选择性必修第一册 第3章（1）椭圆 基础过关卷（含答案）

椭圆  基础过关

一、选择题

1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为(　　)

A．(－1,0)，(1,0)   B．(－6,0)，(6,0)

C．(－，0)，(，0)   D．(0，－)，(0，)

2．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(　　)

A.  B.  C.  D.

3.（2019文科）（新课标Ⅰ）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为

A． B． C． D．

4．“2<m<6”是“方程＋＝1为椭圆”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分又不必要条件

5．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　　)

A．5  B．4  C．3  D．1

6．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)

A.   B.

C.   D.

7．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)

A．5   B．7

C．13   D．15

8．若O和F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)

A．2  B．3  C．6  D．8

9．（多选）已知方程mx2＋ny2＝1(m，n∈R)，则(　　)

A．当mn>0时，方程表示椭圆

B．当mn<0时，方程表示双曲线

C．当m＝0时，方程表示两条直线

D．方程表示的曲线不可能为抛物线

10．（多选）设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是(　　)

A.＋＝2

B．离心率e＝

C．△PF1F2面积的最大值为

D．以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切

二、填空题

11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为_______________．

12．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e≤，则长轴长的取值范围为________．

13．已知椭圆的方程为＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1的一条直线与椭圆交于A，B两点．若直线AB的倾斜角为，则弦长|AB|为________．

14.如图所示，F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2＝________.

三、解答题

15．(1)求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程；

(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．

16．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)当△F2AB的面积为时，求直线的方程．

17.(2018年全国统一考试理科数学（新课标I卷）)

设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.

（1）当与轴垂直时，求直线的方程；

（2）设为坐标原点，证明：.

18.(2020年全国统一高考数学试卷（文科）)

已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

一、选择题

1.D  2．C  3.B  4．B  5.B  6．A  7．B  8．C  9．BD   10．AD

二、填空题      11．＋＝1   12．(2,4]   13．    14.　2

三、解答题

15．解　(1)∵c＝＝，

∴所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0)．

设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．

∵e＝＝，c＝，∴a＝5，b2＝a2－c2＝20，

∴所求椭圆的方程为＋＝1.

(2)∵椭圆的焦点在x轴上，

∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，

∵2c＝8，∴c＝4，

又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.

∴椭圆的方程为＋＝1.

16．解　(1)∵椭圆过点，

∴＋＝1，

又e＝＝且a2＝b2＋c2，

解得a2＝4，b2＝3，c2＝1，

∴椭圆方程为＋＝1.

(2)显然直线AB的斜率不为0，

设AB的方程为x＝ty－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立

整理得(3t2＋4)y2－6ty－9＝0，

Δ＝36t2＋36(3t2＋4)＝144t2＋144>0，

∴y1＋y2＝，y1y2＝，

＝|F1F2||y1－y2|

＝|y1－y2|＝

＝＝＝，

解得t2＝1，

∴直线方程为x＝±y－1，

即y＝x＋1或y＝－x－1.

17.(2018年全国统一考试理科数学（新课标I卷）)

（1）由已知得，l的方程为.

由已知可得，点的坐标为或.

所以的方程为或.

（2）当与轴重合时，.

当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以.

当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，

则，直线、的斜率之和为.

由得.

将代入得.

所以，.

则.

从而，故、的倾斜角互补，所以.

综上，.

18.(2020年全国统一高考数学试卷（文科）)

（1）依据题意作出如下图象：

由椭圆方程可得：， ，

，

，

椭圆方程为：

（2）证明：设，

则直线的方程为：，即：

联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：

，解得：或

将代入直线可得：

所以点的坐标为.

同理可得：点的坐标为

当时，

直线的方程为：，

整理可得：

整理得：

所以直线过定点．

当时，直线：，直线过点．

故直线CD过定点．