数学必修13.4.2 函数模型及其应用教案

函数模型及其应用

1．解决实际问题的解题过程

（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；

（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；

（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.

这些步骤用框图表示：

（4）利用拟合函数解决实际问题的一般方法，指出函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法. 利用函数思想解决实际问题的基本过程如下：

      符合

       实际

                   不符合实际

首先建立直角坐标系，画出散点图；

根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：

一次函数模型：

二次函数模型：

幂函数模型：

指数函数模型：（＞0，）

2．解决函数应用问题应着重培养下面一些能力：

（1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；

（2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；

（3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用

题型一：正比例、反比例和一次函数型

[例1]：某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测：（1）如果不采取任何措施，那么到2010年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果从2000年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷？

 [解题思路]通过理解题意，找出题中属于那一种函数模型。

[解析]  （1）由表观察知，沙漠面积增加数y与年份数x之间的关系图象近似地为一次函数y=kx+b的图象

将x=1，y=0.2与x=2，y=0.4，代入y=kx+b，

求得k=0.2，b=0，

所以y=0.2x（x∈N）。

因为原有沙漠面积为95万公顷，则到2010年底沙漠面积大约为

95+0.5×15=98（万公顷）。

（2）设从1996年算起，第x年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷，由题意得

95+0.2x－0.6(x－5)=90，

解得x=20（年）。

故到2015年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷。

[规律总结] 初中我们学习过的正比例、反比例和一元一次函数的定义和基本性质，我们要牢固掌握。特别是题目中出现的“成正比例”、“成反比例”等条件要应用好

[练习1]大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12为止温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12以上温度一定，保持在-55oC.

（1）当地球表面大气的温度是 oC时，在的上空为 oC,求、、间的函数关系式；

（2）问当地表的温度是29oC时，3上空的温度是多少？

[解题思路]　用待定系数法确定温度随高度变化的函数关系.

[解析]（1）由题设知，可设 -=， 即 =+.

依题意 ，当 =12时， =-55，

∴-55=+12 ，解得=- ，

∴当时，.

又当时，.

∴所求的函数关系式为

（2）       当=29, =3 时，

=29-(55+29)=8，

即3上空的温度为8 oC .

答：所求的关系式为，在3上空的温度是8 oC .

题型二：二次函数型

[例2]：某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满. 公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间. 若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？

[解题思路]审清题意，找出满足题意的函数类型。

[解析]设客房日租金每间提高2元，则每天客房出租数为300－10，由＞0，且300－10＞0得：0＜＜30

设客房租金总上收入元，则有：

=（20+2）(300－10)

  =－20(－10)2 ＋ 8000（0＜＜30）

由二次函数性质可知当=10时，=8000.

所以当每间客房日租金提高到20＋10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元.

[规律总结]引导学生探索过程如下：

1）本例涉及到哪些数量关系？

2）应如何选取变量，其取值范围又如何？

3）应当选取何种函数模型来描述变量的关系？

4）“总收入最高”的数学含义如何理解？

题型三：分段函数型

[例3]我国水资源相对贫乏，某市节水方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最低限量pm3时，只付基本费8元和每户每月定额损耗费q元；若用水量超过pm3时，除了付上述的基本费和损耗外，超过部分每m3付r元的超额费，已知每户每月的定额损耗不超过5元，该市一家庭某季度的用水量支付如下表：

　　（1）写出水费y（元）与用水量x（m3）的函数关系式（这里的p，q，r可作为已知数）；

（2）根据数据表，求p，q，r的值．

[解题思路]从题目中可知，自变量是分两种情况的，可考虑用分段函数表示。

　　[解析] （1）设水费为y（元），用水量为x（m3），则得分段函数

　　（2）根据表中数据，可列式8＋q＝9，q＝1，若8＋q＝19，q＝11与q≤5矛盾．

　　故∴r＝2．

[规律总结]这是一个分段函数类型的应用问题，注意判断自变量在分段函数的哪一段取值范围内是这个题的解题关键．

题型四：指数、对数型函数

[例4] 根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP（GDP是指国内生产总值）4035亿元，2000年上海市GDP预期增长9％，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08％．若GDP与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均（GDP达到或超过1999年的2倍，至少需____年．

（按1999年本市常住人口总数约1300万计算）

　[解析]  假设需要x年，本市年人均GDP达到或超过1999年的2倍，x年后上海市的GDP为4035（1＋9％）x，人口增长为1300（1＋0.08％）x，

　　人均GDP为，

　　令＝2×，即＝2．

　　利用计算器或计算机得x≈8.13，

　　根据图象或函数性质可知，于是随x增长而增长的．所以至少需要9年，本市人均GDP达到或超过1999年的2倍．

[练习2] 在一次数学实验中, 运用图形计算器采集到如下一组数据．

 则x,y的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中a,b为待定系数) （    ）

A．y=a+bX     　  B．y=a+bx     　　　 C．y=a+logbx   　　　  D．y=a+b/x

答案：A

[解析]分别对选项中的四个函数进行计算比较可得出最佳的一个

基础巩固训练

１化学上常用pH来表示溶液酸碱性的强弱，pH＝－1g｛c（H＋）｝，其中f（H＋）表示溶液中H＋的浓度．若一杯胡萝卜汁的c（H＋）＝1×10－5mol/L，则这杯胡萝卜汁的pH是（　　）

　　 A．2   B．3   C．4   D．5

答案：D 

[解析]  pH＝－1g（1×10－5）=5

2  某工厂签订了供货合同后组织工人生产某货物，生产了一段时间后，由于订货商想再多订一些，但供货时间不变，该工厂便组织工人加班生产，能反映该工厂生产的货物数量y与时间x的函数图象大致是（     ）

答案：B

[解析]随着工厂不断生产，产量增多，由于订单增多，加快生产，生产的产品更多，故选B

3  某林场计划第一年造林亩，以后每年比前一年多造林，则第四年造林（    ）

A  亩    B  亩     C  亩    D  亩

答案：C 

[解析] ，故选C

4．储油303的油桶，每分钟流出3的油，则桶内剩余油量Q（3）以流出时间为自变量的函数的定义域为            

答案：[0，40]

[解析] ，

5.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为      （   ）

 A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51

答案：B

[解析]  总利润为

当时，故选B

6.在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变成c%(a,b>0,a≠b)，则x与y的函数关系式是              （    ）

A．y=x  B．y=x  C．y=x  D．y=x

答案：B

[解析]  依题意可得可得y=x 故选B

7.已知从甲地到乙地通话m分钟的电话费由元给出，其中，[m]表示不超过m的最大整数，（如[3]=3，[3.2]=3），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为（   ）元

A．3.71 B．3.97 C．4.24 D．4.77

答案：A

[解析] ，故选A

8．如图，一动点P自边长为1的正方形ABCD的顶点 ­A出发，沿正方形的边界运动一周，再回到­A点．若点P的路程为x，点P到顶点的距离为y，求A, P两点间的距离y与点P的路程x之间的函数关系式                          ．

[解题思路]  由于点 分别在 上移动时，相应距离计算方法是不同的，故需分类讨论．

[解析] (1)当点 在 边上即 时， 也就是 ;

　　(2)当点 在 边上时，即 时， ，由勾股定理得

　　 ．

　　 (3)当点 在 边上即 时， ， 由勾股定理得

．

　　(4)当点 在 边上即 时，有 ．

　　 ．

[规律总结]  几何应用问题要注意实际问题对定义域的限制条件．对分界点的讨论应做到不重不漏．

9．如图，已知⊙O的半径为R，由直径AB的端点B作圆的切线，从圆周上任一点P引该切线的垂线，垂足为M，连AP设AP=x，写出AP+2PM关于x的函数关系式  2．求此函数的最值

 [解析}：1．过P作PDAB于D，连PB  设AD=a则

             ∴   

            2．

              当时   当时

10．某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线．

（1）写出服药后y与t之间的函数关系式；

（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间（共4次）效果最佳．

[解析] (1)依题得，

(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则,因而第二次服药应在11:00； 设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有解得t2=9小时，故第三次服药应在16:00；设第四次服药在第一次后t3小时（t3>10），则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，解得t3=13.5小时，故第四次服药应在20:30．