初中数学冀教版八年级上册14.3 实数教案

17.5　实数的运算

〖教学目标〗

（－）知识目标

1．了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用.

2.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则，运算律在实数范围内正确计算.

3.正确运用公式

.

4.了解二次根式和最简二次根式的概念.

（二）能力目标

1．让学生根据现有的条件或式子找出它们的共性，进而发现规律，培养学生的钻研精神和创新能力.

2.能用类比的方法去解决问题，找规律，用旧知识去探索新知识.

（三）情感目标

通过探索规律的过程，培养学生学习的主动性，敢于探索，大胆猜想，和同学积极交流，增强学习数学的兴趣和信心。

时代在进步，科学在发展，只靠在学校积累的知识已远远不能适应时代的要求，因此在校学习期间应培养学生的能力，具备某种能力之后就能应付日新月异的新问题.其中类比的学习方法就是一种学习的能力，本节课旨在让学生通过在有理数范围内的法则，类比地学习在实数范围内的有关计算，重要的是培养

这种类比学习的能力，使得学生在以后的学习和工作中能轻松完成任务.

〖教学重点〗

1.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能在实数范围内正确进行运算.

2.发现规律：.并能用规律进行计算.

〖教学难点〗

1.类比的学习方法.  2.发现规律的过程.

〖教学过程〗

一、课前布置

自学：阅读课本P114~P115，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题（鼓励提问）.

二、师生互动

（一）二次根式的理解：形如()的式子叫做二次根式

说明：1.被开方数大于0；

2. ()具有非负数的特性.

3.性质：一般地是a的算术平方根，于是有

练习：

1.若有意义，则______

2. （06泸州中考）要使二次根式有意义，字母x的取值必须满足的条件是（   ）

A. x≥1   B. x≤1     C.  x>1    D. x<1

3.（06海淀）已知实数x，y满足，求代数式的值。

4.计算：（1）； （2）；

解：1.  

2. A

3. 解：依题意   解得

 当时， 

4.解：（1）；

（2）。

（二）一起交流课本P114的“做一做”

［师生共析］在有理数范围内，可以进行加、减、乘、除和乘方运算，运算后所得到的数仍然是有理数。把数从有理数扩充到实数以后，在实数范围内不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和零可以进行开平方和开立方运算，负数可以进行开立方运算。即：正数和零的平方根是实数，任何一个实数的立方根是实数。

关于有理数的运算律和运算性质，在进行实数运算时仍然成立。

1．理解积的算术平方根的性质，必须注意：

（1）被开方数的每一个因子或因式必须是非负数，没有这个条件，性质不成立.

（2）这个公式的作用是化简二次根式，如果被开方数中有的因式（或因子）能开得尽方，可以利用此公式及公式＝a（a≥0），将这些因式（或因子）开出来，因此化简二次根式时，一般先将被开方数进行因式分解或因子分解.

（3）积的算术平方根的性质对于当因子是三个或三个以上时仍然成立.

如：＝ ···（a≥0，b≥0，c≥0，d≥0）.

（4）积的算术平方根的性质反过来，就得到二次根式的乘法公式，即·＝（a≥0，b≥0），运用这个公式可以进行简单的二次根式的乘法运算.

2. 二次根式的性质：

＝· (a≥0，b≥0)，

＝(a≥0,b>0).

（三）利用性质化简

［师］利用你自学的知识，说一说什么样的二次根式需要化简

［生］被开方数中能分解因数.且有些因数能开出来.这时就需要对其进行化简.

［生］被开方数中含有分母，需要化简，化简后被开方数中没有了分母. 如：

［师］如果被开方数中含有分母，要把分子分母同时乘以某一个数，使得分母变成一个能开出来的数，然后把分母开出来，使被开方数中没有了分母.

（鼓励学生讲解教师提供的例题）

如：

巩固练习：

化简：(1)； (2)；(3)；(4)；(5)；(6).

（四）最简二次根式

［师生共析］最简二次根式所满足的条件：

条件一，即为被开方数不含分母；条件二，即为被开方数的每一个因子或因式的指数都小于根指数.

要判断一个根式是否为最简二次根式，两个条件缺一不可

（五）引导学生小结：

1．化二次根式为最简二次根式的方法：

（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化化简.

（2）如果被开方数是整数或整式，先将它分解因子或因式，然后把能开得尽方的因子或因式开出来，从而将式子化简.

2. 二次根式的化简应注意以下问题：

（1）被开方数含有带分数，通常化成假分数.

（2）被开方数是和、差的形式，应把它分解因式，化成积的形式.

（3）根号内的分子或分母移到根号外时，应保留其对应的位置（即原来是分母的移到根号外后还是分母）．

（4）在整个化简过程中应注意符号问题，特别是注意被开方数是非负数这个隐含条件.

练习：1  下列各式中哪些是最简二次根式?哪些不是?并说明理由.

(1) ；(2) ;(3) ;(4);  (5);(6)(x≤0)；(7)

本题考查最简二次根式的定义，解题思路是根据二次根式的定义逐个判断.

1.解  只有(3)、(5)、(6)是最简二次根式.

理由：

(1) 中的0.3不是整数，所以不是最简二次根式；

(2) 中的27x＝32·3x，因数含有能开得尽方的因数，所以不是最简二次根式.

(3) 的8a2b＝(2a)2·2b，因式含有能开得尽方的因数，所以不是最简二次根式；

(4) 中的a2+a4＝a2(1+a2)，因式含有能开得尽方的因数，所以不是最简二次根式；

总结  本题的易错点是误认为,不是最简二次根式，误认为是最简二次根式.

三、补充练习

作业：P115习题

〖巩固练习〗

1.  下列各式：，，，，，， (a<),中是二次根式的有                                                                                           .

2.  x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.

(1)；  (2)；  (3).

3.  计算下列各式：

(1)()2；  (2)；  (3)(2)2.

〖答案提示〗

1.分析：本题考查二次根式的定义，解题思路是根据二次根式的定义去判断.

解  ∵  ，，的根指数不是2，∴  它们不是二次根式.

∵  在中，被开方数-4<0，∴  不是二次根式.

∵  在中的被开方数2a-1有可能小于0，∴  不是二次根式.

∵  在中，被开方数4>0，∴  是二次根式.

∵  在＝中被开方数(a+1)2≥0，∴  是二次根式.

∵  在中被开方数a2+2>0,∴  是二次根式.

总结  本题的易错点是忽视二次根式中被开方数是非负数的隐含条件，注意这个隐含条件是本题的解题关键.

2.解  (1)2x+3≥0，即x≥-.

∴  当x≥-时，有意义.

(2)1-3x≥0，即x≤.

∴  当x≤时，有意义.

(3)∵  x不论取何实数，总有(x-5)2≥0，

∴  x为任意实数，有意义.

3.分析：(1)由()2＝a(a≥0)直接可得，(2)要注意应先计算，然后再求算术平方根，(3)根据积的乘方法则，这里2也要平方.

解  (1)()2＝15；

(2)＝＝；

(3)(2)2＝22×()2＝4x.

总结  本题的易错点是第(3)小题的2不平方，错成(2)2＝2x.