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    2021学年3.3 幂函数教案

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    这是一份2021学年3.3 幂函数教案,共2页。

    幂函数中的三类讨论题

     

    在幂函数中,分类讨论的思想得到了重要的体现,下面我们将一起来学习幂函数中的三类讨论题.

      类型一:求参数的取值范围.

      例1 已知函数mZ)为偶函数,且f3<f5),求m的值,并确定fx)的解析式.

      分析:函数mZ)为偶函数,已限定了必为偶数,又mZf3<f5),只要根据条件分类讨论便可求得m的值,从而确定fx)的解析式.

      解:fx)是偶函数,应为偶数.

      又f3<f5),即

    整理,得

    ,解得

      又mZm=01

      当m=0时,为奇数(舍去);

    m=1时,为偶数.

      故m的值为1,

      类型二:求解存在性问题.

      例2 已知函数,设函数,问是否存在实数qq<0),使得gx)在区间(-,-4]上是减函数,且在区间(-40)上是增函数?若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.

      分析:判断函数的单调性时,可以利用定义,也可结合函数的图象与性质进行判断,但要注意问题中符号的确定,要依赖于自变量的取值区间.

      解:,则

      假设存在实数qq<0),使得gx)满足题设条件,

      设任意,则

      若(-,-4],易知,要使在(-,-4]上是减函数,则应有恒成立.

    .而

      从而要使恒成立,则有,即

      若(-40),易知,要使fx)在(-40)上是增函数,则应有恒成立.

      ,而

      要使恒成立,则必有,即

      综上可知,存在实数,使得在(-,-4]上是减函数,且在(-40)上是增函数.

    类型三:类比幂函数性质,讨论函数值的变化情况

      例3 讨论函数时,随着x的增大其函数值的变化情况.

      分析:首先应判定函数是否为常数函数,再看幂指数,并参照幂函数的性质讨论.

      解:(1)当,即时,为常函数;

      (2)当,即时,此时函数为常函数;

      (3)当,即时,函数为减函数,函数值随x的增大而减小;

      (4)当,即时,函数为增函数,函数值随x的增大而增大;

      (5)当,即时,函数为增函数,函数值随x的增大而增大;

      (6)当,即时,函数为减函数,函数值随x的增大而减小

     

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