高中数学：1.1《基本计数原理》（二） 教案 （北师大选修2-3）

1.1基本计数原理

（第一课时）

教学目标：

（1）理解分类计数原理与分步计数原理

（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题

  教学重点：

（1）理解分类计数原理与分步计数原理

（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题

    教学过程

一、复习引入：

    一次集会共50人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共有多少？

某商场有东南西北四个大门，当你从一个大门进去又从另一个大门出来，问你共有多少种不同走法？

二、讲解新课：

问题1 春天来了，要从济南到北京旅游，有三种交通工具供选择：长途汽车、旅客列车和客机。已知当天长途车有2班，列车有3班。问共有多少种走法？

设问1： 从济南到北京按交通工具可分____类方法?

第一类方法,  乘火车，有___ 种方法;

第二类方法,  乘汽车，有___ 种方法;

∴ 从甲地到乙地共有__________ 种方法

设问2：每类方法中的每种一方法有什么特征？

问题2：春天来了，要从济南到北京旅游，若想中途参观南开大学，已知从济南到天津有3种走法，从天津到北京有两种走法；问要从济南到北京共有多少种不同的方法？

从济南到北京须经 ____ 再由_____到北京有____个步骤

第一步,  由济南去天津有___种方法

第二步,  由天津去北京有____种方法,

设问2：上述每步的每种方法能否单独实现从济南村经天津到达北京的目的?

1分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有K种途径，由第1种途径有n1种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，……由第k种途径有nK种方法可以完成。那么，完成这件工作共有n1+n2+……+nK种不同的方法。

1.标准必须一致,而且全面、不重不漏！

2“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的   即：它们两两的交集为空集！

3每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成

2，乘法原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，……，完成第K步有nK种不同的方法。那么，完成这件工作共有n1×n2×……×nK种不同方法

1标准必须一致、正确。

2“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉。

3若完成某件事情需n步,每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分且必须依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成。

     三、例子

例1．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，

（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？

解：（1）从书架上任取1本书，有3类办法：第1类办法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类办法是从第3层取1本体育书，有2种方法根据分类计数原理，不同取法的种数是4+3+2=9种

所以，从书架上任取1本书，有9种不同的取法；

（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步从第2层取1本艺术书，有3种方法；第3步从第3层取1本体育书，有2种方法根据分步计数原理，从书架的第1、2、3层各取1本书，不同取法的种数是种

所以，从书架的第1、2、3层各取1本书，有24种不同的取法

例2．一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数号码？

解：每个拨号盘上的数字有10种取法，根据分步计数原理，4个拨号盘上各取1个数字组成的四位数字号码的个数是，

所以，可以组成10000个四位数号码

例3．要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？

解：从3名工人中选1名上日班和1名上晚班，可以看成是经过先选1名上日班，再选1名上晚班两个步骤完成，先选1名上日班，共有3种选法；上日班的工人选定后，上晚班的工人有2种选法根据分步技数原理，不同的选法数是种，6种选法可以表示如下：

日班                   晚班

甲                     乙

甲                     丙

乙                     甲

乙                     丙

丙                     甲

丙                     乙

所以，从3名工人中选出2名分别上日班和晚班，6种不同的选法

例4，若分给你10块完全一样的糖，规定每天至少吃一块，每天吃的块数不限，问共有多少种不同的吃法？n块糖呢？

课堂小节：本节课学习了两个重要的计数原理及简单应用

课堂练习：

课后作业：

（第二课时）

教学目标：

会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题

  教学重点：

会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题

    教学过程

一、复习引入：

1、分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有k种途径，由第1种途径有n1种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，……由第k种途径有nk种方法可以完成。那么，完成这件工作共有n1+n2+……+nk种不同的方法。

2，乘法原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，……，完成第K步有nK种不同的方法。那么，完成这件工作共有n1×n2×……×nk种不同方法

二、讲解新课：

例1  书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．

（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？

（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？

（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？

例2在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?

解:取与取是同一种取法.分类标准为两加数的奇偶性,第一类,偶偶相加,由分步计数原理得(10×9)/2=45种取法,第二类,奇奇相加,也有(10×9)/2=45种取法.根据分类计数原理共有45+45=90种不同取法.

例3 如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为()

     A. 180    B. 160    C. 96    D. 60

若变为图二,图三呢?(240种,5×4×4×4=320种)

 例5 75600有多少个正约数?有多少个奇约数?

解:75600的约数就是能整除75600的整数,所以本题就是分别求能整除75600的整数和奇约数的个数.  

由于 75600=24×33×52×7

(1) 75600的每个约数都可以写成的形式,其中,,,

于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即分别在各自的范围内任取一个值,这样有5种取法,有4种取法,有3种取法,有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个.

(2)奇约数中步不含有2的因数,因此75600的每个奇约数都可以写成的形式,同上奇约数的个数为4×3×2=24个.

课堂小节：本节课学习了两个重要的计数原理的应用

课堂练习：

课后作业：