)2+(9﹣8.2)2+(10﹣8.2)2+(10﹣8.2)2]＝1.56，故D选项错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差，用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差．
考点典例三、方差
【例3】(2019•江苏宿迁•3分)甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米，方差分别是S甲2、S乙2，且S甲2＞S乙2，则队员身高比较整齐的球队是 乙 ．
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵S甲2＞S乙2，
∴队员身高比较整齐的球队是乙，
故答案为：乙．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【举一反三】
1. (2019•贵州省安顺市•4分)已知一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差为2，则另一组数据3x1，3x2，3x3，…，3xn的方差为 ．
【解答】解：∵一组数据x1，x2，x3…，xn的方差为2，
∴另一组数据3x1，3x2，3x3…，3xn的方差为32×2＝18．
故答案为18．
2. 如果一组数据6、7、x、9、5的平均数是2x，那么这组数据的方差为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【来源】山东省滨州市2018年中考数学试题
【答案】A
【解析】分析：先根据平均数的定义确定出x的值，再根据方差公式进行计算即可求出答案．
详解：根据题意，得：=2x
解得：x=3，
则这组数据为6、7、3、9、5，其平均数是6，
所以这组数据的方差为[(6﹣6)2+(7﹣6)2+(3﹣6)2+(9﹣6)2+(5﹣6)2]=4，
故选A．
点睛：此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．
课时作业☆能力提升
一．选择题
1. (2018浙江丽水中考模拟)据调查，某班20为女同学所穿鞋子的尺码如表所示，则鞋子尺码的众数和中位数分别是( )
尺码(码)
34
35
36
37
38
人数
2
5
10
2
1
A．35码，35码 B．35码，36码 C．36码，35码 D．36码，36码
【答案】D.
【解析】
试题解析：数据36出现了10次，次数最多，所以众数为36，
一共有20个数据，位置处于中间的数是：36，36，所以中位数是(36+36)÷2=36．
故选D．
考点：1.众数；2.中位数.
2．(2018山东德州中考模拟)某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：
该店主决定本周进货时，增加一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是( )
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
【答案】C
【解析】
考点：方差；加权平均数；中位数；众数
3. 为调查某大型企业员工对企业的满意程度，以下样本最具代表性的是( )
A. 企业男员工 B. 企业年满50岁及以上的员工
C. 用企业人员名册，随机抽取三分之一的员工 D. 企业新进员工
【来源】【全国省级联考】2018年重庆市中考数学试卷(A卷)
【答案】C
【解析】【分析】样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．根据样本的确定方法与原则，结合实际情况，依次分析选项可得答案．
【详解】A、调查对象只涉及到男性员工，选取的样本不具有代表性质；
B、调查对象只涉及到即将退休的员工，选取的样本不具有代表性质；
C、用企业人员名册，随机抽取三分之一的员工，选取的样本具有代表性；
D调查对象只涉及到新进员工，选取的样本不具有代表性，
故选C.
4. 某班组织了针对全班同学关于“你最喜欢的一项体育活动”的问卷调查后，绘制出频数分布直方图，由图可知，下列结论正确的是
A. 最喜欢篮球的人数最多 B. 最喜欢羽毛球的人数是最喜欢乒乓球人数的两倍
C. 全班共有50名学生 D. 最喜欢田径的人数占总人数的10 %
【来源】江西省2018年中等学校招生考试数学试题
【答案】C
【点睛】本题考查了频数分布直方图，从直方图中得到必要的信息进行解题是关键.
5. (2019•浙江嘉兴)2019年5月26日第5届中国国际大数据产业博览会召开．某市在五届数博会上的产业签约金额的折线统计图如图．下列说法正确的是
A．签约金额逐年增加
B．与上年相比，2019年的签约金额的增长量最多
C．签约金额的年增长速度最快的是2016年
D．2018年的签约金额比2017年降低了22.98%
【答案】C
【解析】A．错误．签约金额2017，2018年是下降的．
B．错误．与上年相比，2016年的签约金额的增长量最多．
C．正确．
D．错误．下降了：≈9.3%．故选C．
【名师点睛】本题考查折线统计图，解题的关键是理解题意读懂图象信息，属于中考常考题型．
6. (2018湖北武汉元调)在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示．
成绩/
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数
2
3
2
3
4
1
则这些运动员成绩的中位数，众数分别为( )
A．1．65，1．70 B．1．65，1．75 C． 1．70，1．75 D．1．70，1．70
【答案】C.
【解析】
试题解析：将数据从小到大排列为：1.50，150，1.60，1.60，160，1.65，1.65， 1.70，1.70，1.70，1.75，1.75，1.75，1.75，1.80.
众数为：1.75；
中位数为：1.70．
故选C．
考点：1.中位数；2.众数.
7. 已知一组数据：6，2，8，x，7，它们的平均数是6．则这组数据的中位数是( )
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
【来源】山东省德州市2018年中考数学试题
【答案】A
点睛：本题考查了中位数和平均数的知识，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
8. 为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲，乙两组数据，如下表：
甲
2
6
7
7
8
乙
2
3
4
8
8
关于以上数据，说法正确的是( )
A. 甲、乙的众数相同 B. 甲、乙的中位数相同
C. 甲的平均数小于乙的平均数 D. 甲的方差小于乙的方差
【来源】安徽省2018年中考数学试题
【答案】D
【解析】【分析】分别根据众数、中位数、平均数、方差的定义进行求解后进行判断即可得.
【详解】甲：数据7出现了2次，次数最多，所以众数为7，
排序后最中间的数是7，所以中位数是7，
，
=4.4，
乙：数据8出现了2次，次数最多，所以众数为8，
排序后最中间的数是4，所以中位数是4，
，
=6.4，
所以只有D选项正确，
故选D.
【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，熟练掌握相关定义及求解方法是解题的关键.
9. 某中学九年级二班六级的8名同学在一次排球垫球测试中的成绩如下(单位：个)
35 38 42 44 40 47 45 45
则这组数据的中位数、平均数分别是( )
A. 42、42 B. 43、42 C. 43、43 D. 44、43
【来源】山东省泰安市2018年中考数学试题
【答案】B
点睛：本题考查的是中位数的确定、算术平均数的计算，掌握中位数的概念、算术平均数的计算公式是解题的关键．
二．填空题
11. 春节期间，重庆某著名旅游景点成为热门景点，大量游客慕名前往，市旅游局统计了春节期间5天的游客数量，绘制了如图所示的折线统计图，则这五天游客数量的中位数为______.
【来源】【全国省级联考】2018年重庆市中考数学试卷(A卷)
【答案】23.4
【点睛】本题考查了中位数的定义，熟知“中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)”是解题的关键.
12．(2019•浙江嘉兴)2019年5月26日第5届中国国际大数据产业博览会召开．某市在五届数博会上的产业签约金额的折线统计图如图．下列说法正确的是
A．签约金额逐年增加
B．与上年相比，2019年的签约金额的增长量最多
C．签约金额的年增长速度最快的是2016年
D．2018年的签约金额比2017年降低了22.98%
【答案】C
【解析】A．错误．签约金额2017，2018年是下降的．
B．错误．与上年相比，2016年的签约金额的增长量最多．
C．正确．
D．错误．下降了：≈9.3%．故选C．
【名师点睛】本题考查折线统计图，解题的关键是理解题意读懂图象信息，属于中考常考题型．
13. 如图是我国2013～2017年国内生产总值增长速度统计图，则这5年增长速度的众数是_____．
【来源】浙江省金华市2018年中考数学试题
【答案】6.9%．
【解析】分析：根据众数的概念判断即可．
详解：这5年增长速度分别是7.8%、7.3%、6.9%、6.7%、6.9%，
则这5年增长速度的众数是6.9%，
故答案为：6.9%．
点睛：本题考查的是众数的确定，掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数是解题的关键．
14. 一组数据1，3，2，7，x，2，3的平均数是3，则该组数据的众数为________．
【来源】浙江省温州市2018年中考数学试卷
【答案】3
点睛: 本题考查的是平均数和众数的概念．注意一组数据的众数可能不只一个.
15. 某校拟招聘一名优秀数学教师，现有甲、乙、丙三名教师入围，三名教师师笔试、面试成绩如右表所示，综合成绩按照笔试占60%、面试占40%进行计算，学校录取综合成绩得分最高者，则被录取教师的综合成绩为分_____．
【来源】四川省宜宾市2018年中考数学试题
【答案】78.8分．
【解析】分析：根据题意先算出甲、乙、丙三人的综合成绩，再进行比较，即可得出答案．
详解：∵甲的综合成绩为80×60%+76×40%=78.4(分)，
乙的综合成绩为82×60%+74×40%=78.8(分)，
丙的综合成绩为78×60%+78×40%=78(分)，
∴被录取的教师为乙，其综合成绩为78.8分，
故答案为：78.8分．
点睛：本题考查了加权平均数的计算公式，注意，计算平均数时按60%和40%进行计算．
三．解答题
16. 某市举行“传承好家风”征文比赛，已知每篇参赛征文成绩记m分(60≤m≤100)，组委会从1000篇征文中随机抽取了部分参赛征文，统计了他们的成绩，并绘制了如下不完整的两幅统计图表.
请根据以上信息，解决下列问题：
(1)征文比赛成绩频数分布表中c的值是________；
(2)补全征文比赛成绩频数分布直方图；
(3)若80分以上(含80分)的征文将被评为一等奖，试估计全市获得一等奖征文的篇数.
【来源】江苏省宿迁市2018年中考数学试卷
【答案】(1)0.2；(2)补全征文比赛成绩频数分布直方图见解析；(3)全市获得一等奖征文的篇数为300篇.
【详解】(1)c=1-0.38-0.32-0.1=0.2，
故答案为：0.2；
(2)38÷0.38=100，a=100×0.32=32，b=100×0.2=20，
补全征文比赛成绩频数分布直方图如图所示：
【点睛】本题考查了频数分布表、频数分布直方图，熟知频数、频率、总数之间的关系是解本题的关键.
17 (2019·浙江台州)安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表．
(1)宣传活动前，在抽取的市民中哪一类别的人数最多？占抽取人数的百分之几？
(2)该市约有30万人使用电瓶车，请估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数；
(3)小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的人数为178，比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法．
【答案】(1)宣传活动前，在抽取的市民中偶尔戴的人数最多，占抽取人数的51%．
【解析】(1)宣传活动前，在抽取的市民中偶尔戴的人数最多，
占抽取人数：；
答：宣传活动前，在抽取的市民中偶尔戴的人数最多，占抽取人数的51%．
(2)估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数：30万5.31万(人)．
答：估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数5.31万人；
(3)宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比：8.9%，
活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比：，
8.9%<17.7%，
因此交警部门开展的宣传活动有效果．
【名师点睛】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
17．(浙师大附属秀洲实验学校2017-2018学年九年级下学期第三次模拟数学试题)某商场对A、B两款运动鞋的销售情况进行了为期5天的统计，得到了这两款运动鞋每天的销售量及总销售额统计图(如图所示)．已知第4天B款运动鞋的销售量是A款的．
(1)求第4天B款运动鞋的销售量．
(2)这5天期间，B款运动鞋每天销售量的平均数和中位数分别是多少？
(3)若在这5天期间两款运动鞋的销售单价保持不变，求第3天的总销售额(销售额=销售单价×销售量)．
【答案】(1)4双；(2)6双；(3)2900元.
(3)设A款运动鞋的销售单价为x元/双，B款运动鞋的销售单价为x元/双，根据第1天和第5天的总销售额列方程组求出A、B款运动鞋单价，即可得解．
试题解析：(1)解：6×(双 )
∴第4天B款运动鞋的销售量是4双；
(2)解：B款运动鞋每天销售量的平均数为(双 )，
中位数为6 (双 )
(3)解：设A款运动鞋的销售单价为x元/双，B款运动鞋的销售单价为y元/双.
由题意得： ，解得 ，
∴第3天的总销售额为(元)
18. (西藏拉萨北京实验中学等四校2018届九年级第一次联考数学试题)某中学数学兴趣小组为了解本校学生对电视节目的喜爱情况，随机调查了部分学生最喜爱哪一类节目 (被调查的学生只选一类并且没有不选择的)，并将调查结果制成了如下的两个统计图(不完整)．请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：
(1)求本次调查的学生人数；
(2)请将两个统计图补充完整，并求出新闻节目在扇形统计图中所占圆心角的度数；
(3)若该中学有2000名学生，请估计该校喜爱电视剧节目的人数．
【答案】(1)300；(2)详见解析；(3)30%.
∴本次共调查300人；
(2)∵喜欢娱乐节目的人数占总人数的20%，
∴20%×300=60(人)，补全如图；
，
∴新闻节目在扇形统计图中所占圆心角的度数为
(3)2000×23%=460(人)，
∴估计该校有460人喜爱电视剧节目.
19. (江西省崇仁县第二中学2018届九年级下学期第二次模拟考试数学试题)2017年上半年抚州市各级各类中小学(含中等职业学校)开展了“万师访万家”活动.某县家访方式有：A.上门走访；B.电话访问；C.网络访问(班级微信或QQ群)；D.其他.该县教育局负责人从“万师访万家”平台上随机抽取本县一部分老师的家访情况，绘制了如图所示两幅尚不完整的统计图.
根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)这次被抽查的家访老师共有多少人？扇形统计图中，“A”所对应的圆心角的度数为多少？
(2)请补全条形统计图.
(3)已知该县共有3500位老师参与了这次“万师访万家”活动，请估计该县共有多少位老师采用的是上门走访的方式进行家访的？
【答案】(1)80人 108(2)见解析(3)1050
“A”所对应的圆心角的度数为=108°；
(2)80×20%=16，
补全条形统计图如图：
(3)=1050(位)，
因此，该县共有1050位老师采用的是上门走访的方式进行家访的.
数；5.中位数．
中考数学一轮复习讲义
考点十七：统计知识初步
聚焦考点☆温习理解
一、平均数
1、平均数的概念
(1)平均数：一般地，如果有n个数那么，叫做这n个数的平均数，读作“x拔”。
(2)加权平均数：如果n个数中，出现次，出现次，…，出现次(这里)，那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中叫做权。
2、平均数的计算方法
(1)定义法
当所给数据比较分散时，一般选用定义公式：
(2)加权平均数法：
当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：，其中。
(3)新数据法：
当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：。
其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，，，…，。是新数据的平均数(通常把叫做原数据，叫做新数据)。
二、统计学中的几个基本概念
1、总体
所有考察对象的全体叫做总体。
2、个体
总体中每一个考察对象叫做个体。
3、样本
从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。
4、样本容量
样本中个体的数目叫做样本容量。
5、样本平均数
样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。
6、总体平均数
总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。
三、众数、中位数
1、众数
在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
2、中位数
将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。
四、方差
1、方差的概念
在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“”表示，即
2、方差的计算
(1)基本公式：
(2)简化计算公式(Ⅰ)：
也可写成
此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。
(3)简化计算公式(Ⅱ)：
当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据，，…，，那么，
此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。
(4)新数据法：
原数据的方差与新数据，，…，的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得的方差就等于原数据的方差。
3、标准差
方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即
名师点睛☆典例分类
考点典例一、平均数
【例1】(2019•山东临沂•3分)小明记录了临沂市五月份某周每天的日最高气温(单位：℃)，列成如表：
天数(天)
1
2
1
3
最高气温(℃)
22
26
28
29
则这周最高气温的平均值是( )
A．26.25℃ B．27℃ C．28℃ D．29℃
【分析】由加权平均数公式即可得出结果．
【解答】解：这周最高气温的平均值为(1×22+2×26+1×28+3×29)＝27(℃)；
故选：B．
【点评】本题考查了加权平均数公式；熟练掌握加权平均数的计算是解决问题的关键．
【举一反三】
(2018上海中考模拟)某企业今年第一季度各月份产值占这个季度总产值的百分比如图所示，又知二月份产值是72万元，那么该企业第一季度月产值的平均数是 万元．
【答案】120
【解析】
试题分析：第一季度的总产值是72÷(1﹣45%﹣25%)=360(万元)，
则该企业第一季度月产值的平均值是×360=120(万元)．
考点：平均数、扇形统计图
考点典例二、众数、中位数
【例2】(2019•江苏无锡•3分)已知一组数据：66，66，62，67，63，这组数据的众数和中位数分别是( )
A．66，62 B．66，66 C．67，62 D．67，66
【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列，第3个数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是66，得到这组数据的众数．
【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：62，63，66，66，67，
第3个数是66，
所以中位数是66，
在这组数据中出现次数最多的是66，
即众数是66，
故选：B．
【点评】此题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数．
【举一反三】
1. (2019•广东广州•3分)广州正稳步推进碧道建设，营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群”的生态廊道，使之成为老百姓美好生活的好去处．到今年底各区完成碧道试点建设的长度分别为(单位：千米)：5，5.2，5，5，5，6.4，6，5，6.68，48.4，6.3，这组数据的众数是( )
A．5 B．5.2 C．6 D．6.4
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：5出现的次数最多，是5次，所以这组数据的众数为5
故选：A．
【点评】本题主要考查众数的定义，是需要熟练掌握的概念．
2. (2019•山东泰安•4分)某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：
下列结论不正确的是( )
A．众数是8 B．中位数是8
C．平均数是8.2 D．方差是1.2
【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．
【解答】解：由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故A选项正确；
10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是(8+8)＝8，故B选项正确；
平均数为(6+7×2+8×3+9×2+10×2)＝8.2，故C选项正确；
方差为[(6﹣8.2)2+(7﹣8.2)2+(7﹣8.2)2+(8﹣8.2)2+(8﹣8.2)2+(8﹣8.2)2+(9﹣8.2)2+(9﹣8.2)2+(10﹣8.2)2+(10﹣8.2)2]＝1.56，故D选项错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差，用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差．
考点典例三、方差
【例3】(2019•江苏宿迁•3分)甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米，方差分别是S甲2、S乙2，且S甲2＞S乙2，则队员身高比较整齐的球队是 乙 ．
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵S甲2＞S乙2，
∴队员身高比较整齐的球队是乙，
故答案为：乙．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【举一反三】
1. (2019•贵州省安顺市•4分)已知一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差为2，则另一组数据3x1，3x2，3x3，…，3xn的方差为 ．
【解答】解：∵一组数据x1，x2，x3…，xn的方差为2，
∴另一组数据3x1，3x2，3x3…，3xn的方差为32×2＝18．
故答案为18．
2. 如果一组数据6、7、x、9、5的平均数是2x，那么这组数据的方差为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【来源】山东省滨州市2018年中考数学试题
【答案】A
【解析】分析：先根据平均数的定义确定出x的值，再根据方差公式进行计算即可求出答案．
详解：根据题意，得：=2x
解得：x=3，
则这组数据为6、7、3、9、5，其平均数是6，
所以这组数据的方差为[(6﹣6)2+(7﹣6)2+(3﹣6)2+(9﹣6)2+(5﹣6)2]=4，
故选A．
点睛：此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．
课时作业☆能力提升
一．选择题
1. (2018浙江丽水中考模拟)据调查，某班20为女同学所穿鞋子的尺码如表所示，则鞋子尺码的众数和中位数分别是( )
尺码(码)
34
35
36
37
38
人数
2
5
10
2
1
A．35码，35码 B．35码，36码 C．36码，35码 D．36码，36码
【答案】D.
【解析】
试题解析：数据36出现了10次，次数最多，所以众数为36，
一共有20个数据，位置处于中间的数是：36，36，所以中位数是(36+36)÷2=36．
故选D．
考点：1.众数；2.中位数.
2．(2018山东德州中考模拟)某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：
该店主决定本周进货时，增加一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是( )
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
【答案】C
【解析】
考点：方差；加权平均数；中位数；众数
3. 为调查某大型企业员工对企业的满意程度，以下样本最具代表性的是( )
A. 企业男员工 B. 企业年满50岁及以上的员工
C. 用企业人员名册，随机抽取三分之一的员工 D. 企业新进员工
【来源】【全国省级联考】2018年重庆市中考数学试卷(A卷)
【答案】C
【解析】【分析】样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．根据样本的确定方法与原则，结合实际情况，依次分析选项可得答案．
【详解】A、调查对象只涉及到男性员工，选取的样本不具有代表性质；
B、调查对象只涉及到即将退休的员工，选取的样本不具有代表性质；
C、用企业人员名册，随机抽取三分之一的员工，选取的样本具有代表性；
D调查对象只涉及到新进员工，选取的样本不具有代表性，
故选C.
4. 某班组织了针对全班同学关于“你最喜欢的一项体育活动”的问卷调查后，绘制出频数分布直方图，由图可知，下列结论正确的是
A. 最喜欢篮球的人数最多 B. 最喜欢羽毛球的人数是最喜欢乒乓球人数的两倍
C. 全班共有50名学生 D. 最喜欢田径的人数占总人数的10 %
【来源】江西省2018年中等学校招生考试数学试题
【答案】C
【点睛】本题考查了频数分布直方图，从直方图中得到必要的信息进行解题是关键.
5. (2019•浙江嘉兴)2019年5月26日第5届中国国际大数据产业博览会召开．某市在五届数博会上的产业签约金额的折线统计图如图．下列说法正确的是
A．签约金额逐年增加
B．与上年相比，2019年的签约金额的增长量最多
C．签约金额的年增长速度最快的是2016年
D．2018年的签约金额比2017年降低了22.98%
【答案】C
【解析】A．错误．签约金额2017，2018年是下降的．
B．错误．与上年相比，2016年的签约金额的增长量最多．
C．正确．
D．错误．下降了：≈9.3%．故选C．
【名师点睛】本题考查折线统计图，解题的关键是理解题意读懂图象信息，属于中考常考题型．
6. (2018湖北武汉元调)在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示．
成绩/
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数
2
3
2
3
4
1
则这些运动员成绩的中位数，众数分别为( )
A．1．65，1．70 B．1．65，1．75 C． 1．70，1．75 D．1．70，1．70
【答案】C.
【解析】
试题解析：将数据从小到大排列为：1.50，150，1.60，1.60，160，1.65，1.65， 1.70，1.70，1.70，1.75，1.75，1.75，1.75，1.80.
众数为：1.75；
中位数为：1.70．
故选C．
考点：1.中位数；2.众数.
7. 已知一组数据：6，2，8，x，7，它们的平均数是6．则这组数据的中位数是( )
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
【来源】山东省德州市2018年中考数学试题
【答案】A
点睛：本题考查了中位数和平均数的知识，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
8. 为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲，乙两组数据，如下表：
甲
2
6
7
7
8
乙
2
3
4
8
8
关于以上数据，说法正确的是( )
A. 甲、乙的众数相同 B. 甲、乙的中位数相同
C. 甲的平均数小于乙的平均数 D. 甲的方差小于乙的方差
【来源】安徽省2018年中考数学试题
【答案】D
【解析】【分析】分别根据众数、中位数、平均数、方差的定义进行求解后进行判断即可得.
【详解】甲：数据7出现了2次，次数最多，所以众数为7，
排序后最中间的数是7，所以中位数是7，
，
=4.4，
乙：数据8出现了2次，次数最多，所以众数为8，
排序后最中间的数是4，所以中位数是4，
，
=6.4，
所以只有D选项正确，
故选D.
【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，熟练掌握相关定义及求解方法是解题的关键.
9. 某中学九年级二班六级的8名同学在一次排球垫球测试中的成绩如下(单位：个)
35 38 42 44 40 47 45 45
则这组数据的中位数、平均数分别是( )
A. 42、42 B. 43、42 C. 43、43 D. 44、43
【来源】山东省泰安市2018年中考数学试题
【答案】B
点睛：本题考查的是中位数的确定、算术平均数的计算，掌握中位数的概念、算术平均数的计算公式是解题的关键．
二．填空题
11. 春节期间，重庆某著名旅游景点成为热门景点，大量游客慕名前往，市旅游局统计了春节期间5天的游客数量，绘制了如图所示的折线统计图，则这五天游客数量的中位数为______.
【来源】【全国省级联考】2018年重庆市中考数学试卷(A卷)
【答案】23.4
【点睛】本题考查了中位数的定义，熟知“中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)”是解题的关键.
12．(2019•浙江嘉兴)2019年5月26日第5届中国国际大数据产业博览会召开．某市在五届数博会上的产业签约金额的折线统计图如图．下列说法正确的是
A．签约金额逐年增加
B．与上年相比，2019年的签约金额的增长量最多
C．签约金额的年增长速度最快的是2016年
D．2018年的签约金额比2017年降低了22.98%
【答案】C
【解析】A．错误．签约金额2017，2018年是下降的．
B．错误．与上年相比，2016年的签约金额的增长量最多．
C．正确．
D．错误．下降了：≈9.3%．故选C．
【名师点睛】本题考查折线统计图，解题的关键是理解题意读懂图象信息，属于中考常考题型．
13. 如图是我国2013～2017年国内生产总值增长速度统计图，则这5年增长速度的众数是_____．
【来源】浙江省金华市2018年中考数学试题
【答案】6.9%．
【解析】分析：根据众数的概念判断即可．
详解：这5年增长速度分别是7.8%、7.3%、6.9%、6.7%、6.9%，
则这5年增长速度的众数是6.9%，
故答案为：6.9%．
点睛：本题考查的是众数的确定，掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数是解题的关键．
14. 一组数据1，3，2，7，x，2，3的平均数是3，则该组数据的众数为________．
【来源】浙江省温州市2018年中考数学试卷
【答案】3
点睛: 本题考查的是平均数和众数的概念．注意一组数据的众数可能不只一个.
15. 某校拟招聘一名优秀数学教师，现有甲、乙、丙三名教师入围，三名教师师笔试、面试成绩如右表所示，综合成绩按照笔试占60%、面试占40%进行计算，学校录取综合成绩得分最高者，则被录取教师的综合成绩为分_____．
【来源】四川省宜宾市2018年中考数学试题
【答案】78.8分．
【解析】分析：根据题意先算出甲、乙、丙三人的综合成绩，再进行比较，即可得出答案．
详解：∵甲的综合成绩为80×60%+76×40%=78.4(分)，
乙的综合成绩为82×60%+74×40%=78.8(分)，
丙的综合成绩为78×60%+78×40%=78(分)，
∴被录取的教师为乙，其综合成绩为78.8分，
故答案为：78.8分．
点睛：本题考查了加权平均数的计算公式，注意，计算平均数时按60%和40%进行计算．
三．解答题
16. 某市举行“传承好家风”征文比赛，已知每篇参赛征文成绩记m分(60≤m≤100)，组委会从1000篇征文中随机抽取了部分参赛征文，统计了他们的成绩，并绘制了如下不完整的两幅统计图表.
请根据以上信息，解决下列问题：
(1)征文比赛成绩频数分布表中c的值是________；
(2)补全征文比赛成绩频数分布直方图；
(3)若80分以上(含80分)的征文将被评为一等奖，试估计全市获得一等奖征文的篇数.
【来源】江苏省宿迁市2018年中考数学试卷
【答案】(1)0.2；(2)补全征文比赛成绩频数分布直方图见解析；(3)全市获得一等奖征文的篇数为300篇.
【详解】(1)c=1-0.38-0.32-0.1=0.2，
故答案为：0.2；
(2)38÷0.38=100，a=100×0.32=32，b=100×0.2=20，
补全征文比赛成绩频数分布直方图如图所示：
【点睛】本题考查了频数分布表、频数分布直方图，熟知频数、频率、总数之间的关系是解本题的关键.
17 (2019·浙江台州)安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表．
(1)宣传活动前，在抽取的市民中哪一类别的人数最多？占抽取人数的百分之几？
(2)该市约有30万人使用电瓶车，请估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数；
(3)小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的人数为178，比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法．
【答案】(1)宣传活动前，在抽取的市民中偶尔戴的人数最多，占抽取人数的51%．
【解析】(1)宣传活动前，在抽取的市民中偶尔戴的人数最多，
占抽取人数：；
答：宣传活动前，在抽取的市民中偶尔戴的人数最多，占抽取人数的51%．
(2)估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数：30万5.31万(人)．
答：估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数5.31万人；
(3)宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比：8.9%，
活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比：，
8.9%<17.7%，
因此交警部门开展的宣传活动有效果．
【名师点睛】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
17．(浙师大附属秀洲实验学校2017-2018学年九年级下学期第三次模拟数学试题)某商场对A、B两款运动鞋的销售情况进行了为期5天的统计，得到了这两款运动鞋每天的销售量及总销售额统计图(如图所示)．已知第4天B款运动鞋的销售量是A款的．
(1)求第4天B款运动鞋的销售量．
(2)这5天期间，B款运动鞋每天销售量的平均数和中位数分别是多少？
(3)若在这5天期间两款运动鞋的销售单价保持不变，求第3天的总销售额(销售额=销售单价×销售量)．
【答案】(1)4双；(2)6双；(3)2900元.
(3)设A款运动鞋的销售单价为x元/双，B款运动鞋的销售单价为x元/双，根据第1天和第5天的总销售额列方程组求出A、B款运动鞋单价，即可得解．
试题解析：(1)解：6×(双 )
∴第4天B款运动鞋的销售量是4双；
(2)解：B款运动鞋每天销售量的平均数为(双 )，
中位数为6 (双 )
(3)解：设A款运动鞋的销售单价为x元/双，B款运动鞋的销售单价为y元/双.
由题意得： ，解得 ，
∴第3天的总销售额为(元)
18. (西藏拉萨北京实验中学等四校2018届九年级第一次联考数学试题)某中学数学兴趣小组为了解本校学生对电视节目的喜爱情况，随机调查了部分学生最喜爱哪一类节目 (被调查的学生只选一类并且没有不选择的)，并将调查结果制成了如下的两个统计图(不完整)．请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：
(1)求本次调查的学生人数；
(2)请将两个统计图补充完整，并求出新闻节目在扇形统计图中所占圆心角的度数；
(3)若该中学有2000名学生，请估计该校喜爱电视剧节目的人数．
【答案】(1)300；(2)详见解析；(3)30%.
∴本次共调查300人；
(2)∵喜欢娱乐节目的人数占总人数的20%，
∴20%×300=60(人)，补全如图；
，
∴新闻节目在扇形统计图中所占圆心角的度数为
(3)2000×23%=460(人)，
∴估计该校有460人喜爱电视剧节目.
19. (江西省崇仁县第二中学2018届九年级下学期第二次模拟考试数学试题)2017年上半年抚州市各级各类中小学(含中等职业学校)开展了“万师访万家”活动.某县家访方式有：A.上门走访；B.电话访问；C.网络访问(班级微信或QQ群)；D.其他.该县教育局负责人从“万师访万家”平台上随机抽取本县一部分老师的家访情况，绘制了如图所示两幅尚不完整的统计图.
根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)这次被抽查的家访老师共有多少人？扇形统计图中，“A”所对应的圆心角的度数为多少？
(2)请补全条形统计图.
(3)已知该县共有3500位老师参与了这次“万师访万家”活动，请估计该县共有多少位老师采用的是上门走访的方式进行家访的？
【答案】(1)80人 108(2)见解析(3)1050
“A”所对应的圆心角的度数为=108°；
(2)80×20%=16，
补全条形统计图如图：
(3)=1050(位)，
因此，该县共有1050位老师采用的是上门走访的方式进行家访的.
数；5.中位数．
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