选择性必修第一册 第3章（4）圆锥曲线 综合卷（含答案）

圆锥曲线能力提升                              

一．选择题

1．已知抛物线，则它的焦点坐标为（    ）

A． B． C． D．

2．方程所表示的曲线是（    ）

A．圆的一部分    B．椭圆的一部分   C．双曲线的一部分 D．直线的一部分

3．方程的化简结果是（    ）

A． B． C． D．

4．直线过双曲线的一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线的方程为（ ）A．              B．              C．D．

5．已知椭圆的右焦点，是椭圆上任意一点，点，则的周长最大值为（    ）

A．            B．          C．14      D．

6．已知，B是圆上的点，点P在双曲线的右支上，则的最小值为（    ）

 A．9                 B．            C．10            D．12

7．，是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若，其中是双曲线的渐近线方程是（    ）

A．     B．      C．      D．

8．（多选）点，为椭圆的两个焦点，椭圆上存在点，使得，则椭圆的方程可以是（    ）

A． B． C． D．

9．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点、是椭圆上位于轴上方的两点，且，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

10．双曲线的左焦点关于直线的对称点在该双曲线上，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

二.填空题

11．已知直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，若，则 等于_____．

12．已知椭圆的离心率等于，则实数__________.

13．已知椭圆，左焦点，右顶点，上顶点，满足，则椭圆的离心率为____________.

14．若是曲线上不同的两点，为坐标原点，则的取值范围是__________.

三．解答题

15．设点是椭圆上一动点，椭圆的长轴长为，离心率为.

(1)求椭圆的方程；

（2）求点到直线距离的最大值.

16．如图，椭圆=1的左、右焦点为F1，F2，一条直线l经过F1且与椭圆相交于A，B两点.

（1）求△ABF2的周长；（2）若l的倾斜角是45°，求△ABF2的面积.

17．如图，椭圆的左、右焦点为，过的直线与椭圆相交于、 两点.

（1）若，且 求椭圆的离心率.

（2）若，求的最大值和最小值.

18．设椭圆的离心率，过椭圆上一点作两条不重合且倾斜角互补的直线､分别与椭圆交于､两点，且中点为.

（1）求椭圆C方程.

（2）椭圆上是否存在不同于的定点，使得的面积为定值，如果存在，求定点的坐标；如果不存在，说明理由.

答案

1        D    2．C    3．B    4．A    5．C    6．C    7．B   8.ACD

9．B   如图，延长射线、分别与椭圆相交于、两点，

由椭圆的对称性可知，，

设点的坐标为，点的坐标为，显然

则点的坐标为.①若直线的斜率不存在，则点、的坐标分别为、，有

②若直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程，消去后整理为，有，，

，，

，因为，所以，

则的取值范围为.                   注：[通径长，长轴长）

10．B  如图所示，双曲线中，设是双曲线右焦点，连接，依题意设直线FQ交直线于M，则M是线段FQ的中点，且，

因为焦点关于直线即的距离，故，由双曲线定义知，，

又因为O是的中点，故中是中位线，故，故中，结合，化简得，

故离心率.

11．7       12．或     13．

14．       ∵，∴可化为，设，，则，则，，∴，

若轴，此时，，∴，若不垂直于轴，设:，∴，∴，∴，，则，

∴

，又∵，∴，

∴，∴，

15．（1）由已知得，得   椭圆

（2）（不用此法，可用课本上的法.）设，则当时，.

16．(1)由=1，知a=4，所以△ABF2的周长=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a=16.

(2)由椭圆方程=1，可得F1(-3，0)，F2(3，0)，又l的倾斜角是45°，故斜率k=1，∴l的方程为y=x+3.将直线方程代入椭圆方程，整理得23x2+96x+32=0，∴x1+x2=-，x1x2=，|AB|=.设点F2到直线l的距离为d，则d==3.∴|AB|·d=×3.

17．（1），因为。所以，

所以，所以

（2）由于，得，则.①若垂直于轴，则，所以，所以②若与轴不垂直，设直线的斜率为，则直线的方程为由    得 

，方程有两个不等的实数根.设，.,

=，

所以当直线垂于轴时，取得最大值当直线与轴重合时，取得最小值

18．（1）依题意得，解得，，所以椭圆

（2）因为直线､的倾斜角互补，所以设直线､的方程为，，，联立方程得：，所以，所以，所以同理得，.设，则，

所以，所以点在直线上.所以当时，的面积为定值.

此时的直线方程为，即因为，化简得：，解得或 (舍去).所以椭圆上存在不同于的定点，使得的面积为定值.