人教版新课标B必修22.1.2平面直角坐标系中的基本公式学案设计

2.1平面直角坐标系中的基本公式

一．学习要点：平面直角坐标系中的几个基本公式及其简单应用

二．学习过程：

一．数轴上的基本公式

（一）基本概念：

 1、直线坐标系 ：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系。

  （1）实数集和数轴上的点集建立了一一对应关系；

  （2）如果点与实数对应，则称点的坐标为，记作。例如：数轴上的点的坐标为，记作，点的坐标为，记作。

2、向量（位移向量）：位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称向量。

  从点到点的向量，记作，点叫做向量的终点，线段的长叫做向量的长度，记作。

3、数轴上的向量的坐标（数量）：向量的长度及表示方向的符号。即的坐标是一个实数，实数的绝对值是为线段的长度，

若起点指向终点的方向与轴同向，则这个实数取正数，反之取负数。

用表示的坐标。例如：，。

4、相等的向量：数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量。相等的向量的坐标相等，反之亦然。

5、相反向量：等长且反向的向量。，其坐标互为相反数。

6、零向量：起点和终点重合的向量，它没有确定的方向，它的坐标为。

7、数轴上任意三点都具有关系：

（1）；（2）或。

例如：，

；；

。

8、数轴上向量的坐标公式：设点的坐标为，点的坐标为则：。

9、用表示两点的距离，则数轴上两点间的距离公式：。

10、数轴上两点、，线段中点的坐标为。

证明：设，则，，

∵，∴，即。

二．平面内任意两点，间的距离公式：

（1） 当不平行于坐标轴，也不在坐标轴上时

从点， 分别作轴、轴的垂线，，，。

垂足分别为

其中直线相交于点：

 由勾股定理：得两点间的距离公式：

。

（2） 当平行于坐标轴，或在坐标轴上时，公式仍然成立。

（3）若为原点，则；

（4）若两点在轴上或在与轴平行的直线上，则，则；（5）若若两点在轴上或在与轴平行的直线上，则，则；

三．中点公式：

已知，设是线段的中点，从点、、分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，，，，。

∵是线段的中点，即，，

∴，，

即，。

例1：下列说法正确的是（   ）

A．零向量是没有方向的    B．数轴上等长的向量叫做相等向量        

C．向量的坐标      D．

例2：数轴上两点的坐标为，，分别求、、、。

例3:已知1在数轴上对应的点A，在数轴上把A向左平移5个单位长度得点B，再向右平移4个单位得点C，则点C对应的数是__  ___，向量的坐标_____，向量的坐标_______。

例4:已知，，求。

例5:已知，，，求证：是等腰三角形。

例6:已知，求证：。

例7:已知的三个顶点，，，求顶点的坐标。

拓展：已知的三个顶点，，，求顶点第四个顶点的坐标。

课堂练习：教材习题2-1

课后作业：见作业（50）

补充练习：

1．中，是边上的中线，

求证：。

2．已知正三角形的边长为，在平面上求一点，使最小，并求出此最小值。

3．函数的最小值是