高端精品高中数学一轮专题-抛物线（讲）（带答案）教案

这是一份高端精品高中数学一轮专题-抛物线（讲）（带答案）教案，共11页。

1.结合抛物线的定义，考查求抛物线方程、最值等问题，凸显直观想象的核心素养．
2．结合抛物线的几何性质及几何图形，求其相关性质及性质的应用能力，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
[理清主干知识]
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和几何性质
3．抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2；
(2)|AF|＝eq \f(p,1－cs α)，|BF|＝eq \f(p,1＋cs α)，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)；
(3)eq \f(1,|FA|)＋eq \f(1,|FB|)＝eq \f(2,p)；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：
S△AOB＝eq \f(p2,2sin θ)＝eq \f(1,2)|AB||d|＝eq \f(1,2)|OF|·|y1－y2|；
(6)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦；
(7)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
考点一 抛物线的定义及应用
[典例] (1)已知A为抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝( )
A．2 B．3
C．6 D．9
(2)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，若A(3,2)，则|PA|＋|PF|的最小值为________，此时点P的坐标为________．
[解析] (1)根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－eq \f(p,2)的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以eq \f(p,2)＝12－9，解得p＝6.故选C.
(2)将x＝3代入抛物线方程
y2＝2x，得y＝±eq \r(6).
因为eq \r(6)＞2，所以点A在抛物线内部，如图所示．过点P作PQ⊥l于点Q，
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PQ|(运用定义进行转化)，
当PA⊥l，即A，P，Q三点共线时，
|PA|＋|PQ|最小(两点之间，线段最短)，
最小值为eq \f(7,2)，即|PA|＋|PF|的最小值为eq \f(7,2)，此时点P的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，所以所求点P的坐标为(2,2)．
[答案] (1)C (2)eq \f(7,2) (2,2)
[方法技巧]
1．利用抛物线的定义可解决的常见问题
2．抛物线定义的应用规律
[提醒] 建立函数关系后，一定要根据题目的条件探求自变量的取值范围，即函数的定义域．
[针对训练]
1．若点A为抛物线y2＝4x上一点，F是抛物线的焦点，|AF|＝5，点P为直线x＝－1上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为( )
A．8 B．2eq \r(13)
C．2＋eq \r(41) D．eq \r(65)
解析：选D 由题意可知，p＝2，F(1,0)，由抛物线的定义可知，|AF|＝xA＋eq \f(p,2)＝xA＋1＝5，∴xA＝4，代入抛物线方程，得yeq \\al(2,A)＝16，不妨取点A为(4,4)．如图，设点F关于x＝－1的对称点为E，则E(－3,0)，∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PE|≥|AE|＝eq \r(4＋32＋42)＝eq \r(65).
2．如图，圆锥底面半径为eq \r(2)，体积为eq \f(2\r(2),3)π，AB，CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其准线的距离等于________．
解析：由V＝eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(1,3)π×(eq \r(2))2×PO＝eq \f(2\r(2),3)π，得PO＝eq \r(2)，则PB＝2，OE＝1，OC＝OD＝eq \r(2).
以E为坐标原点，OE为x轴，过E点与CD平行的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则C(－1，eq \r(2))．
设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)，
∴(eq \r(2))2＝－2p×(－1)，解得p＝1，
故焦点到其准线的距离等于1.
答案：1
考点二 抛物线的标准方程
[典例] (1)已知抛物线y2＝ax上的点M(1，m)到其焦点的距离为2，则该抛物线的标准方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝3x D．y2＝5x
(2)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点A(0,2)，则C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
[解析] (1)由题得点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，m))到准线的距离为2，
所以1＋eq \f(a,4)＝2，解得a＝4.
所以该抛物线的标准方程为y2＝4x.
(2)由已知得抛物线的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))设点M(x0，y0)，
则AF―→＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，－2))，AM―→＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),2p)，y0－2)).
由已知得，AF―→·AM―→＝0，即yeq \\al(2,0)－8y0＋16＝0，
因而y0＝4，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,p)，4)).
由|MF|＝5，得 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,p)－\f(p,2)))2＋16)＝5.
又p>0，解得p＝2或p＝8.
故C的方程为y2＝4x或y2＝16x.
[答案] (1)B (2)C
[方法技巧]
抛物线的标准方程的求法
(1)定义法
根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．
(2)待定系数法
①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程；
②当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y2＝－2px(p>0)和y2＝2px(p>0)两种情况求解．另一种是设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．
[针对训练]
1.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )
A．y2＝9x B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝eq \r(3)x
解析：选C 如图，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，从而得a＝1，|FC|＝3a＝3，
所以p＝|FG|＝eq \f(1,2)|FC|＝eq \f(3,2)，因此抛物线的方程为y2＝3x，故选C.
2．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．
解析：△FPM为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，\f(m2,2p)))，则点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，－\f(p,2))).因为焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，△FPM是等边三角形，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m2,2p)＋\f(p,2)＝4，,\a\vs4\al( \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)＋\f(p,2)))2＋m2))＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＝12，,p＝2，))因此抛物线方程为x2＝4y.
答案：x2＝4y
考点三 抛物线的几何性质
[典例] (1)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))
C．(1,0) D．(2,0)
(2)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
[解析] (1)将直线方程与抛物线方程联立，可得y＝±2eq \r(p)，不妨设D(2,2eq \r(p))，E(2，－2eq \r(p))．
由OD⊥OE，可得OD―→·OE―→＝4－4p＝0，解得p＝1，
所以抛物线C的方程为y2＝2x，其焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0)).
(2)依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝2eq \r(2)，所以N(0,4eq \r(2))，|FN|＝eq \r(4＋32)＝6.
[答案] (1)B (2)6
[方法技巧]
抛物线几何性质的应用技巧
(1)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
(2)与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键．
[针对训练]
1．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为( )
A.eq \f(\r(2),2) B．eq \r(2)
C.eq \f(3\r(2),2) D．2eq \r(2)
解析：选C 由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，如图所示，
|AF|＝x1＋1＝3，所以x1＝2，
y1＝2eq \r(2).
设AB的方程为x－1＝ty，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,x－1＝ty，))
消去x得y2－4ty－4＝0.
所以y1y2＝－4，所以y2＝－eq \r(2)，x2＝eq \f(1,2)，
所以S△AOB＝eq \f(1,2)×1×|y1－y2|＝eq \f(3\r(2),2)，故选C.
2．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，Q为抛物线上一点，连接QF并延长交抛物线的准线于点P，且点P的纵坐标为负数．若eq \r(3)|PQ|＝2|QF|，则直线PF的方程为( )
A.eq \r(3)x－y－eq \r(3)＝0
B.eq \r(3)x＋y－eq \r(3)＝0
C.eq \r(3)x－y－eq \r(3)＝0或eq \r(3)x＋y－eq \r(3)＝0
D．x－eq \r(3)y－1＝0
解析：选D 由于点P的纵坐标为负数，所以直线PF斜率大于零，设直线PF的倾斜角为θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<θ<\f(π,2))).作出抛物线y2＝4x和准线x＝－1的图象如图所示．作QA⊥PA，交准线x＝－1于点A.根据抛物线的定义可知|QF|＝|QA|，且∠QFx＝∠AQP＝θ.
因为eq \r(3)|PQ|＝2|QF|，所以在直角三角形PQA中，
cs θ＝eq \f(|QA|,|PQ|)＝eq \f(|QF|,|PQ|)＝eq \f(\r(3),2)，
所以θ＝eq \f(π,6).
故直线PF的斜率为taneq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),3)，
所以直线PF的方程为y－0＝eq \f(\r(3),3)(x－1)，
化简得x－eq \r(3)y－1＝0.故选D.
3．(多选)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，则下列结论正确的是( )
A．点P到抛物线焦点的距离为eq \f(3,2)
B．过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为eq \f(5,32)
C．过点P与抛物线相切的直线方程为x－2y＋1＝0
D．过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为定值
解析：选BCD
因为抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，所以p＝eq \f(1,2)，所以抛物线方程为y2＝x，焦点坐标为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0)).
对于A，|PF|＝1＋eq \f(1,4)＝eq \f(5,4)，故A错误．
对于B，kPF＝eq \f(4,3)，所以lPF：y＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,4)))，与y2＝x联立得：4y2－3y－1＝0，所以y1＋y2＝eq \f(3,4)，y1y2＝－eq \f(1,4)，所以S△OPQ＝eq \f(1,2)|OF|·|y1－y2|＝eq \f(1,2)×eq \f(1,4)×eq \r(y1＋y22－4y1·y2)＝eq \f(5,32)，故B正确．
对于C，依题意斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立得：ky2－y＋1－k＝0，
Δ＝1－4k(1－k)＝0,4k2－4k＋1＝0，解得k＝eq \f(1,2)，所以切线方程为x－2y＋1＝0，故C正确．
对于D，依题意斜率存在，设lPM：y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立得：ky2－y＋1－k＝0，
所以yM＋1＝eq \f(1,k)，即yM＝eq \f(1,k)－1，则xM＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)－1))2，
所以点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)－1))2，\f(1,k)－1))，同理Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,k)－1))2，－\f(1,k)－1))，
所以kMN＝eq \f(\f(1,k)－1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,k)－1)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)－1))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,k)－1))2)＝eq \f(\f(2,k),－\f(4,k))＝－eq \f(1,2)，故D正确．故选B、C、D.
创新思维角度——融会贯通学妙法
解决与抛物线有关的最值问题的方法
与抛物线有关的最值问题是历年高考的一个热点，由于所涉及的知识面广，题目多变，一般需要通过数形结合或利用函数思想来求最值，因此相当一部分同学对这类问题感到束手无策．下面就抛物线最值问题的求法作一归纳．
方法(一) 定义转换法
[例1] 已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的任意点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．
[解析] 过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|.当点M(20,40)位于抛物线内时，根据点M与抛物线的位置分类讨论．
如图(1)，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.
当点M，P，D共线时，|PM|＋|PF|的值最小．
由最小值为41，得20＋eq \f(p,2)＝41，解得p＝42.
当点M(20,40)位于抛物线外时，如图(2)，当点P，M，F共线时，|PM|＋|PF|的值最小．
由最小值为41，得 eq \r(402＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(20－\f(p,2)))2)＝41，解得p＝22或58.当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去．综上，p＝42或22.
[答案] 42或22
[名师微点]
定义是解决问题的基础和灵魂，运用定义转化，将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，借助平面几何知识求解．
方法(二) 平移直线法
[例2] 抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是________．
[解析] 法一：设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线为4x＋3y＋b＝0，切线方程与抛物线方程联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－x2，,4x＋3y＋b＝0，))消去y整理得3x2－4x－b＝0，则Δ＝16＋12b＝0，解得b＝－eq \f(4,3)，所以切线方程为4x＋3y－eq \f(4,3)＝0，抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是这两条平行线间的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(8－\f(4,3))),5)＝eq \f(4,3).
法二：由y＝－x2，得y′＝－2x.如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线与抛物线的切点是T(m，－m2)，则切线斜率k＝y′|x＝m＝－2m＝－eq \f(4,3)，所以m＝eq \f(2,3)，即切点Teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，－\f(4,9)))，点T到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)－\f(4,3)－8)),\r(16＋9))＝eq \f(4,3)，由图知抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是eq \f(4,3).
[答案] eq \f(4,3)
[名师微点]
通过转化，利用平行线之间距离最短平移直线与抛物线相切，再求两直线的距离．
方法(三) 函数法
[例3] 若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．
[解析] 由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为A(3,0)，则|PQ|≥|PA|－|AQ|＝|PA|－1，当且仅当P，Q，A三点共线时取等号，所以当|PA|取得最小值时，|PQ|最小．设P(x0，y0)，则yeq \\al(2,0)＝x0，|PA|＝eq \r(x0－32＋y\\al(2,0))＝
eq \r(x\\al(2,0)－6x0＋9＋x0)＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(5,2)))2＋\f(11,4))，当且仅当x0＝eq \f(5,2)时，|PA|取得最小值eq \f(\r(11),2)，此时|PQ|取得最小值eq \f(\r(11),2)－1.
[答案] eq \f(\r(11),2)－1
[名师微点]
本题可通过巧设点的坐标，将距离表示为关于y0(参数)的二次函数形式，配方后求最值．
方法(四) 数形结合法
[例4] 已知定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，则点M到y轴的最短距离为________．
[解析] 如图，抛物线y2＝2x的准线方程为l：x＝－eq \f(1,2)，
过A，B，M分别作AA′，BB′，MM′垂直于l，垂足分别为A′，B′，M′.
由抛物线的定义知|AA′|＝|FA|，|BB′|＝|FB|，又M是AB的中点，
所以由梯形的中位线定理，
得|MM′|＝eq \f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)＝eq \f(1,2)(|FA|＋|FB|)≥eq \f(1,2)|AB|＝eq \f(1,2)×3＝eq \f(3,2)(当且仅当AB过抛物线的焦点时取“＝”)．所以点M到y轴的最短距离为1.
[答案] 1
[名师微点]
本题通过抛物线定义、平面几何知识、数形结合将问题化难为易． 标准方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中
P(x0，y0))
|PF|＝x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝－x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝y0＋eq \f(p,2)
|PF|＝－y0＋eq \f(p,2)
轨迹
问题
用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线
距离
问题
涉及抛物线上的点到焦点的距离和点到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的相互转化