高端精品高中数学一轮专题-概率与统计的综合问题（讲）（带答案）教案

概率与统计的综合问题

题型一　概率与频率分布直方图的交汇

[典例]　某超市每年10月份都销售某种桃子，在10月份的每天计划进货量都相同，进货成本为每千克16元，销售价为每千克24元；当天超出需求量的部分，以每千克10元全部卖出．根据往年销售经验，每天的需求量与当天最高气温(单位：℃)有一定关系：最高气温低于25 ℃，需求量为1 000千克；最高气温位于[25,30)内，需求量为2 000千克；最高气温不低于30 ℃，需求量为3 000千克．为了制订2022年10月份的订购计划，超市工作人员统计了近三年10月份的气温数据，得到如图所示的频率分布直方图．

以气温位于各区间的频率代替气温位于该区间的概率．

(1)求2022年10月份桃子一天的需求量X的分布列；

(2)设2022年10月份桃子一天的销售利润为Y元，当一天的进货量为多少千克时，E(Y)取到最大值？

[解]　(1)由题意知X的可能取值为1 000,2 000,3 000，

P(X＝1 000)＝(0.008 9＋0.031 1)×5＝0.2，

P(X＝2 000)＝0.080 0×5＝0.4，

P(X＝3 000)＝(0.046 7＋0.033 3)×5＝0.4.

所以X的分布列为

(2)设一天的进货量为n千克，则1 000≤n≤3 000.

①当1 000≤n<2 000时，

若最高气温不低于25 ℃，则Y＝8n；

若最高气温低于25 ℃，则Y＝1 000×8－(n－1 000)×6＝14 000－6n.

此时E(Y)＝0.8×8n＋0.2×(14 000－6n)＝5.2n＋2 800<13 200.

②当2 000≤n≤3 000时，

若最高气温不低于30 ℃，则Y＝8n；

若最高气温位于[25,30)内，则Y＝2 000×8－(n－2 000)×6＝28 000－6n；

若最高气温低于25 ℃，则Y＝1 000×8－(n－1 000)×6＝14 000－6n.

此时E(Y)＝0.4×8n＋0.4×(28 000－6n)＋0.2×(14 000－6n)＝14 000－0.4n≤13 200，当且仅当n＝2 000时取等号．

综上，当一天的进货量为2 000千克时，E(Y)取到最大值．

[方法技巧]

高考常将求概率与等可能事件、互斥事件、相互独立事件、超几何分布、二项分布等交汇在一起进行考查，因此在解答此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型是关键．特别是要注意挖掘题目中的隐含条件．　　

[针对训练]

“不忘初心、牢记使命”主题教育活动正在全国开展，某区政府为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n名，获得了他们一周参加主题教育活动时间(单位：时)的频率分布直方图，如图所示，已知参加主题教育活动的时间在(12,16]内的人数为92.

(1)求n的值；

(2)估计这些党员干部一周参与主题教育活动时间的平均值以及中位数(中位数的结果精确到0.01)；

(3)用频率估计概率，如果计划对全区一周参与主题教育活动的时间在(16,24]内的党员干部给予奖励，且参与时间在(16,20]，(20,24]内的分别得二等奖和一等奖，从这些获奖人中随机抽取5人，求这5人中获得一等奖人数的分布列及期望．

解：(1)由已知可得，a＝1÷4－(0.025 0＋0.047 5＋0.050 0＋0.012 5)＝0.115 0，

0．115 0×4×n＝92，因而n＝＝200.

(2)这些党员干部一周参加主题教育活动时间的平均值约为

(6×0.025 0＋10×0.047 5＋14×0.115 0＋18×0.050 0＋22×0.012 5)×4＝13.64.

设中位数的估计值为x，则0.050 0×4＋0.012 5×4＋(16－x)×0.115 0＝0.5，得x≈13.83.

(3)由频率分布直方图知，这些获奖人中参与主题教育活动的时间在(16,20]的概率为＝，在(20,24]的概率为＝，

设抽取的5人中获得一等奖的人数为ξ，则ξ的可能取值为0,1,2,3,4,5.

P(ξ＝0)＝C×0×5＝，

P(ξ＝1)＝C×1×4＝，

P(ξ＝2)＝C×2×3＝，

P(ξ＝3)＝C×3×2＝，

P(ξ＝4)＝C×4×1＝，

P(ξ＝5)＝C×5×0＝，

则ξ的分布列为

法一：E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝1.

法二：易知ξ服从二项分布，所以E(ξ)＝5×＝1.

题型二　概率与统计、统计案例的交汇

[典例]　某晚会上，演员身穿独特且轻薄的石墨烯发热服，在寒气逼人的零下20 ℃的现场表演了精彩的节目．石墨烯发热服的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜，再把石墨烯发热膜铺到衣服内．

(1)从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现有A，B两种材料供选择，研究人员对附着在A材料上再结晶做了30次试验，成功28次；对附着在B材料上再结晶做了30次试验，成功20次．补充下面的2×2列联表，并判断是否有99.5%的把握认为试验是否成功与A材料和B材料的选择有关.

(2)研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有四个环节，其中前三个环节每个环节生产合格的概率均为，每个环节不合格需要修复的费用均为200元；第四个环节生产合格的概率为，此环节不合格需要修复的费用为100元．问：一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要多少修复费用？

附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

[解]　(1)2×2列联表如下：

K2＝≈6.667<7.879，

所以没有99.5%的把握认为实验是否成功与A材料和B材料的选择有关．

(2)设X为一次生产出石墨烯发热膜为合格品所需的修复费用，则X的可能取值为0,100,200,300,400,500,600,700，

P(X＝0)＝3×＝，

P(X＝100)＝3×＝，

P(X＝200)＝C×2×＝，

P(X＝300)＝C×2×＝，

P(X＝400)＝C2××＝，

P(X＝500)＝C2××＝，

P(X＝600)＝3×＝，

P(X＝700)＝3×＝，

E(X)＝0×＋100×＋200×＋300×＋400×＋500×＋600×＋700×＝333.

故一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要333元修复费用．

(1)概率常与随机抽样、频率分布直方图、统计、独立性检验、离散型随机变量的分布列、数学期望等综合，注意频率分布直方图的纵轴不表示频率．

(2)当题目中出现“在……条件(前提)下”等字眼时，所求概率一般为条件概率；若无上述字眼，但已发生的事件影响了所求事件的概率，也认为是条件概率．条件概率的公式需记牢，不要混淆事件A，B.也有不用条件概率的公式，根据实际意义求概率的，如“甲、乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为，且各局比赛胜负互不影响，比赛采用五局三胜制．已知第一局乙获胜，求甲获胜的概率．”易得甲获胜的概率P＝3＋×C2×＝.　　

[针对训练]

某人经营淡水池塘养草鱼，根据过去40期的养殖档案，该池塘的养殖重量X(百斤)都在20百斤以上，其中不足40百斤的有8期，不低于40百斤且不超过60百斤的有24期，超过60百斤的有8期．根据统计，该池塘的草鱼重量的增加量y(百斤)与使用某种饵料的质量x(百斤)之间的关系如图所示．

(1)根据数据可知y与x具有线性相关关系，请建立y关于x的回归方程＝x＋；如果此人设想使用某种饵料10百斤时，草鱼重量的增加量须多于5百斤，请根据回归方程计算，确定此方案是否可行？并说明理由．

(2)养鱼的池塘对水质含氧量与新鲜度要求较高，某商家为该养殖户提供收费服务，即提供不超过3台增氧冲水机，每期养殖使用的冲水机运行台数与鱼塘的鱼重量X有如下关系：

若某台增氧冲水机运行，则商家每期可获利5千元；若某台冲水机未运行，则商家每期亏损2千元．视频率为概率，商家欲使每期冲水机总利润的均值达到最大，应提供几台增氧冲水机？

附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.

解：(1)依题意，＝5，＝4(xi－)(yi－)＝6，

(xi－)2＝26，

∴＝，＝－＝4－×5＝，

∴＝x＋.当x＝10时，＝>5，故此方案可行．

(2)设盈利为Y，安装1台时，盈利Y＝5 000.

安装2台时，20<X<40，Y＝3 000，P＝；X≥40，Y＝10 000，P＝.

∴E(Y)＝×3 000＋×10 000＝8 600.

安装3台时，20<X<40，Y＝1 000，P＝；40≤X≤60，Y＝8 000，P＝；

X>60，Y＝15 000，P＝.

∴E(Y)＝1 000×＋8 000×＋15 000×＝8 000.

∵8 600>8 000，故应提供2台增氧冲水机．

题型三　概率与函数、数列、不等式的交汇

[典例]　为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户).

某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：

(1)若规定第一阶梯的电价为每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元？

(2)现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到用电量为第二阶梯的户数的分布列与数学期望；

(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中抽取10户，若抽到k户的用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值．

[解]　(1)210×0.5＋(400－210)×0.6＋(410－400)×0.8＝227(元)．

(2)设抽到用电量为第二阶梯的户数为ξ.由题意知，用电量为第二阶梯的用户有3户，则ξ的所有可能取值为0,1,2,3，

P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.

故ξ的分布列为

所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

(3)由题意知，从全市中抽取10户，用电量为第一阶梯的户数X满足X～B，可知

P(X＝k)＝Ck10－k(k＝0,1,2,3，…，10)．

由

解得≤k≤，k∈N*.

所以当k＝6时，概率最大，即抽到6户的用电量为第一阶梯的可能性最大．

[方法技巧]

在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率．决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或数学期望最大(最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、不等式或数列的有关性质去实现．　　

[针对训练]

1．设甲投球命中的概率为p.

(1)[考查不等式]如果甲一共投球4次，甲恰好投中2次的概率不大于其恰好投中3次的概率，试求p的取值范围．

(2)[考查基本不等式]如果甲一共投球6次，那么甲恰好命中3次的概率可能是吗？

(3)[与导数交汇]记甲3次投球中恰有2次投中的概率为q，则当p取何值时，q最大？

解：(1)由C·p2·(1－p)2≤C·p3·(1－p)，0＜p＜1，解得≤p＜1，故p的取值范围为.

(2)不可能．P(X＝3)＝C·p3·(1－p)3≤

203＝＜.

(3)由题意知q＝C·p2·(1－p)＝－3p3＋3p2，0＜p＜1，则q′＝－9p2＋6p＝－3p(3p－2)，易知在上q＝－3p3＋3p2为增函数，在上q＝－3p3＋3p2为减函数，故当p＝时，q取得最大值．

2．武汉又称江城，是湖北省省会，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，黄鹤楼与东湖便是其中的两个．为合理配置旅游资源，现对已参观黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1分，若继续游玩东湖记2分，每位游客选择是否参观东湖的概率均为，游客之间选择意愿相互独立．

(1)从游客中随机抽取3人，记这3人的总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望．

(2)①若从游客中随机抽取m(m∈N*)人，记这m人的总分恰为m分的概率为Am，求数列{Am}的前10项和；

②在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的人的累计得分恰为n分的概率为Bn，探讨Bn与Bn－1(n≥2)之间的关系，并求数列{Bn}的通项公式．

解：(1)X的所有可能取值为3,4,5,6.

P(X＝3)＝3＝，P(X＝4)＝C3＝，P(X＝5)＝C3＝，P(X＝6)＝3＝.

所以X的分布列为

所以E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝.

(2)①总分恰为m分的概率Am＝m，

所以数列{Am}是首项为，公比为的等比数列．

其前10项和S10＝＝.

②因为已调查过的人的累计得分恰为n分的概率为Bn，得不到n分的情况只有先得(n－1)分，再得2分，概率为Bn－1(n≥2)，

所以1－Bn＝Bn－1(n≥2)，

即Bn＝－Bn－1＋1(n≥2)，

所以Bn－＝－(n≥2)，

所以Bn－＝n－1.易知B1＝，

所以Bn＝－n－1＝＋n＝＋.