人教版新课标B必修13.3 幂函数教案

幂函数中的三类讨论题

在幂函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，下面我们将一起来学习幂函数中的三类讨论题．

　　类型一：求参数的取值范围．

　　例1　已知函数（m∈Z）为偶函数，且f（3）<f（5），求m的值，并确定f（x）的解析式．

　　分析：函数（m∈Z）为偶函数，已限定了必为偶数，又m∈Z，f（3）<f（5），只要根据条件分类讨论便可求得m的值，从而确定f（x）的解析式．

　　解：∵f（x）是偶函数，∴应为偶数．

　　又∵f（3）<f（5），即，

整理，得．

∴，解得．

　　又∵m∈Z，∴m=0或1．

　　当m=0时，为奇数（舍去）；

当m=1时，为偶数．

　　故m的值为１，．

　　类型二：求解存在性问题．　　例2　已知函数，设函数，问是否存在实数q（q<0），使得g（x）在区间（－∞，－4］上是减函数，且在区间（－4，0）上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．

　　分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间．

　　解：∵，则．

　　假设存在实数q（q<0），使得g（x）满足题设条件，

　　设任意且，则

．

　　若∈（－∞，－４]，易知，要使在（－∞，－4］上是减函数，则应有恒成立．∵，

∴．而，∴．

　　从而要使恒成立，则有，即．

　　若∈（－4，0），易知，要使f（x）在（－4，0）上是增函数，则应有恒成立．∵，

　　∴，而，∴．

　　要使恒成立，则必有，即．

　　综上可知，存在实数，使得在（－∞，－4］上是减函数，且在（－4，0）上是增函数．

　　类型三：类比幂函数性质，讨论函数值的变化情况.

　　例3　讨论函数在时，随着x的增大其函数值的变化情况．

　　分析：首先应判定函数是否为常数函数，再看幂指数，并参照幂函数的性质讨论．

　　解：（１）当，即或时，为常函数；

　　（２）当，即或时，此时函数为常函数；

　　（３）当，即时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小；

　　（４）当，即或时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；

　　（５）当，即时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；

　　（６）当，即时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小．

借幂函数比较大小

比较大小问题是幂函数中的一种常见题型．下面介绍几种方法，供同学们学习时参考．

一、直接法

当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较．

例１　比较下列各组中两个值的大小：

（1）；

（2），．

解析：题中两组值都是幂运算的结果，且指数相同，因此可以利用幂函数的性质来判断它们的大小．

（1）∵幂函数在［０，＋∞）上为增函数，又0.7＞0.6，

∴；

（2）∵幂函数在（０，＋∞）上为减函数，又2.2＞1.8，

∴>．

例2　函数是幂函数，比较与的大小．

解析：∵是幂函数，

　　∴，解得

∴．

∵函数在（0，＋∞）上是增函数，且a＞b＞0，

∴．

二、转化法

当幂指数不同时可先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小．

例３　比较的大小．

解析：，．

∵幂函数在（０，＋∞）上单调递减，且0.7＜＜1.21，

∴．

∴．

三、中间值法

当底数不同且幂指数也不同，不能运用单调性比较大小时，可选取适当的中间值与比较大小的两数分别比较，从而达到比较大小的目的．

例４　比较0.8与0.9的大小．

解析：由于这两个数的底数不同，指数也不同，所以可利用中间值来间接比较它们的大小．注意到这两个数的特点，中间值应选0.9或0.8．

∵＞0，∴幂函数在（０，＋∞）上是增函数．

又0.8＜0.9，∴0.8＜0.9．

又0＜0.9＜1，指数函数在（0，＋∞）上是减函数，且＞，∴0.9＜0.9．

综上可得0.8＜0.9．

四、模型函数法

若函数满足性质：等，则可以认为其模型函数为幂函数．对于此类抽象函数的大小比较问题，我们常通过寻找、发现基本原型函数来求解．

例５　已知函数满足，且f（8）=4，则_________（填 “＞、=、＜”）．

解析：的原型函数是（为常数），

又f（8）=4，

∴，∴．

于是，显然该函数是偶函数，且在区间（０，＋∞）上是增函数，在（－∞，０）上是减函数，．

幂函数解析式的求法

对某些幂函数问题来说，能否顺利解答，往往取决于是不是能够求出其解析式．本文就常见的幂函数解析式的求法归类例析如下：

一、利用幂函数的定义

例１　已知函数是幂函数，求此函数的解析式．

解：∵是幂函数，

∴y可以写成如下形式（是常数）．

∴，解得．

当时，有（2为常数），（－1为常数）．

∴函数的解析式为或．

评注：幂函数（x为自变量，是常数）的定义强调：系数为１，幂指数为常数.求出参数m后要注意检验幂指数是否为常数．

二、利用幂函数的图象

例２　若函数是幂函数，且图象不经过原点，求函数的解析式．

分析：对于幂函数（是常数）而言，要使幂函数的图象不过原点，则指数≤0．

解：∵函数是幂函数，且图象不经过原点，

∴，且．

∴或6．

∴函数解析式为或．

例３　已知幂函数（m∈Z）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称．求函数的解析式．

解：∵函数的图象与x轴、y轴都无交点，

∴，解得．

又图象关于原点对称，且m∈Z，

∴m＝0．

∴．

评注：解决与幂函数有关的综合问题时，应抓住突破口，此两例的突破口是图象的特征，只要抓住图象特征，将其转化为代数语言，就能顺利解题．

三、利用幂函数的性质

例４　已知幂函数（）是偶函数，且在（0，+∞）上为增函数，求函数的解析式．

解：∵是幂函数，∴，解得t＝－1，t＝0或t＝1，

∴当t＝０时，，是非奇非偶函数，不满足条件．当t＝1时，是偶函数，但在（0，+∞）上为减函数，不满足条件．当时，满足题设．

综上所述，实数t的值为－1，所求解析式为．

评注：涉及求与幂函数有关的参数问题，掌握幂函数的概念和性质是解题的关键．解含参问题有时还应注意分类讨论．

幂的十位数

 “求一个自然数的高次幂的个位数，应该说是不难的”，布鲁斯博士接着说，“比方说求20022002的个位数．顺便说一下，如果有哪位孩子说他准备用计算机把这个幂算出来，然后看一下个位数是什么，那我只能对他表示敬意．但我在这里说的不是‘算’出来，而是‘求’出来．那位举手的孩子，你想问什么？”

“我想知道‘算’与‘求’有什么区别？”一个胖嘟嘟的男孩站起来问道．

“很好，等我把20022002的个位数‘求’出来以后，你就明白了．好，我们继续．”

博士在投影仪上放了一张胶片，他身后的墙上映出了一张巨大的表格：

“一个自然数，若它的个位数是2，那么它的1次幂的个位数仍然为2，它的2次幂的个位数为4，3次幂的个位数为8，4次幂的个位数为6，5次幂的个位数又为2了．”博士说道，“这张表格的第一行是幂的次数，第二行就是相应次数的幂的个位数．我们看到了什么？我们看到这些个位数以2，4，8，6为基本模块不断地循环，其循环周期为4．由此我们知道，20022与20024n+2的个位数都是4．令n=500，即可知20022002的个位数为４．”

布鲁斯博士用得意的眼光扫过全场，一阵热烈的掌声随即响起．

“那么幂的十位数，比方说，19978，19989，19991073的十位数，该怎样‘求’呢？”胖男孩又站起来问道，他有意重读了那个“求”字．

“唔，唔……，这个问题有点儿麻烦．”博士的额头出现了一些汗珠，“让我们来试试看……”

博士绞尽脑汁，使出浑身解数，想“求”出这三个幂的十位数……

你能帮他“求”出这三个幂的十位数吗？

提示：注意1997，1998，1999都是离2000很近的数．

幂函数图象

 要了解和掌握幂函数（为常数）性质，可结合幂函数的图象，而幂函数的图象，只要看其第一象限内的函数图象即可．这是因为：任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象．如果幂函数是奇函数，在第三象限内有其中心（坐标原点）对称部分；如果幂函数是偶函数，在第二象限内有其轴（y轴）对称部分；如果幂函数是非奇非偶函数，则其函数图象只在第一象限内．

那么如何来看幂函数（为常数）在第一象限内的函数图象呢？下面结合下图加以分析：

1．幂函数（为常数）的图象均过定点（1，1）（我们称其为“束点”），即所有幂函数的图象都经过束点．

2．两条相交于束点的直线（y＞0）和y=1（x＞0）把第一象限分成四个区域：左上区、左下区、右上区、右下区．那么，幂函数的图象的所属区域由幂指数确定：

（１）当＞0时，幂函数的图象在左下右上区；此时函数图象呈上升趋势，在第一象限内为增函数；

（２）当＜0时，幂函数的图象在左上右下区；此时函数图象呈下降趋势，在第一象限内为减函数；

（３）当=0时，幂函数的图象为直线y=1（x＞0）；此时函数图象为上下区域的分界线，与x轴平行．

 3．当＞0时，幂函数的图象除过束点（１，１）外，还过定点（０，０）（即坐标原点）．此时除＝１时幂函数的图象为直线外，其他情况下所对应的幂函数的图象都属于“抛物线型”图象：

（１）当＞1时，幂函数的图象呈下凸形状，与x轴相切；

（２）当0＜＜1时，幂函数的图象呈上凸形状，与y轴相切．

4．当＜0时，幂函数的图象只过束点（１，１），不过定点（０，０）．此时所对应的幂函数的图象属于“双曲线型”图象，即前面所熟悉的反比例函数类型：向左上、右下分别逼近于两坐标轴，并无限接近．

5．幂函数的图象与幂指数大小变化的关系：在右区（直线x=1的右边），不同的幂函数的图象随幂指数的增加而变高；那么对应的，在左区（直线x=1的左边与y轴之间的部分），不同的幂函数的图象随幂指数的增加而变矮．可见，两个不同的幂函数的图象，以束点为变化点，在束点左边方位高的曲线，对应地在束点右边就变成了方位低的曲线，反之亦然．

通过幂函数在第一象限内的函数图象的变化，结合幂函数本身的奇偶性，同学们可补全函数图象，从而全面了解幂函数图象的变化情况和幂函数的性质．