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2021-2022学年江苏省南通市八年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年江苏省南通市八年级（上）期中数学试卷 解析版，共24页。试卷主要包含了选择题，解答题.等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省南通市八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）下列四个图形中，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣2）2＝﹣4 B．a2+a3＝a5 C．（3a2）2＝6a4 D．x6÷x2＝x4
3．（2分）若等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．80° B．50° C．80°或50° D．80°或20°
4．（2分）已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，则∠E的度数，DE的长分别为（ ）
A．30°，3 B．60°，3 C．60°，6 D．30°，6
5．（2分）若（x2﹣mx+6）（3x﹣2）的展开式中不含x的二次项，则m的值是（ ）
A．0 B． C．﹣ D．
6．（2分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
7．（2分）若a＝20210，b＝2020×2022﹣20212，c＝（）2020×（）2021，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
8．（2分）如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别AB、AC是上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分的周长为（ ）cm
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2分）如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝a，EF＝a，BF＝b，则AC的长为（ ）
A．a+b B．2b C．1.5b D．b
10．（2分）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪》所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释（a+b）”展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
（a+b）0……1
（a+b）1……11
（a+b）2……121
（a+b）3……133l
（a+b）4……14641
（a+b）5……15101051
如：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
利用上面的规律计算1015﹣5×1014+10×1013﹣10×1012+5×101﹣1的值为（ ）
A．1065 B．1015 C．1010 D．955
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应的位置上.
11．（2分）点（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是 ．
12．（2分）若a﹣b＝8，ab＝﹣15，那么a2+b2的值为 ．
13．（2分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，BE＝2，则DE的长是 ．
14．（2分）已知x，y为正整数且y＝5x，则9x+y÷27y﹣x＝ ．
15．（2分）如图，在△ABC中，AC＝8cm，ED垂直平分AB，如果△EBC的周长是14cm，那么BC的长度为 cm．
16．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BD＝CE，F是AC边上的离点A较近的一个三等分点，则AD﹣EF的值 4（填“＞”“＝”或“＜”）．
17．（2分）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面结论：①∠APO＝∠ACO；②∠APO+∠PCB＝90°；③PC＝PO；④AO+AP＝AC；其中正确的有 ．（填上所有正确结论的序号）
18．（2分）如图，A，B都在CD的上方，AC＝2，BD＝8，CD＝8，E为CD的中点，若∠AEB＝120°，则AB的最大值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共64分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
19．（9分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1（其中A1，B1，C1分别是A，B，C的对应点，不写画法）；
（2）请直接写出A1，B1，C1三点的坐标；
（3）请在直线l上找一点P，使得PA+PB最小．
20．（8分）计算：
（1）（x3）2•x2﹣（﹣x）9÷x；
（2）（x+1）（4x﹣2）﹣4（x+1）2．
21．（6分）先化简，再求值：
（2ab3﹣4a2b2）÷2ab+（2a+b）（2a﹣b），其中a＝2，b＝1．
22．（8分）如图，已知点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若点D在线段AB的垂直平分线上，BD＝DE，求∠B的度数．
23．（7分）阅读理解：整体代换是一种重要的数学思想方法．
例如：计算2（2m+n）﹣5（2m+n）+（2m+n）时可将（2m+n）看成一个整体，合并同类项得﹣2（2m+n），再利用分配律去括号得﹣4m﹣2n．
（1）若已知2m+n＝2，请你利用整体思想求代数式1﹣6m﹣3n的值；
（2）一正方形边长为2m+n，将此正方形的边长增加1之后，其面积比原来正方形的面积大9，求2m+n的值．
24．（8分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（90°＜α＜180°）．
（1）AC边上的高 AB边上的高（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）如图2，若点D，E分别在边AC，AB上，且CE＝BD，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明：如果不相等，请说说理由；
（3）若点D在边AC上，点E在边BA的延长线上，且CE＝BD，当α＝120°时，请直接写出线段AE，AD，AB之间的数量关系．
25．（8分）定义：若am＝b，则Lab＝m（a＞0）．例如23＝8，则L28＝3．
（1）运用以上定义，计算L525﹣L22；
（2）如果L23＝x，L4（）＝y，求x+2y的值．
26．（10分）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D，B，C在同一条直线上，AH⊥BC于点H．
①求证：AH＝BC；
②求∠DCE的度数．
（2）在△MNQ中，MN＝MQ，∠NMQ＝90°，在平面内有一点P，满足PQ＝3，PN＝7，∠NPQ＝90°，请直接写出点M到NP的距离．
2021-2022学年江苏省南通市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）下列四个图形中，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：选项A、C、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：B．
2．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣2）2＝﹣4 B．a2+a3＝a5 C．（3a2）2＝6a4 D．x6÷x2＝x4
【分析】利用幂的乘方的法则，合并同类项的法则，积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、（﹣2）2＝4，故A不符合题意；
B、a2与a3不属于是同类项，不能合并，故B不符合题意；
C、（3a2）2＝9a4，故C不符合题意；
D、x6÷x2＝x4，故D符合题意；
故选：D．
3．（2分）若等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．80° B．50° C．80°或50° D．80°或20°
【分析】先分情况讨论：80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．
【解答】解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；
当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°．
故选：D．
4．（2分）已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，则∠E的度数，DE的长分别为（ ）
A．30°，3 B．60°，3 C．60°，6 D．30°，6
【分析】根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，
∴∠E＝∠B＝90°﹣30°＝60°，DE＝AB＝6，
故选：C．
5．（2分）若（x2﹣mx+6）（3x﹣2）的展开式中不含x的二次项，则m的值是（ ）
A．0 B． C．﹣ D．
【分析】根据多项式乘多项式和（x2﹣mx+6）（3x﹣2）的积中不含x的二次项，可以求得m的值，本题得以解决．
【解答】解：（x2﹣mx+6）（3x﹣2）＝3x3﹣（2+3m）x2+（2m+18）x﹣12，
∵（x2﹣mx+6）（3x﹣2）的积中不含x的二次项，
∴2+3m＝0，
解得m＝﹣．
故选：C．
6．（2分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
【分析】过D作DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DF＝DE＝2，根据S△ADB+S△ADC＝7和三角形面积公式求出即可．
【解答】解：如图，过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2，
∴DE＝DF＝2，
∵S△ABC＝7，
∴S△ADB+S△ADC＝7，
∴×AB×DE+×AC×DF＝7，
∴×4×2+×AC×2＝7，
解得：AC＝3．
故选：A．
7．（2分）若a＝20210，b＝2020×2022﹣20212，c＝（）2020×（）2021，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【分析】先利用零指数幂的运算法则计算a，利用平方差公式化简求出b，利用积的乘方的运算法则求出c，再利用有理数大小的比较方法，比较a、b、c得结论．
【解答】解：a＝20210＝1；
b＝2020×2022﹣20212
＝（2021﹣1）×（2021+1）﹣20212
＝20212﹣1﹣20212
＝﹣1；
c＝（﹣）2020×（）2021
＝（﹣×）2020×
＝；
∴b＜a＜c．
故选：B．
8．（2分）如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别AB、AC是上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分的周长为（ ）cm
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由题意得AE＝A′E，AD＝A′D，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长．
【解答】解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，
所以AD＝A′D，AE＝A′E．
则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E，
＝BC+BD+CE+AD+AE，
＝BC+AB+AC，
＝3cm．
故选：C．
9．（2分）如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝a，EF＝a，BF＝b，则AC的长为（ ）
A．a+b B．2b C．1.5b D．b
【分析】延长AD到点M，使DM＝AD，连接BM，证明△ADC≌△BDM（SAS），得出∠M＝∠CAD，BM＝AC，进而得出∠BMF＝∠BFM即可得出答案．
【解答】解：延长AD到点M，使DM＝AD，连接BM，
在△ADC和△BDM中，
，
∴△ADC≌△BDM（SAS），
∴∠M＝∠CAD，BM＝AC，
∵AE＝EF＝a，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠MFB＝∠AFE，
∴∠BMF＝∠BFM，
∴BM＝BF，
∴AC＝BF＝b．
故选：D．
10．（2分）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪》所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释（a+b）”展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
（a+b）0……1
（a+b）1……11
（a+b）2……121
（a+b）3……133l
（a+b）4……14641
（a+b）5……15101051
如：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
利用上面的规律计算1015﹣5×1014+10×1013﹣10×1012+5×101﹣1的值为（ ）
A．1065 B．1015 C．1010 D．955
【分析】根据“杨辉三角”可得，1015﹣5×1014+10×1013﹣10×1012+5×101﹣1＝1010．
【解答】解：由“杨辉三角”可得，1015﹣5×1014+10×1013﹣10×1012+5×101﹣1＝（101﹣1）5＝1005＝（102）5＝1010．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应的位置上.
11．（2分）点（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是 （﹣2，﹣3） ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．
【解答】解：点（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣3），
故答案为（﹣2，﹣3）．
12．（2分）若a﹣b＝8，ab＝﹣15，那么a2+b2的值为 34 ．
【分析】利用完全平方公式，把a2+b2化为（a﹣b）2+2ab求解即可．
【解答】解：∵a﹣b＝8，ab＝﹣15，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝64﹣30＝34．
故答案为：34．
13．（2分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，BE＝2，则DE的长是 2 ．
【分析】根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDE，等量代换得到∠DBE＝∠BDE，得到DE＝BE，于是得到结论．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE∥AB，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴∠DBE＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∵BE＝2，
∴DE＝2．
故答案为：2．
14．（2分）已知x，y为正整数且y＝5x，则9x+y÷27y﹣x＝ 1 ．
【分析】利用幂的乘方对所求的式子进行整理，再利用同底数幂的除法法则进行运算即可．
【解答】解：∵y＝5x，
∴9x+y÷27y﹣x
＝32x+2y÷33y﹣3x
＝32x+2y﹣3y+3x
＝35x﹣y
＝35x﹣5x
＝30
＝1．
故答案为：1．
15．（2分）如图，在△ABC中，AC＝8cm，ED垂直平分AB，如果△EBC的周长是14cm，那么BC的长度为 6 cm．
【分析】根据周长公式代入即可求出BC的长．
【解答】解：因为ED垂直平分AB，
所以AE＝BE
则△EBC的周长是BC+CE+EB＝BC+CE+EA＝BC+（CE+EA）＝BC+AC
又因为△EBC的周长是14cm，
所以BC+AC＝14，
即BC+8＝14
所以BC＝6cm，BC＝6cm．
16．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BD＝CE，F是AC边上的离点A较近的一个三等分点，则AD﹣EF的值 ＜ 4（填“＞”“＝”或“＜”）．
【分析】根据SAS证明△ADB和△AEC全等，进而利用三角形三边关系解答即可．
【解答】解：连接AE，
∵AB＝AC＝12，
∴∠B＝∠C，
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴AD＝AE，
在△AEF中，AE﹣EF＜AF，
∴AD﹣EF＜AF，
∵F是AC边上的离点A较近的一个三等分点，
∴AF＝4，
∴AD﹣EF＜4，
故答案为：＜．
17．（2分）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面结论：①∠APO＝∠ACO；②∠APO+∠PCB＝90°；③PC＝PO；④AO+AP＝AC；其中正确的有 ①②③④ ．（填上所有正确结论的序号）
【分析】连接BO，由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出∠APO＝∠ACO，∠APO+∠DCO＝30°，由三角形的内角和定理，角的和差求出∠POC＝60°，再由等边三角的判定证明△OPC是等边三角形，得出PC＝PO，∠PCO＝60°，推出∠APO+∠PCB＝90°，由角的和差，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差和等量代换求出AO+AP＝AC，即可得出结果．
【解答】解：连接BO，如图1所示：
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BO＝CO，
∴∠OBC＝∠OCB，
又∵OP＝OC，
∴OP＝OB，
∴∠OBP＝∠OPB，
又∵在等腰△ABC中∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠OBC+∠OBP＝∠OCB+∠ACO，
∴∠OBP＝∠ACO，
∴∠APO＝∠ACO，故①正确；
又∵∠ABC＝∠PBO+∠CBO＝30°，
∴∠APO+∠DCO＝30°，
∵∠PBC+∠BPC+∠BCP＝180°，∠PBC＝30°，
∴∠BPC+∠BCP＝150°，
又∵∠BPC＝∠APO+∠CPO，
∠BCP＝∠BCO+∠PCO，
∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
又∵∠POC+∠OPC+∠OCP＝180°，
∴∠POC＝60°，
又∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形，
∴PC＝PO，∠PCO＝60°，故③正确；
∴∠APO+∠DCO+∠PCO＝30°+60°，
即：∠APO+∠PCB＝90°，故②正确；
在线段AC上截取AE＝AP，连接PE，如图2所示：
∵∠BAC+∠CAP＝180°，∠BAC＝120°，
∴∠CAP＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴AP＝EP，
又∵△OPC是等边三角形，
∴OP＝CP，
又∵∠APE＝∠APO+∠OPE＝60°，
∠CPO＝∠CPE+∠OPE＝60°，
∴∠APO＝∠EPC，
在△APO和△EPC中，，
∴△APO≌△EPC（SAS），
∴AO＝EC，
又∵AC＝AE+EC，AE＝AP，
∴AO+AP＝AC，故④正确；
故答案为：①②③④．
18．（2分）如图，A，B都在CD的上方，AC＝2，BD＝8，CD＝8，E为CD的中点，若∠AEB＝120°，则AB的最大值为 14 ．
【分析】如图，作点A关于AE的对称点A′，点D关于BE的对称点D′，连接CA'、EA'、ED'、C'D'、D'B，证明△C′ED′为等边三角形，即可解决问题．
【解答】解：如图，作点A关于AE的对称点A′，点D关于BE的对称点D′，连接CA'、EA'、ED'、C'D'、D'B，
∵∠AEB＝120°，
∴∠AEC+∠DEB＝60°，
∴∠CEC′+∠DED′＝60°，
∴∠C′ED′＝60°，
∵EC′＝ED′，
∴△C′ED′为等边三角形
∵AB≤AC′+C′D′+D′B＝CA+CE+BD＝2+4+8＝14，
∴AB的最大值为14，
答案为：14．
三、解答题（本大题共8小题，共64分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
19．（9分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1（其中A1，B1，C1分别是A，B，C的对应点，不写画法）；
（2）请直接写出A1，B1，C1三点的坐标；
（3）请在直线l上找一点P，使得PA+PB最小．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据所作图形即可得出三个顶点的坐标；
（3）作点A关于直线l的对称点A′，再连接A′B，与直线l的交点即为所求．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）A1（﹣2，﹣3），B1（﹣3，﹣1），C1（1，2）．
（3）如图所示，点P即为所求．
20．（8分）计算：
（1）（x3）2•x2﹣（﹣x）9÷x；
（2）（x+1）（4x﹣2）﹣4（x+1）2．
【分析】（1）先计算幂的乘方，然后算乘除，最后算减法；
（2）先根据完全平方公式计算乘方，多项式乘多项式，单项式乘多项式的运算法则计算乘法，最后算加减．
【解答】解：（1）原式＝x6•x2+x9÷x
＝x8+x8
＝2x8；
（2）原式＝4x2﹣2x+4x﹣2﹣4（x2+2x+1）
＝4x2﹣2x+4x﹣2﹣4x2﹣8x﹣4
＝﹣6x﹣6．
21．（6分）先化简，再求值：
（2ab3﹣4a2b2）÷2ab+（2a+b）（2a﹣b），其中a＝2，b＝1．
【分析】原式先算乘除，然后再算加减，最后代入求值．
【解答】解：原式＝b2﹣2ab+4a2﹣b2
＝4a2﹣2ab，
当a＝2，b＝1时，
原式＝4×22﹣2×2×1
＝16﹣4
＝12．
22．（8分）如图，已知点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若点D在线段AB的垂直平分线上，BD＝DE，求∠B的度数．
【分析】（1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF＝CF，DF＝EF，相减后即可得到正确的结论．
（2）证明DA＝DE＝AE，得出△ADE是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠ADE＝60°，由三角形外角的性质则可得出答案．
【解答】（1）证明：如图，过点A作AF⊥BC于F．
∵AB＝AC，AD＝AE．
∴BF＝CF，DF＝EF，
∴BD＝CE．
（2）解：∵点D在线段AB的垂直平分线上，
DA＝DB，
∵DB＝DE，
∴DA＝DE，
∵AD＝EA，
∴DA＝DE＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
∵∠ADE是△ADB的外角，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD，
∵DA＝DB，
∴∠B＝∠BAD＝30°．
23．（7分）阅读理解：整体代换是一种重要的数学思想方法．
例如：计算2（2m+n）﹣5（2m+n）+（2m+n）时可将（2m+n）看成一个整体，合并同类项得﹣2（2m+n），再利用分配律去括号得﹣4m﹣2n．
（1）若已知2m+n＝2，请你利用整体思想求代数式1﹣6m﹣3n的值；
（2）一正方形边长为2m+n，将此正方形的边长增加1之后，其面积比原来正方形的面积大9，求2m+n的值．
【分析】（1）把2m+n看作一个整体，将1﹣6m﹣3n化简为1﹣3（2m+n），然后代入计算；
（2）将2m+n看成一个整体，将[（2m+n）+1]2﹣（2m+n）2＝9进行求解即可．
【解答】解：（1）∵1﹣6m﹣3n＝1﹣3（2m+n），
∴当2m+n＝2时，
原式＝1﹣3×2＝1﹣6＝﹣5，
∴代数式1﹣6m﹣3n的值为﹣5；
（2）由题意得，[（2m+n）+1]2﹣（2m+n）2＝9，
∴（2m+n）2+2（2m+n）+1﹣（2m+n）2＝9，
解得：2m+n＝4，
∴2m+n的值为4
24．（8分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（90°＜α＜180°）．
（1）AC边上的高 ＝ AB边上的高（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）如图2，若点D，E分别在边AC，AB上，且CE＝BD，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明：如果不相等，请说说理由；
（3）若点D在边AC上，点E在边BA的延长线上，且CE＝BD，当α＝120°时，请直接写出线段AE，AD，AB之间的数量关系．
【分析】（1）设AC边上的高为h1，AB边上的高为h2，利用面积法证明即可；
（2）结论：AE＝AD．如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点B作BN⊥CA交CA的延长线于N．证明Rt△CME≌Rt△BND（HL），可得结论；
（3）如图（3）中，结论：AE﹣AD＝AB．证明AT＝AC•cos（180°﹣120°）＝AC，可得结论．
【解答】解：（1）设AC边上的高为h1，AB边上的高为h2，
∵S△ABC＝•AC•h1＝•AB•h2，AB＝AC，
∴h1＝h2，
故答案为：＝；
（2）结论：AE＝AD．
理由：如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点B作BN⊥CA交CA的延长线于N．
∵∠M＝∠N＝90°，∠CAM＝∠BAN，CA＝BA，
∴△CAM≌△BAN（AAS），
∴CM＝BN，AM＝AN，
∵∠M＝∠N＝90°，CE＝BD，CM＝NM，
∴Rt△CME≌Rt△BND（HL），
∴EM＝DN，
∵AM＝AN，
∴AE＝AD．
②如图（3）中，结论：AE﹣AD＝AB．
理由：在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．
∵CE′＝BD，CE＝BD，
∴CE＝CE′，
∵CT⊥EE′，
∴ET＝TE′，
∵AT＝AC•cos（180°﹣120°）＝AC，
∵AB＝AC，
∴AE﹣AD＝2AT＝AB．
25．（8分）定义：若am＝b，则Lab＝m（a＞0）．例如23＝8，则L28＝3．
（1）运用以上定义，计算L525﹣L22；
（2）如果L23＝x，L4（）＝y，求x+2y的值．
【分析】（1）由定义和幂的运算可得，L525＝2，L22＝1，进行求解即可；
（2）由定义可得2x＝3，4y＝22y＝，所以2x×4y＝2x×22y＝2x+2y＝3×＝8＝23，可求得结果为3．
【解答】解：∵52＝25，21＝2，
∴L525＝2，L22＝1，
∴L525﹣L22＝2﹣1＝1；
（2）由定义可得2x＝3，4y＝22y＝，
∴2x×4y＝2x×22y＝2x+2y＝3×＝8＝23，
∴x+2y的值是3．
26．（10分）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D，B，C在同一条直线上，AH⊥BC于点H．
①求证：AH＝BC；
②求∠DCE的度数．
（2）在△MNQ中，MN＝MQ，∠NMQ＝90°，在平面内有一点P，满足PQ＝3，PN＝7，∠NPQ＝90°，请直接写出点M到NP的距离．
【分析】（1）①由“AAS”可证△ABH≌△CAH，可得结论；
②由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得∠ABD＝∠ACE，即可求解；
（2）分两种情况讨论，由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可求出答案．
【解答】（1）①证明：∵AH⊥BC，∠BAC＝90°，
∴∠AHC＝90°＝∠BAC，
∴∠BAH+∠CAH＝90°，∠BAH+∠B＝90°，
∴∠CAH＝∠B，
在△ABH和△CAH中，
，
∴△ABH≌△CAH（AAS），
∴BH＝AH，AH＝CH，
∴AH＝BC．
②解：∵∠DAB+∠BAE＝90°，∠EAC+∠BAE＝90°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD＝135°，
∴∠DCE＝90°；
（2）如图1，过点M作MH⊥NP于点H，连接MP，作∠PMD＝90°，交NP于点D，
∴∠NMQ＝∠DMP＝90°，
∴∠NMD＝∠QMP，
∵∠NDM＝∠MPQ＝90°+∠MPD，
∴△MPQ≌△MDN（AAS），
∴ND＝QP＝3，
∴DP＝NP﹣ND＝7﹣3＝4，
∵MH⊥DP，
∴MH＝DP＝2；
如图2，过点M作MH⊥NP于点H，作∠PMD＝90°，交PN的延长线于点D，
∴∠NMQ＝∠DMP＝90°，
∴∠NMD＝∠QMP，
∵∠NMQ＝90°，∠NPQ＝90°，
∴∠MQP+∠MNP＝180°，
∴∠MQP＝∠MND，
∵MN＝MQ，
∴△MPQ≌△MDN（AAS），
∴ND＝QP＝3，
∴DP＝NP+ND＝7+3＝10．
∵MH⊥DP，
∴MH＝DP＝5．
综上所述：点M到NP的距离为：2或5．
2021-2022学年江苏省南通市八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）下列四个图形中，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣2）2＝﹣4 B．a2+a3＝a5 C．（3a2）2＝6a4 D．x6÷x2＝x4
3．（2分）若等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．80° B．50° C．80°或50° D．80°或20°
4．（2分）已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，则∠E的度数，DE的长分别为（ ）
A．30°，3 B．60°，3 C．60°，6 D．30°，6
5．（2分）若（x2﹣mx+6）（3x﹣2）的展开式中不含x的二次项，则m的值是（ ）
A．0 B． C．﹣ D．
6．（2分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
7．（2分）若a＝20210，b＝2020×2022﹣20212，c＝（）2020×（）2021，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
8．（2分）如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别AB、AC是上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分的周长为（ ）cm
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2分）如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝a，EF＝a，BF＝b，则AC的长为（ ）
A．a+b B．2b C．1.5b D．b
10．（2分）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪》所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释（a+b）”展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
（a+b）0……1
（a+b）1……11
（a+b）2……121
（a+b）3……133l
（a+b）4……14641
（a+b）5……15101051
如：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
利用上面的规律计算1015﹣5×1014+10×1013﹣10×1012+5×101﹣1的值为（ ）
A．1065 B．1015 C．1010 D．955
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应的位置上.
11．（2分）点（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是 ．
12．（2分）若a﹣b＝8，ab＝﹣15，那么a2+b2的值为 ．
13．（2分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，BE＝2，则DE的长是 ．
14．（2分）已知x，y为正整数且y＝5x，则9x+y÷27y﹣x＝ ．
15．（2分）如图，在△ABC中，AC＝8cm，ED垂直平分AB，如果△EBC的周长是14cm，那么BC的长度为 cm．
16．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BD＝CE，F是AC边上的离点A较近的一个三等分点，则AD﹣EF的值 4（填“＞”“＝”或“＜”）．
17．（2分）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面结论：①∠APO＝∠ACO；②∠APO+∠PCB＝90°；③PC＝PO；④AO+AP＝AC；其中正确的有 ．（填上所有正确结论的序号）
18．（2分）如图，A，B都在CD的上方，AC＝2，BD＝8，CD＝8，E为CD的中点，若∠AEB＝120°，则AB的最大值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共64分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
19．（9分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1（其中A1，B1，C1分别是A，B，C的对应点，不写画法）；
（2）请直接写出A1，B1，C1三点的坐标；
（3）请在直线l上找一点P，使得PA+PB最小．
20．（8分）计算：
（1）（x3）2•x2﹣（﹣x）9÷x；
（2）（x+1）（4x﹣2）﹣4（x+1）2．
21．（6分）先化简，再求值：
（2ab3﹣4a2b2）÷2ab+（2a+b）（2a﹣b），其中a＝2，b＝1．
22．（8分）如图，已知点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若点D在线段AB的垂直平分线上，BD＝DE，求∠B的度数．
23．（7分）阅读理解：整体代换是一种重要的数学思想方法．
例如：计算2（2m+n）﹣5（2m+n）+（2m+n）时可将（2m+n）看成一个整体，合并同类项得﹣2（2m+n），再利用分配律去括号得﹣4m﹣2n．
（1）若已知2m+n＝2，请你利用整体思想求代数式1﹣6m﹣3n的值；
（2）一正方形边长为2m+n，将此正方形的边长增加1之后，其面积比原来正方形的面积大9，求2m+n的值．
24．（8分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（90°＜α＜180°）．
（1）AC边上的高 AB边上的高（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）如图2，若点D，E分别在边AC，AB上，且CE＝BD，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明：如果不相等，请说说理由；
（3）若点D在边AC上，点E在边BA的延长线上，且CE＝BD，当α＝120°时，请直接写出线段AE，AD，AB之间的数量关系．
25．（8分）定义：若am＝b，则Lab＝m（a＞0）．例如23＝8，则L28＝3．
（1）运用以上定义，计算L525﹣L22；
（2）如果L23＝x，L4（）＝y，求x+2y的值．
26．（10分）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D，B，C在同一条直线上，AH⊥BC于点H．
①求证：AH＝BC；
②求∠DCE的度数．
（2）在△MNQ中，MN＝MQ，∠NMQ＝90°，在平面内有一点P，满足PQ＝3，PN＝7，∠NPQ＝90°，请直接写出点M到NP的距离．
2021-2022学年江苏省南通市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）下列四个图形中，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：选项A、C、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：B．
2．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣2）2＝﹣4 B．a2+a3＝a5 C．（3a2）2＝6a4 D．x6÷x2＝x4
【分析】利用幂的乘方的法则，合并同类项的法则，积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、（﹣2）2＝4，故A不符合题意；
B、a2与a3不属于是同类项，不能合并，故B不符合题意；
C、（3a2）2＝9a4，故C不符合题意；
D、x6÷x2＝x4，故D符合题意；
故选：D．
3．（2分）若等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．80° B．50° C．80°或50° D．80°或20°
【分析】先分情况讨论：80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．
【解答】解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；
当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°．
故选：D．
4．（2分）已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，则∠E的度数，DE的长分别为（ ）
A．30°，3 B．60°，3 C．60°，6 D．30°，6
【分析】根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，
∴∠E＝∠B＝90°﹣30°＝60°，DE＝AB＝6，
故选：C．
5．（2分）若（x2﹣mx+6）（3x﹣2）的展开式中不含x的二次项，则m的值是（ ）
A．0 B． C．﹣ D．
【分析】根据多项式乘多项式和（x2﹣mx+6）（3x﹣2）的积中不含x的二次项，可以求得m的值，本题得以解决．
【解答】解：（x2﹣mx+6）（3x﹣2）＝3x3﹣（2+3m）x2+（2m+18）x﹣12，
∵（x2﹣mx+6）（3x﹣2）的积中不含x的二次项，
∴2+3m＝0，
解得m＝﹣．
故选：C．
6．（2分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
【分析】过D作DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DF＝DE＝2，根据S△ADB+S△ADC＝7和三角形面积公式求出即可．
【解答】解：如图，过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2，
∴DE＝DF＝2，
∵S△ABC＝7，
∴S△ADB+S△ADC＝7，
∴×AB×DE+×AC×DF＝7，
∴×4×2+×AC×2＝7，
解得：AC＝3．
故选：A．
7．（2分）若a＝20210，b＝2020×2022﹣20212，c＝（）2020×（）2021，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【分析】先利用零指数幂的运算法则计算a，利用平方差公式化简求出b，利用积的乘方的运算法则求出c，再利用有理数大小的比较方法，比较a、b、c得结论．
【解答】解：a＝20210＝1；
b＝2020×2022﹣20212
＝（2021﹣1）×（2021+1）﹣20212
＝20212﹣1﹣20212
＝﹣1；
c＝（﹣）2020×（）2021
＝（﹣×）2020×
＝；
∴b＜a＜c．
故选：B．
8．（2分）如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别AB、AC是上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分的周长为（ ）cm
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由题意得AE＝A′E，AD＝A′D，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长．
【解答】解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，
所以AD＝A′D，AE＝A′E．
则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E，
＝BC+BD+CE+AD+AE，
＝BC+AB+AC，
＝3cm．
故选：C．
9．（2分）如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝a，EF＝a，BF＝b，则AC的长为（ ）
A．a+b B．2b C．1.5b D．b
【分析】延长AD到点M，使DM＝AD，连接BM，证明△ADC≌△BDM（SAS），得出∠M＝∠CAD，BM＝AC，进而得出∠BMF＝∠BFM即可得出答案．
【解答】解：延长AD到点M，使DM＝AD，连接BM，
在△ADC和△BDM中，
，
∴△ADC≌△BDM（SAS），
∴∠M＝∠CAD，BM＝AC，
∵AE＝EF＝a，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠MFB＝∠AFE，
∴∠BMF＝∠BFM，
∴BM＝BF，
∴AC＝BF＝b．
故选：D．
10．（2分）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪》所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释（a+b）”展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
（a+b）0……1
（a+b）1……11
（a+b）2……121
（a+b）3……133l
（a+b）4……14641
（a+b）5……15101051
如：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
利用上面的规律计算1015﹣5×1014+10×1013﹣10×1012+5×101﹣1的值为（ ）
A．1065 B．1015 C．1010 D．955
【分析】根据“杨辉三角”可得，1015﹣5×1014+10×1013﹣10×1012+5×101﹣1＝1010．
【解答】解：由“杨辉三角”可得，1015﹣5×1014+10×1013﹣10×1012+5×101﹣1＝（101﹣1）5＝1005＝（102）5＝1010．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应的位置上.
11．（2分）点（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是 （﹣2，﹣3） ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．
【解答】解：点（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣3），
故答案为（﹣2，﹣3）．
12．（2分）若a﹣b＝8，ab＝﹣15，那么a2+b2的值为 34 ．
【分析】利用完全平方公式，把a2+b2化为（a﹣b）2+2ab求解即可．
【解答】解：∵a﹣b＝8，ab＝﹣15，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝64﹣30＝34．
故答案为：34．
13．（2分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，BE＝2，则DE的长是 2 ．
【分析】根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDE，等量代换得到∠DBE＝∠BDE，得到DE＝BE，于是得到结论．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE∥AB，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴∠DBE＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∵BE＝2，
∴DE＝2．
故答案为：2．
14．（2分）已知x，y为正整数且y＝5x，则9x+y÷27y﹣x＝ 1 ．
【分析】利用幂的乘方对所求的式子进行整理，再利用同底数幂的除法法则进行运算即可．
【解答】解：∵y＝5x，
∴9x+y÷27y﹣x
＝32x+2y÷33y﹣3x
＝32x+2y﹣3y+3x
＝35x﹣y
＝35x﹣5x
＝30
＝1．
故答案为：1．
15．（2分）如图，在△ABC中，AC＝8cm，ED垂直平分AB，如果△EBC的周长是14cm，那么BC的长度为 6 cm．
【分析】根据周长公式代入即可求出BC的长．
【解答】解：因为ED垂直平分AB，
所以AE＝BE
则△EBC的周长是BC+CE+EB＝BC+CE+EA＝BC+（CE+EA）＝BC+AC
又因为△EBC的周长是14cm，
所以BC+AC＝14，
即BC+8＝14
所以BC＝6cm，BC＝6cm．
16．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BD＝CE，F是AC边上的离点A较近的一个三等分点，则AD﹣EF的值 ＜ 4（填“＞”“＝”或“＜”）．
【分析】根据SAS证明△ADB和△AEC全等，进而利用三角形三边关系解答即可．
【解答】解：连接AE，
∵AB＝AC＝12，
∴∠B＝∠C，
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴AD＝AE，
在△AEF中，AE﹣EF＜AF，
∴AD﹣EF＜AF，
∵F是AC边上的离点A较近的一个三等分点，
∴AF＝4，
∴AD﹣EF＜4，
故答案为：＜．
17．（2分）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面结论：①∠APO＝∠ACO；②∠APO+∠PCB＝90°；③PC＝PO；④AO+AP＝AC；其中正确的有 ①②③④ ．（填上所有正确结论的序号）
【分析】连接BO，由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出∠APO＝∠ACO，∠APO+∠DCO＝30°，由三角形的内角和定理，角的和差求出∠POC＝60°，再由等边三角的判定证明△OPC是等边三角形，得出PC＝PO，∠PCO＝60°，推出∠APO+∠PCB＝90°，由角的和差，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差和等量代换求出AO+AP＝AC，即可得出结果．
【解答】解：连接BO，如图1所示：
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BO＝CO，
∴∠OBC＝∠OCB，
又∵OP＝OC，
∴OP＝OB，
∴∠OBP＝∠OPB，
又∵在等腰△ABC中∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠OBC+∠OBP＝∠OCB+∠ACO，
∴∠OBP＝∠ACO，
∴∠APO＝∠ACO，故①正确；
又∵∠ABC＝∠PBO+∠CBO＝30°，
∴∠APO+∠DCO＝30°，
∵∠PBC+∠BPC+∠BCP＝180°，∠PBC＝30°，
∴∠BPC+∠BCP＝150°，
又∵∠BPC＝∠APO+∠CPO，
∠BCP＝∠BCO+∠PCO，
∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
又∵∠POC+∠OPC+∠OCP＝180°，
∴∠POC＝60°，
又∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形，
∴PC＝PO，∠PCO＝60°，故③正确；
∴∠APO+∠DCO+∠PCO＝30°+60°，
即：∠APO+∠PCB＝90°，故②正确；
在线段AC上截取AE＝AP，连接PE，如图2所示：
∵∠BAC+∠CAP＝180°，∠BAC＝120°，
∴∠CAP＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴AP＝EP，
又∵△OPC是等边三角形，
∴OP＝CP，
又∵∠APE＝∠APO+∠OPE＝60°，
∠CPO＝∠CPE+∠OPE＝60°，
∴∠APO＝∠EPC，
在△APO和△EPC中，，
∴△APO≌△EPC（SAS），
∴AO＝EC，
又∵AC＝AE+EC，AE＝AP，
∴AO+AP＝AC，故④正确；
故答案为：①②③④．
18．（2分）如图，A，B都在CD的上方，AC＝2，BD＝8，CD＝8，E为CD的中点，若∠AEB＝120°，则AB的最大值为 14 ．
【分析】如图，作点A关于AE的对称点A′，点D关于BE的对称点D′，连接CA'、EA'、ED'、C'D'、D'B，证明△C′ED′为等边三角形，即可解决问题．
【解答】解：如图，作点A关于AE的对称点A′，点D关于BE的对称点D′，连接CA'、EA'、ED'、C'D'、D'B，
∵∠AEB＝120°，
∴∠AEC+∠DEB＝60°，
∴∠CEC′+∠DED′＝60°，
∴∠C′ED′＝60°，
∵EC′＝ED′，
∴△C′ED′为等边三角形
∵AB≤AC′+C′D′+D′B＝CA+CE+BD＝2+4+8＝14，
∴AB的最大值为14，
答案为：14．
三、解答题（本大题共8小题，共64分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
19．（9分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1（其中A1，B1，C1分别是A，B，C的对应点，不写画法）；
（2）请直接写出A1，B1，C1三点的坐标；
（3）请在直线l上找一点P，使得PA+PB最小．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据所作图形即可得出三个顶点的坐标；
（3）作点A关于直线l的对称点A′，再连接A′B，与直线l的交点即为所求．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）A1（﹣2，﹣3），B1（﹣3，﹣1），C1（1，2）．
（3）如图所示，点P即为所求．
20．（8分）计算：
（1）（x3）2•x2﹣（﹣x）9÷x；
（2）（x+1）（4x﹣2）﹣4（x+1）2．
【分析】（1）先计算幂的乘方，然后算乘除，最后算减法；
（2）先根据完全平方公式计算乘方，多项式乘多项式，单项式乘多项式的运算法则计算乘法，最后算加减．
【解答】解：（1）原式＝x6•x2+x9÷x
＝x8+x8
＝2x8；
（2）原式＝4x2﹣2x+4x﹣2﹣4（x2+2x+1）
＝4x2﹣2x+4x﹣2﹣4x2﹣8x﹣4
＝﹣6x﹣6．
21．（6分）先化简，再求值：
（2ab3﹣4a2b2）÷2ab+（2a+b）（2a﹣b），其中a＝2，b＝1．
【分析】原式先算乘除，然后再算加减，最后代入求值．
【解答】解：原式＝b2﹣2ab+4a2﹣b2
＝4a2﹣2ab，
当a＝2，b＝1时，
原式＝4×22﹣2×2×1
＝16﹣4
＝12．
22．（8分）如图，已知点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若点D在线段AB的垂直平分线上，BD＝DE，求∠B的度数．
【分析】（1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF＝CF，DF＝EF，相减后即可得到正确的结论．
（2）证明DA＝DE＝AE，得出△ADE是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠ADE＝60°，由三角形外角的性质则可得出答案．
【解答】（1）证明：如图，过点A作AF⊥BC于F．
∵AB＝AC，AD＝AE．
∴BF＝CF，DF＝EF，
∴BD＝CE．
（2）解：∵点D在线段AB的垂直平分线上，
DA＝DB，
∵DB＝DE，
∴DA＝DE，
∵AD＝EA，
∴DA＝DE＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
∵∠ADE是△ADB的外角，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD，
∵DA＝DB，
∴∠B＝∠BAD＝30°．
23．（7分）阅读理解：整体代换是一种重要的数学思想方法．
例如：计算2（2m+n）﹣5（2m+n）+（2m+n）时可将（2m+n）看成一个整体，合并同类项得﹣2（2m+n），再利用分配律去括号得﹣4m﹣2n．
（1）若已知2m+n＝2，请你利用整体思想求代数式1﹣6m﹣3n的值；
（2）一正方形边长为2m+n，将此正方形的边长增加1之后，其面积比原来正方形的面积大9，求2m+n的值．
【分析】（1）把2m+n看作一个整体，将1﹣6m﹣3n化简为1﹣3（2m+n），然后代入计算；
（2）将2m+n看成一个整体，将[（2m+n）+1]2﹣（2m+n）2＝9进行求解即可．
【解答】解：（1）∵1﹣6m﹣3n＝1﹣3（2m+n），
∴当2m+n＝2时，
原式＝1﹣3×2＝1﹣6＝﹣5，
∴代数式1﹣6m﹣3n的值为﹣5；
（2）由题意得，[（2m+n）+1]2﹣（2m+n）2＝9，
∴（2m+n）2+2（2m+n）+1﹣（2m+n）2＝9，
解得：2m+n＝4，
∴2m+n的值为4
24．（8分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（90°＜α＜180°）．
（1）AC边上的高 ＝ AB边上的高（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）如图2，若点D，E分别在边AC，AB上，且CE＝BD，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明：如果不相等，请说说理由；
（3）若点D在边AC上，点E在边BA的延长线上，且CE＝BD，当α＝120°时，请直接写出线段AE，AD，AB之间的数量关系．
【分析】（1）设AC边上的高为h1，AB边上的高为h2，利用面积法证明即可；
（2）结论：AE＝AD．如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点B作BN⊥CA交CA的延长线于N．证明Rt△CME≌Rt△BND（HL），可得结论；
（3）如图（3）中，结论：AE﹣AD＝AB．证明AT＝AC•cos（180°﹣120°）＝AC，可得结论．
【解答】解：（1）设AC边上的高为h1，AB边上的高为h2，
∵S△ABC＝•AC•h1＝•AB•h2，AB＝AC，
∴h1＝h2，
故答案为：＝；
（2）结论：AE＝AD．
理由：如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点B作BN⊥CA交CA的延长线于N．
∵∠M＝∠N＝90°，∠CAM＝∠BAN，CA＝BA，
∴△CAM≌△BAN（AAS），
∴CM＝BN，AM＝AN，
∵∠M＝∠N＝90°，CE＝BD，CM＝NM，
∴Rt△CME≌Rt△BND（HL），
∴EM＝DN，
∵AM＝AN，
∴AE＝AD．
②如图（3）中，结论：AE﹣AD＝AB．
理由：在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．
∵CE′＝BD，CE＝BD，
∴CE＝CE′，
∵CT⊥EE′，
∴ET＝TE′，
∵AT＝AC•cos（180°﹣120°）＝AC，
∵AB＝AC，
∴AE﹣AD＝2AT＝AB．
25．（8分）定义：若am＝b，则Lab＝m（a＞0）．例如23＝8，则L28＝3．
（1）运用以上定义，计算L525﹣L22；
（2）如果L23＝x，L4（）＝y，求x+2y的值．
【分析】（1）由定义和幂的运算可得，L525＝2，L22＝1，进行求解即可；
（2）由定义可得2x＝3，4y＝22y＝，所以2x×4y＝2x×22y＝2x+2y＝3×＝8＝23，可求得结果为3．
【解答】解：∵52＝25，21＝2，
∴L525＝2，L22＝1，
∴L525﹣L22＝2﹣1＝1；
（2）由定义可得2x＝3，4y＝22y＝，
∴2x×4y＝2x×22y＝2x+2y＝3×＝8＝23，
∴x+2y的值是3．
26．（10分）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D，B，C在同一条直线上，AH⊥BC于点H．
①求证：AH＝BC；
②求∠DCE的度数．
（2）在△MNQ中，MN＝MQ，∠NMQ＝90°，在平面内有一点P，满足PQ＝3，PN＝7，∠NPQ＝90°，请直接写出点M到NP的距离．
【分析】（1）①由“AAS”可证△ABH≌△CAH，可得结论；
②由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得∠ABD＝∠ACE，即可求解；
（2）分两种情况讨论，由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可求出答案．
【解答】（1）①证明：∵AH⊥BC，∠BAC＝90°，
∴∠AHC＝90°＝∠BAC，
∴∠BAH+∠CAH＝90°，∠BAH+∠B＝90°，
∴∠CAH＝∠B，
在△ABH和△CAH中，
，
∴△ABH≌△CAH（AAS），
∴BH＝AH，AH＝CH，
∴AH＝BC．
②解：∵∠DAB+∠BAE＝90°，∠EAC+∠BAE＝90°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD＝135°，
∴∠DCE＝90°；
（2）如图1，过点M作MH⊥NP于点H，连接MP，作∠PMD＝90°，交NP于点D，
∴∠NMQ＝∠DMP＝90°，
∴∠NMD＝∠QMP，
∵∠NDM＝∠MPQ＝90°+∠MPD，
∴△MPQ≌△MDN（AAS），
∴ND＝QP＝3，
∴DP＝NP﹣ND＝7﹣3＝4，
∵MH⊥DP，
∴MH＝DP＝2；
如图2，过点M作MH⊥NP于点H，作∠PMD＝90°，交PN的延长线于点D，
∴∠NMQ＝∠DMP＝90°，
∴∠NMD＝∠QMP，
∵∠NMQ＝90°，∠NPQ＝90°，
∴∠MQP+∠MNP＝180°，
∴∠MQP＝∠MND，
∵MN＝MQ，
∴△MPQ≌△MDN（AAS），
∴ND＝QP＝3，
∴DP＝NP+ND＝7+3＝10．
∵MH⊥DP，
∴MH＝DP＝5．
综上所述：点M到NP的距离为：2或5．
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