数学必修13.3 幂函数教案

幂函数图象

要了解和掌握幂函数（为常数）性质，可结合幂函数的图象，而幂函数的图象，只要看其第一象限内的函数图象即可．这是因为：任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象．如果幂函数是奇函数，在第三象限内有其中心（坐标原点）对称部分；如果幂函数是偶函数，在第二象限内有其轴（y轴）对称部分；如果幂函数是非奇非偶函数，则其函数图象只在第一象限内．

那么如何来看幂函数（为常数）在第一象限内的函数图象呢？下面结合下图加以分析：

1．幂函数（为常数）的图象均过定点（1，1）（我们称其为“束点”），即所有幂函数的图象都经过束点．

2．两条相交于束点的直线（y＞0）和y=1（x＞0）把第一象限分成四个区域：左上区、左下区、右上区、右下区．那么，幂函数的图象的所属区域由幂指数确定：

（１）当＞0时，幂函数的图象在左下右上区；此时函数图象呈上升趋势，在第一象限内为增函数；

（２）当＜0时，幂函数的图象在左上右下区；此时函数图象呈下降趋势，在第一象限内为减函数；

（３）当=0时，幂函数的图象为直线y=1（x＞0）；此时函数图象为上下区域的分界线，与x轴平行．

 3．当＞0时，幂函数的图象除过束点（１，１）外，还过定点（０，０）（即坐标原点）．此时除＝１时幂函数的图象为直线外，其他情况下所对应的幂函数的图象都属于“抛物线型”图象：

（１）当＞1时，幂函数的图象呈下凸形状，与x轴相切；

（２）当0＜＜1时，幂函数的图象呈上凸形状，与y轴相切．

4．当＜0时，幂函数的图象只过束点（１，１），不过定点（０，０）．此时所对应的幂函数的图象属于“双曲线型”图象，即前面所熟悉的反比例函数类型：向左上、右下分别逼近于两坐标轴，并无限接近．

5．幂函数的图象与幂指数大小变化的关系：在右区（直线x=1的右边），不同的幂函数的图象随幂指数的增加而变高；那么对应的，在左区（直线x=1的左边与y轴之间的部分），不同的幂函数的图象随幂指数的增加而变矮．可见，两个不同的幂函数的图象，以束点为变化点，在束点左边方位高的曲线，对应地在束点右边就变成了方位低的曲线，反之亦然．

通过幂函数在第一象限内的函数图象的变化，结合幂函数本身的奇偶性，同学们可补全函数图象，从而全面了解幂函数图象的变化情况和幂函数的性质．