中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第04讲 因式分解（原卷版）学案

中考数学一轮复习讲义

考点四:因式分解

聚焦考点☆温习理解

1、因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

2、因式分解的常用方法

(1)提公因式法：

(2)运用公式法：

(3)分组分解法：

(4)十字相乘法：

3、因式分解的一般步骤：

(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式

(3)分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这样才算分解彻底；学科+网

(4)注意因式分解中的范围，如x4-4=(x2+2)(x2-2)在实数范围内分解因式，继续进行分解：x4-4=(x2+2)(x2-2)=(x2+2)(x+)(x-),题目不作说明，表明是在有理数范围内因式分解.[来源:学科网ZXXK]

(5)分解要彻底。作为结果的代数式的最后运算必须是乘法；要分解到每个因式都不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，并且同类项合并完毕，若有重因式应写成幂的形式．这些统称分解彻底．

名师点睛☆典例分类

考点典例一、提取公因式

【例1】(2019湖南常德3分)若x2+x＝1，则3x4+3x3+3x+1的值为　4　．

【分析】把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案．

【解答】解：∵x2+x＝1，

∴3x4+3x3+3x+1＝3x2(x2+x)+3x+1＝3x2+3x+1＝3(x2+x)+1＝3+1＝4；

故答案为：4．

【点评】本题考查了提公因式法因式分解的应用；把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．

【举一反三】

1. 分解因式：2a3b﹣4a2b2+2ab3=_____．

2. (天津市和平区 汇文中学 2018年九年级数学中考夯基卷)因式分解：x3-xy2=________________.

考点典例二、公式法

【例2】(2019•湖北省咸宁市•3分)若整式x2+my2(m为常数，且m≠0)能在有理数范围内分解因式，则m的值可以是　﹣1　(写一个即可)．

．

【举一反三】

1．(2018福建泉州中考模拟)把多项式分解因式，正确的结果是(　　)

A. 4a2+4a+1=(2a+1)2    B. a2﹣4b2=(a﹣4b)(a+b)

C. a2﹣2a﹣1=(a﹣1)2    D. (a﹣b)(a+b)=a2﹣b2

2. (2018年湖北省黄梅濯港镇中心学校数学中考模拟试题)分解因式：x3y﹣xy=　   　．

3. 分解因式：2x3﹣6x2+4x=__________．

考点典例三、提取公因式与公式法综合运用

【例3】(2019•山东威海•3分)分解因式：2x2﹣2x+＝　2(x﹣)2　．

【举一反三】

1．(2017贵州黔东南州第13题)在实数范围内因式分解：x5﹣4x=　   　．

2. (2019•湖北省荆门市•3分)下列运算不正确的是(　　)

A．xy+x﹣y﹣1＝(x﹣1)(y+1) 

B．x2+y2+z2+xy+yz+zx＝(x+y+z)2 

C．(x+y)(x2﹣xy+y2)＝x3+y3 

D．(x﹣y)3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3

2. (2019黑龙江省绥化3分)下列因式分解正确的是(　　)

A．x2﹣x＝x(x+1) B．a2﹣3a﹣4＝(a+4)(a﹣1) 

C．a2+2ab﹣b2＝(a﹣b)2 D．x2﹣y2＝(x+y)(x﹣y)

考点典例四、分解因式的应用

【例5】若，则代数式的值为        ．

【举一反三】

1(2017重庆市兼善中学八年级上学期联考)在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式，因式分解的结果是，若取， 时，则各个因式的值为， ， ，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取， 时，用上述方法产生的密码不可能是(　 　)

A.     B.     C.     D.

2.(2018黄冈中考模拟)如图边长为a、b的矩形的周长为14，面积为10，则a²b+ab²的值为

A.140    B.70  C.35   D.24

3. (2017贵州安顺第14题)已知x+y=，xy=，则x2y+xy2的值为　   　．

课时作业☆能力提升

一．选择题

1. 下列分解因式正确的是(     )

A.     B.

C.     D.

2.( 2018广东省汕头中考一模) 分解因式(2x+3)2﹣x2的结果是(　　)

A. 3(x2+4x+3)    B. 3(x2+2x+3)    C. (3x+3)(x+3)    D. 3(x+1)(x+3)

3.下面的多项式在实数范围内能因式分解的是(    )

A．x2+y2        B．x2﹣y        C．x2+x+1        D．x2﹣2x+1

4.(安徽省合肥市2018届九年级第五次十校联考)把多项式x3－4x因式分解所得的结果是(　 　)

A. x(x2－4)    B. x(x＋4)(x－4)    C. x(x＋2)(x－2)    D. (x＋2)(x－2)

5.下列因式分解正确的是(    )

A．      B．     

C．              D．

二．填空题

6. (2019•湖北十堰•3分)对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝(a+b)2﹣(a﹣b)2．若(m+2)◎(m﹣3)＝24，则m＝　    　．

7. (甘肃省2018年普通高中招生考试数学模拟卷)因式分解：b2－ab＋a－b＝_______．

8．(2018年河南省驻马店市实验中学第一次中考模拟数学试题)将多项式x2y－2xy2＋y3分解因式的结果是_________．

9.(2017天津市河东区五十四中中考模拟)分解因式：x2-6x2y+9x2y2=____________.

10. (2018湖北孝感中考模拟) 分解因式：          ．

11.(2017辽宁省盘锦市年中考三模)分解因式：(a+5)(a﹣5)+7(a+1)=___________.

12.(2018年四川南充中考模拟)分解因式：        ．

13. (2017广西百色第18题)阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法.

(1)二次项系数；

(2)常数项 验算：“交叉相乘之和”；

(3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果，等于一次项系数-1，即，则.像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.仿照以上方法，分解因式：          ．

14.(2018年武汉四月元调)分解因式：=                  ．

15.分解因式：=            .

16．(2018年启黄中学一模)分解因式：2a2b﹣8b=　　　　　　，计算：8x6÷4x2=　　　　　　．

17.(2018年荆州市四月调考)已知实数a，b满足ab=3，a﹣b=2，则a2b﹣ab2的值是        ．

18. 如图，已知大正方形的边长为a＋b＋c，利用图形的面积关系可得：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac.当大正方形的边长为a＋b＋c＋d时，利用图形的面积关系可得：(a＋b＋c＋d)2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2ab＋2ac＋2ad＋2bc＋2bd＋2cd.一般地，n个数的和的平方等于这n个数的平方和加上它们两两乘积的2倍．

根据以上结论解决下列问题：

(1)若a＋b＋c＝6，a2＋b2＋c2＝14，则ab＋bc＋ac＝11；

(2)从－4，－2，－1，3，5这五个数中任取两个数相乘，再把所有的积相加，若和为m，求m的值．

[来源:学科网][来源:Zxxk.C