高端精品高中数学一轮专题-空间几何体的表面积和体积（讲）（带答案）教案

空间几何体的表面积和体积

【知识清单】

知识点1．几何体的表面积

圆柱的侧面积 

圆柱的表面积 

圆锥的侧面积 

圆锥的表面积 

圆台的侧面积 

圆台的表面积 

球体的表面积 

柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.

把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.

知识点2．几何体的体积

圆柱的体积 

圆锥的体积 

圆台的体积 

球体的体积 

正方体的体积   

正方体的体积   

【考点分类剖析】

考点一 ：几何体的面积

【典例1】北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（    ）

A．26% B．34% C．42% D．50%

【答案】C

【解析】

由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：

.

故选：C.

【典例2】已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.

【答案】

【解析】

∵∴∴

∴.

故答案为：.

【变式探究】

1．已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意，

得，为等边三角形，由正弦定理可得，

，根据球的截面性质平面，

，

球的表面积.

故选：A

考点二 ：几何体的体积

【典例3】两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，

设圆锥和圆锥的高之比为，即，

设球的半径为，则，可得，所以，，

所以，，，

，则，所以，，

又因为，所以，，

所以，，，

因此，这两个圆锥的体积之和为.

故选：B.

【典例4】在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

在长方体中，连接，

根据线面角的定义可知，

因为，所以，从而求得，

所以该长方体的体积为，故选C.

【变式探究】

1．已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．

【答案】8π

【解析】如下图所示，

又，

解得，所以，

所以该圆锥的体积为.

2．已知三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，，则该三棱锥体积的最大值是__．

【答案】

【解析】

如图所示，设，则，外接圆的半径为

则三棱锥的高为，三棱锥的体积公式为，

设，则，，

令，解得，在单增，单减，

，所以三棱锥体积最大值为

【方法总结】

求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.

考点三 ：  几何体的展开、折叠、切、截问题

【典例5】已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.

【答案】.

【解析】

由题意四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，故圆柱的体积为.

【规律方法】

几个与球有关的切、接常用结论

(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，

①若球为正方体的外接球，则2R＝a；

②若球为正方体的内切球，则2R＝a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.

(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.

(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

【典例6】学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，高为.打印所用部料密度为．不考虑打印损耗．制作该模型所需原料的质量为________.（取）

【答案】

【解析】

设被挖去的正方体的棱长为，圆锥底面半径为，取过正方体上下底面面对角线的轴截面，由相似三角形得则，解得．

模型的体积为，

因此，制作该模型所需材料质量约为．

故答案为：.

【典例7】已知正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为，且它的六个顶点均在球的球面上，则球的体积为__________.

【答案】

【解析】

如图所示，

设中心为，连接，根据等边三角形性质知：是外接圆半径，

根据正弦定理得：，得：，又，

在中，，

故球的体积为：.

故答案为: .

【总结提升】

1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．

2．若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．

【典例8】《九章算术.商功》中有这样段话：“斜解立方，得两壍堵(qian du).斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑(bie nao).”这里所谓的“鳖臑”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥.已知三棱锥是一个“鳖臑”，平面， ，且 ，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图所示，将三棱锥补为一个长宽高分别为的长方体，则三棱锥的外接球即长方体的外接球.

设外接球的半径为，则，所以，

所以三棱锥的外接球的表面积.

故选：B.

2．【多选题】已知正四面体的棱长为，则（    ）．

A． B．四面体的表面积为

C．四面体的体积为 D．四面体的外接球半径为

【答案】ABD

【解析】对于A，取中点，连接，因为是正四面体，所以，且，所以平面，平面，所以，故A正确；

正四面体的一个侧面的面积为，所以表面积为，故B正确；

由A选项得知，平面，取中点，连接，因为是正四面体，所以，，，所以，四面体的体积为，故C错误；

将正四面体补成正方体，则正四面体和长方体有相同的外接球，

正方体的对角线即为外接球的直径，正四面体的棱长即为正方体面对角线长，

因为正四面体的棱长为，所以正方体的棱长为，

对角线长为，所以外接球的半径为 ，故D正确.

故选：ABD.

3．如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为__________．

【答案】

【解析】

如图所示，连结，交于点，很明显平面，

则是四棱锥的高，且，，

结合四棱锥体积公式可得其体积为，

故答案为.

【典例9】已知正方形的边长为，将沿对角线折起，使平面平面，得到三棱锥．若O为的中点，点，分别为，上的动点（不包括端点），且，则当点到平面的距离为________时，三棱锥的体积取得最大值，且最大值是________．

【答案】       

【解析】

因为四边形是正方形，所以和都是等腰直角三角形，

因为O为的中点，所以，又因为平面平面，平面平面，

平面，所以平面，因为，所以，

设，可得，，

所以三棱锥的体积为，

所以当时，三棱锥的体积最大为.

故答案为：；.

【规律方法】

有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．

研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．

【变式探究】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.

【答案】

【解析】

【典例10】单位正方体内部或边界上不共面的四个点构成的四面体体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

要使四面体的体积最大，则四面体的四个顶点应该在正方体的表面上，

了叙述方便，把此时的四面体称为正方体的内接四面体，记正方体的外接球为球O，

由题意知正方体的内接四面体体积的最大值不大于球O的内接四面体的体积的最大值，

球O的内接四面体以正四面体的体积最大，此时正四面体恰好是正方体的内接四面体，

正方体为1时，内接正四面体的体积为．

故选：C．

【变式探究】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．

【答案】

【解析】

分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.

详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为

【典例11】已知球O是正三棱锥的外接球，，，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是_______.

【答案】

【解析】

如图，设三棱锥的外接球半径为R，正三角形的外接圆圆心为，

因为，三角形是正三角形，为正三角形的外接圆圆心，所以，

因为，所以，，解得，，

因为过作球的截面，当截面与垂直时，截面圆的半径最小，

所以当截面与垂直时，截面圆的面积有最小值，

在中，，故，截面面积，

故答案为：.

【总结提升】

解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．

【变式探究】

1.已知正方体的棱长为，直线平面，平面截此正方体所得截面中，正确的说法是（    ）

A．截面形状可能为四边形 B．截面形状可能为五边形

C．截面面积最大值为 D．截面面积最大值为

【答案】D

【解析】如图

在正方体中平面，所以平面与平面平行

平面与正方体的截面可以是三角形、六边形但不会是五边形和四边形

当截面为正六边形时，截面面积有最大，

由题可知：，则

故选：D

2．已知在球的内接长方体中，，，则球的表面积为________，若为线段的中点，则过点的平面截球所得截面面积的最小值为______．

【答案】       

【解析】如图，

因为球的内接长方体中，，，

所以，所以球的表面积，

当球的截面，即为截面圆圆心时，球心到截面圆的距离时最大，

此时截面圆的半径最小，此时截面圆的面积最小，

而,所以，

所以截面圆面积.

故答案为：；