数学必修22.1.2平面直角坐标系中的基本公式教学设计

《平面直角坐标系中的基本公式》

一、平面解析几何的基本思想和主要问题

　　平面解析几何是用代数的方法研究几何问题的一门数学学科，其基本思想就是用代数的方法研究几何问题．例如，用直线的方程可以研究直线的性质，用两条直线的方程可以研究这两条直线的位置关系等．

　　平面解析几何研究的问题主要有两类：一是根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质．

　　二、直线坐标系和直角坐标系

　　直线坐标系，也就是数轴，它有三个要素：原点、度量单位和方向．如果让一个实数与数轴上坐标为的点对应，那么就可以在实数集与数轴上的点集之间建立一一对应关系．

点与实数对应，则称点的坐标为，记作，如点坐标为，则记作；点坐标为，则记为．

　　直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成，两条数轴的度量单位一般相同，但有时也可以不同，两个数轴的交点是直角坐标系的原点．在平面直角坐标系中，有序实数对构成的集合与坐标平面内的点集具有一一对应关系．

一个点的坐标是这样求得的，由点向轴及轴作垂线，在两坐标轴上形成正投影，在轴上的正投影所对应的值为点的横坐标，在轴上的正投影所对应的值为点的纵坐标．

　　在学习这两种坐标系时，要注意用类比的方法．例如，平面直角坐标系是二维坐标系，它有两个坐标轴，每个点的坐标需用两个实数（即一对有序实数）来表示，而直线坐标系是一维坐标系，它只有一个坐标轴，每个点的坐标只需用一个实数来表示．

　　三、向量的有关概念和公式

　　如果数轴上的任意一点沿着轴的正向或负向移动到另一个点，则说点在轴上作了一次位移．位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称向量，记作．如果点移动的方向与数轴的正方向相同，则向量为正，否则为负．线段的长叫做向量的长度，记作．向量的长度连同表示其方向的正负号叫做向量的坐标（或数量），用表示．这里同学们要分清，，三个符号的含义．

　　对于数轴上任意三点，都有成立．该等式左边表示在数轴上点向点作一次位移，等式右边表示点先向点作一次位移，再由点向点作一次位移，它们的最终结果是相同的．

　　向量的坐标公式（或数量公式），它表示向量的数量等于终点的坐标减去起点的坐标，这个公式非常重要．

有相等坐标的两个向量相等，看做同一个向量；反之，两个相等向量坐标必相等。

注意：①相等的所有向量看做一个整体，作为同一向量，都等于以原点为起点，坐标与这所有向量相等的那个向量．②向量与数轴上的实数（或点）是一一对应的，零向量即原点．

　　四、两点的距离公式和中点公式

　　1．对于数轴上的两点，设它们的坐标分别为，，则的距离为，的中点的坐标为．

　　由于表示数轴上两点与的距离，所以在解一些简单的含绝对值的方程或不等式时，常借助于数形结合思想，将问题转化为数轴上的距离问题加以解决．例如，解方程时，可以将问题看作在数轴上求一点，使它到，的距离之和等于．

　　2．对于直角坐标系中的两点，设它们的坐标分别为，，则两点的距离为，的中点的坐标满足，．

　　两点的距离公式和中点公式是解析几何中最基本、最常用的公式之一，要求同学们能熟练掌握并能灵活运用．

　　五、坐标法

　　坐标法是数学中一种重要的数学思想方法，它是借助于坐标系来研究几何图形的一种方法，是数形结合的典范．这种方法是在平面上建立直角坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标所满足的方程表示曲线，通过研究方程，间接地来研究曲线的性质．

六、精典例析

例　已知平行四边形的三个顶点是，，，求它的第四个顶点的坐标．

分析：由于平行四边形是中心对称图形，利用中点坐标公式即可求得点的坐标，又由于平行四边形的两组对边平行，故又可利用向量的方法求得点的坐标．

解法一：如图所示，若成平行四边形．

对角线互相平分，的中点重合．

设第四个顶点为，

由中点公式有

解得．

若成平行四边形，则同理可求得．

若成平行四边形，则同理可求得．

综上所述，点的坐标为，或．

解法二：设第四个顶点为，则由得．

即

解得，，即．

同理，由可得；

由可得．

故所求点的坐标为，或．

点评：解本题时，应注意审题，否则容易因审题不仔细而失误．因为题中只说明了是平行四边形的四个顶点，并没有给出哪些线段是平行四边形的边，哪些线段是平行四边形的对角线，因此需要把各种情况都考虑到．

细心观察，发现三点恰好是的三条边的中点，故还可这样解：

解法三：设，，．

则由中点公式可得及

即，，．