2020-2021学年1.2.2函数的表示法教案

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

复习回顾

整合知识

函数的表示法有三种：解析式、图象法、列表法；它们之间可相互转化，常见形式有：解析式图象法，解析式列表法.

师生合作总结上节课的基本知识及基本方法.

重新体会对于特殊函数可进行三种形式之间的互相转化.

师：分析实现不同形式的转化的意义.

复习回顾、整合知识

进入课题(求函数解析式)

例1  （1）已知f (x)是一次函数，且f [f (x)] = 4x – 1，求f (x)及f (2)；

（2）已知，求f (x)的解析式；

（3）已知f (x) = x (x≠0)，求f (x)的解析式；

（4）已知3f (x5) + f (–x5) = 4x，求f (x)的解析式.

例2  设f (x)是R上的函数，且满足f (0) = 1，并且对任意实数x，y，有f (x – y) = f (x) – y (2x – y + 1)，求f (x)的表达式.

例3  已知f (x)为二次函数，且f (x+1)+f (x–1) = 2x2–4x，

求f (x)的表达式.

小结：求解析式的基本方法：

（1）待定系数法

（2）换元法

（3）配方法

（4）函数方程法.

学习尝试练习求解，老师指导、点评. 师生合作归纳题型特点及适用方法.

例1解：（1）设f (x) = ax + b (a≠0).

则f [f (x)] = f (ax + b) = a (ax + b) + b = a2x + ab + b.

又f [f (x)] = 4x – 1，

∴a2x + ab + b = 4x – 1.

即

或

∴f (x) = 2x –，或f (x) = –2x + 1.

则，或f (2) = –3.

（2）解法一：∵

==

=，

∴f (x) =

==.

解法二：设t = 1+，则.

又，

∴

==，

∴.

（3）令x = a (a≠0)，则+ f (a) = a；

令x =(a≠0)，则

2 f (a) +.

联立上述两式得f (a) = .

∴f (x) =(x≠0).

（4）令x = a，或x = –a，分别可得

解之得f (a5) = 2a.

又令a5 = t，

∴，

∴f (t) = 2，

∴f (x) = 2.

例2解：法一：由f (0) = 1，f (x – y) = f (x) – y(2x+y+1).

设x=y，得f (0)= f (x)–x (2x–x+1).

∵f (0) = 1，∴f (x)–x (2x–x+1) = 1，

∴f (x) = x2 + x + 1.

法二：令x = 0，得

f (0–y) = f (0) – y (–y + 1)，

即f (–y) = 1 – y (–y + 1).

又令–y = x代入上式得

f (x) = 1– (–x) (x + 1) = 1 + x (x + 1) = x2 + x + 1.

即f (x) = x2 + x + 1.

例3解：设f (x)=ax2+bx+c (a≠0)，

则f (x+1) + f (x – 1) = a (x+1)2 + b (x + 1) + c + a (x – 1) + c + a (x – 1)2 + b (x – 1) + c = 2ax2 + 2bx + 2a + 2c = 2x2 – 4x.

∴

∴f (x) = x2 – 2x – 1.

掌握求函数解析式的基本类型及对应方法.

应用举例(函数应用问题)

例4 用长为l的铁丝变成下部为矩形，上部为半圆形的框架如图所示，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出其定义域.

例5  某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：

（1）5公里以内（含5公里），票价2元；

（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）.

如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.

我们把像例4这样的函数称为分段函数.即在函数的定义域内，对于自变量x的值的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫分段函数. 生活中，有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.

师生合作解析例3、例4.

师：反映实际问题的函数定义域怎样确定？

生：解析式有意义和实际问题自身条件确定.

例4解：矩形的长AB = 2x，宽为a，则有2x + 2a +x = l，

∴.

半圆的直径为2x，半径为x，所以

·2x

=，

由实际意义得0＜x＜.

即，定义域为

.

例5解：设票价为y，里程为x，由题意可知，自变量x的取值范围是(0, 20].

由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式：

根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图.

培养学生应用数学知识，解决实际问题的能力.

归纳总结

1．求函数解析式的方法：

换元法、配方法、待定系数法、赋值法.

2．求实际问题函数解析式，关键找具有因果关系的两个变量的联系式.

师生合作总结.

学生整理、小结，老师点评、归纳.

整合知识形成技能.

课后作业

1.2 第四课时习案

学生独立完成

巩固基础、

提高能力