高端精品高中数学一轮专题-直线与直线方程（讲）（带答案）教案

直线与直线方程

【知识清单】

知识点1．直线的倾斜角与斜率

1．直线的倾斜角

①定义．当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

②范围：倾斜角的范围为．

2．直线的斜率

①定义．一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线与x轴平行或重合时, , .

②过两点的直线的斜率公式．经过两点的直线的斜率公式为.

3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．

4.直线的倾斜角、斜率k之间的大小变化关系：

（1）当时，越大，斜率越大；

（2）当时，越大，斜率越大.

知识点2．直线的方程

1.直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为，则直线的方程为：

.这个方程就叫做直线点斜式方程.

特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线 的斜截式方程.

2.直线的两点式方程

直线过两点其中，则直线的方程为：

.这个方程叫做直线的两点式方程.

当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：.

特别地，若直线过两点，则直线的方程为：

，这个方程叫做直线的截距式方程.

3.直线的一般式方程

关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程.

由一般式方程可得，B不为0时，斜率，截距.

知识点3．两条直线平行与垂直

1．两直线的平行关系

(1) 对于两条不重合的直线，其斜率为，有.

 (2)对于两条直线，有

.

2．两条直线的垂直关系

(1) 对于两条直线，其斜率为，有.

(2)对于两条直线，有.

知识点4．距离问题

1．两点间的距离公式

设两点，则.

2．点到直线的距离公式

设点，直线，则点到直线的距离

.

3．两平行线间的距离公式

设两条平行直线，则这两条平行线之间的距离

.

知识点5．两条直线的交点

1.两条直线相交：对于两条直线，若，则方程组有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标.

2.两条直线，联立方程组，

若方程组有无数组解，则重合．

知识点6．对称问题

1.中点坐标公式

2．两条直线的垂直关系

(1) 对于两条直线，其斜率为，有.

(2)对于两条直线，有.

【考点分类剖析】

考点一 ：直线的倾斜角与斜率

【典例1】已知直线的斜率为，倾斜角为，若，则的取值范围为（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

直线倾斜角为45°时，斜率为1，

直线倾斜角为135°时，斜率为，

因为在上是增函数，在上是增函数，

所以当时，的取值范围是.

故选：B.

【典例2】“若一条直线的斜率为”是“此直线的倾斜角为”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

若一条直线的斜率为，

则此直线的倾斜角为，

且；若一条直线的倾斜角为，

则此直线的斜率不一定为，

如时，不存在，

综上：“若一条直线的斜率为”是“此直线的倾斜角为”

的既不充分也不必要条件.

故选：D.

【典例3】已知直线，若，则__________：若曲线：与直线有两个公共点，则实数的取值范围是__________.

【答案】；       

【详解】

解：因为，

所以，即，

经检验；

，

直线化为，恒过，

画出函数图像，如图：

因为曲线：与直线有两个公共点，

所以或或，

即.

【规律方法】

1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标，则直接利用斜率公式求斜率；若条件中给出一条直线，则求出直线上的两点的坐标，然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角，则先求出直线的斜率，再利用求倾斜角.

2. 求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率k是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围．

【变式探究】

1.已知，两点，若直线与线段恒有交点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

解：直线过定点，，

，

由图象可知：，

所以k的取值范围是：．

故选：B．

2.已知点A(1,2)，B(2,1)，则线段AB的长为_______，过A、B两点直线的倾斜角为_________

【答案】       

【解析】

根据两点之间的距离公式得线段AB的长为；

根据经过两点的斜率公式得过A、B两点直线的斜率为，又因为直线的倾斜角的范围为，所以过A、B两点直线的倾斜角为．

故答案为：，．

【易错提醒】

1.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y＝tan x的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制；

2.求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y＝tan x的单调性求k的范围．

考点二 ：  直线的方程

【典例4】的三个顶点为，则不是三角形各边上中线所在直线方程的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

解：由题意：线段的中点；线段的中点；线段的中点；

则中线所在直线分别是：直线、直线、直线，

根据、两点，求直线：；

根据、两点，求直线：

根据、两点，求直线：

故选：C

【典例5】已知直线l过点，并且点和点到直线l的距离相等，求直线l的方程．

【答案】或．

【详解】

方法一：当点A和点B在直线l的同侧时，易得．

∵，∴．

又知直线l过点，

∴直线l的方程为，即．

当点A和点B在直线l的异侧，这时直线l过的中点．

又因为直线l过点，则直线l的斜率为0，直线l的方程为．

综上所述，直线l的方程为或．

方法二：设直线l的方程为．

由题设知，直线l过点，并且点和点到直线l的距离相等，则，于是可得．

从而可得或，解得或．

当时，，且，此时直线方程为．

当时，，此时直线方程为．

综上所述，直线l的方程为或．

【规律方法】

求直线方程的常用方法：

1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．

2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．

3.直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．

【变式探究】

1.（1）已知一条直线经过点，且在两坐标轴上的截距之和为6，求这条直线的方程；

（2）直线l经过点且与x，y轴正半轴交于A，B两点，当面积最小时求直线l的方程（O为坐标原点）.

【答案】（1）或；（2）.

【详解】

（1）由题意，直线在两个坐标轴上的截距存在，因此设所求直线方程为

.

由题意，得解这个方程组，得或

所求直线方程为或，即或.

（2）设直线l的方程为，则.

，，，得.

当且仅当时，即，时等号成立.

此时的面积最小.

所求直线方程为，即.

2.已知点A（-3，-1），B（1，5），直线过线段AB的中点，且在轴上的截距是它在轴上的截距的2倍.求直线的方程．

【答案】

【解析】AB的中点为点.若直线在两坐标轴上的截距都为0，即直线过原点，直线在轴上的截距也是它在轴上的截距的2倍，此时直线的斜率为，所以直线方程为：.若直线在两坐标轴上的截距都不为0，则可设其在轴上的截距为，则在轴上的截距为．由截距式方程可得，直线的方程为：，即.因为直线过点，所以.所以直线方程为：，即：.

【易错提醒】

1.求直线方程的注意事项

(1)在求直线方程时，根据题目的条件选择适当的形式．

(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类与整合思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．

2.涉及直线在两坐标轴上截距相等问题，要特别注意截距均为的情况；另外，某些涉及直线问题中，往往要讨论直线的斜率是否存在的情况，也应特别注意.

考点三 ：  两条直线平行与垂直

【典例6】已知直线：，直线：，若，则_________若，则________

【答案】       

【详解】

若，则，

此时，则两条直线不重合，故；

若，则，

∴.

故答案为：，.

【典例7】已知为实数，直线：，：，则“”是“”的___________条件.（“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”选一个填）

【答案】充分不必要

【详解】

若，则，解得或，经检验可知或都符合题意.

所以“”是“”的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要

【易错提醒】

当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．

【变式探究】

1.设，直线：，直线：，则“”是“”的（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

由题意，当时，两直线，此时两直线不平行，

当时，若，则满足，

由得，解得或，

当时，成立，

当时，成立，即两直线是重合的（舍去），故

所以是的充要条件，故选C.

2. 设两直线与，则直线恒过定点_________，若，则__________．

【答案】       

【详解】

由得，对于都成立，所以有，

解得，直线恒过定点；

，则，解得.

故答案为：①；②.

考点四 ：  距离问题

【典例8】在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.

【答案】4.

【解析】

当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.

由，得，，

即切点，

则切点Q到直线的距离为，

故答案为：．

【典例9】已知直线和，则原点到的距离的最大值是______；若，则实数=______.

【答案】5    -1   

【详解】

直线的方程可化为，则直线过定点，

当原点到的距离最大时，满足，所以原点到的距离的最大值为.

若，则两条直线的方程分别为和，与不平行；

若，则两条直线的方程分别为和，与不平行；

当且，若，则，由，得，

解得或2，

当时，，与重合，不符合题意，当时，，

满足题意.

故答案为：

【规律方法】

两种距离的求解思路

(1)点到直线的距离的求法

可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．

(2)两平行线间的距离的求法

①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．

②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式)．

【变式探究】

1.设点P在曲线上，点Q在曲线上，点R在直线上，则的最小值为　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由题意，函数的导数为，

设曲线与直线的平行线相切的切点为，

可得，即，可得切点为，此时PR的最小值为，

的导数为，

设曲线与直线的平行线相切的切点为，

可得，即，可得切点为，

此时RQ的最小值为， 则P，Q重合为，R为，

取得最小值为．

故选：D．

2.已知直线．

（1）若直线在轴上的截距为，求实数的值；

（2）若直线与直线平行，求两平行直线与之间的距离．

【答案】（1）；（2）．

【详解】

（1）若直线，令，求得在轴上的截距为，

实数．

（2）若直线与直线平行，

则，求得，故，即，

求两平行直线与之间的距离为．

考点五 ：  两条直线的交点

【典例10】设，过定点A的动直线和过定点B的动直交于点，则的最大值是      ．

【答案】5

【解析】

易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，.

法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.

【典例11】求过直线和的交点P，且与直线垂直的直线l的方程.

【答案】

【详解】

解法一：由，解得直线的斜率为，直线的斜率为4.

因此满足条件的直线l的方程为：，即.

解法二：直线l垂直于直线.设直线l的方程为.

与的交点为，，

解得从而.所以直线l的方程为.

解法三：因为直线l过与的交点，设直线l的方程为，

即，与直线垂直，

，解得.直线l的方程为.

【规律方法】

1.两直线交点的求法

求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．

2.求过两直线交点的直线方程的方法

求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．

【变式探究】

1.经过两条直线和=0的交点，且斜率为的直线方程是（　　）

A．2x+y﹣7=0        B．2x﹣y﹣7=0

C．2x+y+7=0         D．2x﹣y+7=0

【答案】

【解析】两条直线和的交点，由解得，

所以，经过两条直线和的交点，且斜率为的直线方程是，

即，故选．

2.已知坐标原点为O，过点作直线n不同时为零的垂线，垂足为M，则的取值范围是______．

【答案】

【解析】根据题意，直线，即，

则有，解可得，则直线恒过点．设，又由与直线垂直，

且为垂足，则点的轨迹是以为直径的圆，其方程为，

所以；即的取值范围是；故答案为：．

名师点睛：此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：

（1）如果为定点，且动点满足，则动点 的轨迹为圆；

（2）如果中，为定长，为定值，则动点的轨迹为一段圆弧．特别地，当，则的轨迹为圆（除去）；

（3）如果为定点，且动点满足(为正常数)，则动点的轨迹为圆；

【总结提升】

1.解决两直线的位置关系问题要根据已知直线方程的形式灵活选用相应的条件，显然该题中直接利用一般式方程对应的条件更为简洁．另外利用直线的斜率和截距讨论时，不要忘记斜率不存在时的讨论．

2.可将方程化成斜截式，利用斜率和截距进行分析；也可直接利用一般式套用两直线垂直与平行的条件求解．一般式方程化成斜截式方程时，要注意直线的斜率是否存在（即的系数是否为0）.

3.涉及两直线的交点问题，往往需借助于图形，应用数形结合思想，探索解题思路，这也是解析几何中分析问题、解决问题的重要特征.

考点六 ：对称问题

【典例12】直线关于点对称的直线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

设对称的直线方程上的一点的坐标为，

则其关于点对称的点的坐标为，

因为点在直线上，

所以即.

故选：D.

【典例13】设点为直线：上的动点，点，，则的最小值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】依据题意作出图像如下：

设点关于直线的对称点为，则它们的中点坐标为：，且

由对称性可得：，解得：，，所以

因为，所以当三点共线时，最大

此时最大值为

故选：A

【规律方法】

涉及对称问题，主要有以下几种情况：

1．若点关于直线对称，设对称点是，则线段的中点在直线上且直线，由此可得一方程组，解这个方程组得：的值，从而求得对称点的坐标.

2．若直线关于点对称，由于对称直线必与直线平行，故可设对称直线为.因为直线间的距离是点到直线的距离的二倍，则有，解这个方程可得的值（注意这里求出的有两个），再结合图形可求得对称直线的方程．

3．若直线关于直线对称，则在直线上取两点，求出这两点关于直线对称的两点的坐标，再由两点式便可得直线关于直线对称的直线的方程．

【变式探究】

1.与直线关于x轴对称的直线的方程是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

设所求直线上点的坐标，

则关于轴的对称点的坐标在已知的直线上，

所以所求对称直线方程为：,故选D．

2.已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到P点，则光线所经过的路程为（    ）

A． B．6 C． D．

【答案】C

【解析】直线AB的方程为：，如图所示，点关于x轴的对称点，

设点关于直线AB的对称点，如图，

则，且中点在直线上，

即联立解得，即，

所以根据反射原理的对称性，光线所经过的路程为：

．

故选：C.

【规律方法】

1.中心对称问题的两种类型及求解方法

2.轴对称问题的两种类型及求解方法

【变式探究】

1.在中，，，，是边上的点，，关于直线的对称点分别为，，则面积的最大值为（   ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

由，，，可得为直角三角形，且

则以为原点，为轴，为轴建立如下图所示直角坐标系.则，，

设，则直线，即

过点作直线的垂线，与交于点，则；又因为直线，即

此时到直线的距离为： ，所以 ，到的距离为

则所求面积

因为，所以当时，；当时，；

所以当时，，选A.

2．已知直线l：，则点到直线l的距离等于________；直线l关于点M对称的直线方程为________．

【答案】       

【解析】

点到直线l的距离为，

设为对称直线上任一点，则其关于点M的对称点为，因为该点在直线l上，所以，化简得，

所以所求的直线方程为，

故答案为：；