高中数学：1.2.1《排列》（一） 教案 （北师大选修2-3）

1.2.1排列

教学目标：

掌握解排列问题的常用方法

  教学重点：

掌握解排列问题的常用方法

    教学过程

一、复习引入：

1．排列的概念：

从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列

说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；

     （2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同

2．排列数的定义：

从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示

注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列

3．排列数公式及其推导：

（）

全排列数：（叫做n的阶乘）

二、讲解新课：

解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等．

解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”．

互斥分类——分类法

先后有序——位置法

反面明了——排除法

相邻排列——捆绑法

分离排列——插空法

例1求不同的排法种数：

（1）6男2女排成一排，2女相邻；

（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；

（3）4男4女排成一排，同性者相邻；

（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．

例2在3000与8000之间，数字不重复的奇数有多少个？

分析  符合条件的奇数有两类．一类是以1、9为尾数的，共有P21种选法，首数可从3、4、5、6、7中任取一个，有P51种选法，中间两位数从其余的8个数字中选取2个有P82种选法，根据乘法原理知共有P21P51P82个；一类是以3、5、7为尾数的共有P31P41P82个．

解  符合条件的奇数共有P21P51P82+P31P41P82=1232个．

答  在3000与8000之间，数字不重复的奇数有1232个．

例3  某小组6个人排队照相留念．

(1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？

(2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？

(3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？

(4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？

(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？

(6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？

分析  (1)分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第3～6个位子看成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列问题．

(2)先确定甲的排法，有P21种；再确定乙的排法，有P41种；最后确定其他人的排法，有P44种．因为这是分步问题，所以用乘法原理，有P21·P41·P44种不同排法．

(3)采用“捆绑法”，即先把甲、乙两人看成一个人，这样有P55种不同排法．然后甲、乙两人之间再排队，有P22种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以有P55·P22种排法．

(4)甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，有P66种排法．

(5)采用“插入法”，把3个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4张椅子，如____女____女____女____，再把3个男生放到这4个位子上，就保证任何两个男生都不会相邻了．这样男生有P43种排法，女生有P33种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以共有P43·P33种排法．

(6)符合条件的排法可分两类：一类是乙站排头，其余5人任意排有P55种排法；一类是乙不站排头；由于甲不能站排头，所以排头只有从除甲、乙以外的4人中任选1人有P41种排法，排尾从除乙以外的4人中选一人有P41种排法，中间4个位置无限制有P44种排法，因为是分步问题，应用乘法原理，所以共有P41P41P44种排法．

解  (1)P66=720(种)

(2)P21·P41·P44=2×4×24=192(种)

(3)P55·P22=120×2=240(种)

(4)P66=360(种)

(5)P43·P33=24×6=144(种)

(6)P55+P41P41P44=120+4×4×24=504(种)

或法二：(淘汰法)P66-2P55+P44=720-240+24=504(种)

课堂小节：本节课学习了排列、排列数的概念，排列数公式的推导

课堂练习：

课后作业：