2021学年3.3 幂函数教案

幂函数中的三类讨论题

在幂函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，下面我们将一起来学习幂函数中的三类讨论题．

　　类型一：求参数的取值范围．

　　例1　已知函数（m∈Z）为偶函数，且f（3）<f（5），求m的值，并确定f（x）的解析式．

　　分析：函数（m∈Z）为偶函数，已限定了必为偶数，又m∈Z，f（3）<f（5），只要根据条件分类讨论便可求得m的值，从而确定f（x）的解析式．

　　解：∵f（x）是偶函数，∴应为偶数．

　　又∵f（3）<f（5），即，

整理，得．

∴，解得．

　　又∵m∈Z，∴m=0或1．

　　当m=0时，为奇数（舍去）；

当m=1时，为偶数．

　　故m的值为１，．

　　类型二：求解存在性问题．

　　例2　已知函数，设函数，问是否存在实数q（q<0），使得g（x）在区间（－∞，－4］上是减函数，且在区间（－4，0）上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．

　　分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间．

　　解：∵，则．

　　假设存在实数q（q<0），使得g（x）满足题设条件，

　　设任意且，则

．

　　若∈（－∞，－４]，易知，要使在（－∞，－4］上是减函数，则应有恒成立．∵，

∴．而，∴．

　　从而要使恒成立，则有，即．

　　若∈（－4，0），易知，要使f（x）在（－4，0）上是增函数，则应有恒成立．∵，

　　∴，而，∴．

　　要使恒成立，则必有，即．

　　综上可知，存在实数，使得在（－∞，－4］上是减函数，且在（－4，0）上是增函数．

类型三：类比幂函数性质，讨论函数值的变化情况

　　例3　讨论函数在时，随着x的增大其函数值的变化情况．

　　分析：首先应判定函数是否为常数函数，再看幂指数，并参照幂函数的性质讨论．

　　解：（１）当，即或时，为常函数；

　　（２）当，即或时，此时函数为常函数；

　　（３）当，即时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小；

　　（４）当，即或时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；

　　（５）当，即时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；

　　（６）当，即时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小