高端精品高中数学一轮专题-空间几何体（讲）（带答案）教案

空间几何体

【知识清单】

知识点1．空间几何体的结构特征

一、多面体的结构特征

二、旋转体的形成

三、简单组合体

简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．

知识点2．空间几何体的直观图

简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：

(1)画几何体的底面

在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．

(2)画几何体的高

在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．

【考点分类剖析】

考点一 ：空间几何体的结构特征

【典例1】若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

根据题意作图，

设圆锥的底面圆半径为，高为 ，母线长为 .

若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，

则有，.

该圆锥的底面积与侧面积比值为.

故选：C.

【典例2】《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）

A.4 B.8 C.12 D.16

【答案】D

【解析】

根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，

而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×4=8，

当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，

当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，

故有8+4+4=16

故选：D．

【变式探究】

1.以下命题正确的是（    ）

A．直角三角形绕其一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥

B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱

C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台

D．棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台

【答案】C

【解析】

解：对于A：直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥，故A错误；

对于B：，因为当两平行的截面与圆柱的底面不平行时，截得的几何体的两个平行的底面有可能是椭圆，另外当截面平行于圆柱的高线时，截得的几何体也不是圆柱，故B错误；

对于C：圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，正确；

对于选项D：当截面不平行于底面时，棱锥截去一个小棱锥后剩余部分不是棱台，故D错．

故选：C．

2.【多选题】过正方体棱上三点D，E，F（均为棱中点）确定的截面过点P(点P为BB1中点)有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】

A中过三点的截面如图，可知截面过点，

B中过三点的截面如图，可知截面不过点，

C中，在正方体的一个侧面上，而不在这个侧面上，因此四点不共面，过三点的截面不过点，

D中，过三点的截面如图，可知截面过点．

故选：AD．

【特别提醒】

三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体，也是重要的几何模型，要特别注意掌握它们的几何特征．

考点二 ：空间几何体的直观图

【典例3】已知的面积为，用斜二测法画出其水平放置的直观图如图所示，若，则的长为________.

【答案】1

【解析】的面积为，

则用斜二测法画出其水平放置的直观图△的面积为，

即，解得，

△中，由余弦定理得，，

所以．

故答案为：1．

【典例4】如图，、分别为正方形的面与面的中心，则四边形在正方体的面上的正投影可能是（要求：把可能的图的序号都填上）________

【答案】②③

【解析】由正方体是对称的几何体，四边形在该正方体的面上的射影可分为：自上而下、自左至右、由前及后三个方向的射影，即在面、面、面上的射影．

四边形在面和面上的射影相同，如下图所示；

四边形在该正方体对角面的内，它在面上的射影显然是一条线段，如下图示：

故答案为：②③．

【总结提升】

1.用斜二测画法画直观图的技巧

在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出.

2.解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.

3.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：

S直观图＝S原图形，S原图形＝S直观图．

【变式探究】

1.如图所示，是水平放置的的直观图，轴，轴，，，则中，（    ）

A．2 B．5 C．4 D．

【答案】B

【解析】

根据直观图可知，所以.

故选：B