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冀教版八年级上册14.3 实数教学设计
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这是一份冀教版八年级上册14.3 实数教学设计，共21页。教案主要包含了创设情境，设疑引新，自主学习，自学反馈，巩固训练，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。
第14章 实数
《1平方根》教案
学习目标
（1）解平方根和算术平方根的概念，了解平方与开平方的关系。
（2）学会平方根、算术平方根的表示法和平方根、算术平方根，并运用以上知识解决实际问题。
（3）学习从特殊到一般的数学思想方法，培养学生从实践到理论，从具体到抽象的辨证唯物主义观点。
教学重点和难点
1. 重点： 平方根的概念。
2.难点：平方根的概念和平方根的表示方法较为抽象，是本节课的难点。
教学过程
一、创设情境，设疑引新
（媒体展示）做一做 ：同学们，你能将手中两个相同的小正方形，剪一剪，拼一拼，拼成一个大正方形吗？
如果小正方形的边长是1，那大正方形的边长是多少呢？
（设疑之后，引导学生解决这个问题的本质，即求平方等于2的数是什么？）
随后，设计以下练习
（1）张正方形桌面的边长为1.2m，面积是多少？
（2）张正方形桌面的面积为1.44m2，边长是多少m？
第二小题即求一个数的平方等于1.44，这个数是多少？有了以上的铺垫，解决这一问题对于学生来说已是轻而易举，即轻松地引入课题）
（数学是人们对客观世界的定性把握和刻画，逐渐抽象、概括，形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。义务教育阶段的数学课程，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。）
二、自主学习、合作探究
1 概念引入
由具体问题开始讲解：∵（±1.2）2=1.44
∴平方得1.44的数有两个是+1.2，
又边长不为负，因此为1.2m
于是说：∵（±1.2）2=1.44 ∴ ±1.2叫做1.44的平方根
∵ （±2）2=4 ∴±2叫做4的平方根
∵ x² = a ∴ x叫做a的平方根
由学生在总结讨论中下定义，教师板书定义 （略）
（这样由具体到抽象，学生易于接受）
三、自学反馈
1.如图，在左图和右图中的“？”表示的数
x x²
-8
8
？
？
？
？
？
？
？
？
？
？
121
0．36
0
在求？的过程中，引导学生明确，左边的数是右边对应的数的平方根，并及时提问“有没有平方得负数的数？为什么？
2.平方根的性质和表示
学生通过讨论、交流得出平方根的性质：（展示）一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
四、巩固训练
1.下列各数是否有平方根，请说明理由
① （—3）2 ② 0 2 ③ —0.01
（2）下列说法对不对？为什么？
①4有一个平方根 ②只有正数有平方根
③任何数都有平方根 ④若 a≥0，a有两个平方根，它们互为相反数
通过引导、交流、提出平方根的表示法、读法以及开平方的概念，然后设计以下练习巩固
例1 求下列各数的平方根
（1）9 （2） （3）0.36 （4）（5）
（注明：（1）带分数作被开方数应化成假分数 （2）不能出现
2. 课本练习 p69 1 2
3.算术平方根的概念与表示、读法
4.课本练习 p69 3
五、课堂小结：
本节课你学习了哪些知识？在探索知识的过程中，你用了哪些方法？对你今后的学习有什么帮助？
①知识方面：这节课我们学习了平方根、算术平方根的概念、表示方法、求法及平方根性质
②思维方法：平方运算和开平方运算互为逆运算，可以互相检验
③探究策略：由特殊到一般，再由一般到特殊，是发现问题和解决问题的基本方法和途径。
六、布置作业
（ A组必做， B组分层要求）
《3.2实数》教学设计
学习目标
1.从感性上认可无理数的存在，并通过探索说出无理数的特征，弄清有理数与无理数的本质区别，了解并掌握无理数、实数的概念以及实数的分类，知道实数与数轴上的点的一一对应关系。
2.
让学生体验用有理数估计一个无理数的大致范围的过程，掌握 “逐次逼近法”这种对数进行分析、猜测、探索的方法
3.培养学生勇于发现真理的科学精神，渗透“数形结合”及分类的思想和对立统一、矛盾转化的辨证唯物主义观点
重点：无理数、实数的意义，在数轴上表示实数。
难点：无理数与有理数的本质区别，实数与数轴上的点的一一对应关系。
教学过程
一、 复习旧知，揭示矛盾，引入概念
1.回顾书本 3.1探究活动（图3.2），复习前面所学的有理数的分类， 既然在1与2之间就不是整数，也不是分数，因为如果是分数的话它的平方也应是分数，也就是说 不是有理数，但由此题可知确实是存在的，同时π也是如此。
出现矛盾以后，本课以为例，从开始，来探索无理数的特征，学习实数。
2.联系实际创设问题情境：
如果你是布料销售店的售货员，假设我要买剪米布，你将会给我剪多少比较合适？
学生能从上节的图3-2中估计在1与2之间
二、自主学习、合作探究
1.引导学生借助计算器进行合作学习：
（1） 根据上节课 1＜＜2，确定√2=1.…
（2） 确定小数点后第一位数
计算1.12 1.22 1.32 1.42 1.52
1.42 =1.96 ＜2 1.52 =2.25＞2 就不必再算下去了 很明显1.4＜＜1.5 。
也有学生可根据以往经验马上由1.42 =1.96 ＜2 1.52 =2.25＞2得到1.4＜＜1.5。
根据以上得：=1.4…
（3） 再求下一位 计算1.412 1.422 等
=1.41…
到此为止，能解决上面问题， 大约剪1.4 米 或1.41米就可以了。
2.继续探索特征，得到无理数概念
以上得到的1.4，1.41仅是的近似值，究竟是多少？在解决此问题后， 又出现了新疑点。这样激发学生沿着以上思路继续合作学习，结合书本p71的表格，探索特征。再问：通过以上的探索同学们有什么感受？体验到了什么？学生能在对有理数的已有认知的基础上，知道确实不同于前面所学的有理数，总结的特征：无限、不循环，得到无理数的概念。
（以上学生合作探索特征的过程，让学生体验无理数是怎样一个数，同时掌握求无理数近似的方法。）
三、自学反馈
1.举例说出无理数，巩固对无理数的理解
课本p73 课内练习2 掌握用有理数逐步逼近无理数，从而求出无理数近似值的方法
叙述数史，剖析概念，扩展数集
2. 讲述故事，介绍无理数的来历
师问：当你们看到“有理数”与“无理数”这两个词时，你们的第一感觉是怎么理解的？ 有生会答：“有道理的数”与“无道理的数”。
师：确实会有我们这种想法，这不，为此，它们还发动了战争呢？（屏幕显示故事，学生讲述）
（教师简单说明无理数的来历，培养学生勇于发现真理的科学精神）
问：听了故事后你们有什么看法，你认为他们根本的区别在哪里？（学生讨论）
教师小结：“无理数”和“有理数”仅是名称而已，据说是清朝末年从日本引进时，翻译的讹误，因此不能从词义上理解，它们根本的区别，就是凡是有理数，都可以化成两个整数之比（可看成一个分数），而无理数，无论如何也不能化成两个整数之比（不能化为分数），从而突破本课第一个难点。
3.实数的概念： 有理数和无理数统称为实数
（通过故事不仅增加趣味性，更重要的在于强化无理数与有理数的本质区别，得实数的意义。而且介绍数学史，对揭示数学知识的来源和应用，创造一种探索与研究的气氛，激发学生对数学的兴趣等都起到重要作用）
4.无理数的相反数、绝对值
由前面有理数的相反数、绝对值的意义，类似得到无理数的相反数、绝对值的意义。
四、巩固训练
1. 练习：在 1/7; －π；；0；0.3 ； ；－；0.3131131113…（两个3之间依次多一个1）中
①属于有理数的有：
属于无理数的有：
属于实数的有：
②说出以上各数的相反数、绝对值；
2.练习：（抢答）判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。
①无限小数都是无理数；
②无理数都是无限小数；
③带根号的数都是无理数；
④有理数都是实数，实数不都是有理数；
⑤实数都是无理数，无理数都是实数；
⑥实数的绝对值都是非负实数；
⑦有理数都可以表示成分数的形式。
（通过练习巩固实数概念，分析实数的分类，弄清带根号的数并不都是无理数，无理数指的是无限不循环小数，不能化为分数的数，这才是它的本质特征，明白数的范围扩大后相反数、绝对值的意义仍不变。）
3.类比迁移，大小比较，例题分析
例 把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”号连接）：
--1.4，， 3.3， π，--，1.5
（1）让学生阅读题目，讨论比较大小的方法，培养学生的自学能力和探索精神，学会类比迁移。比较学生的解题思路，利用数轴比较或利用法则比较的（一般无理数需取近似值），都予以鼓励，抓住一题多解，培养学生思维的发散性和流畅性，有利于学生整体素质提高。
(2)着重讲解在数轴上如何表示无理数，利用数轴进行大小比较
根据书本图3.2 画表示的点的方法：画边长为1的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
如； 尺规可作的无理数
π 尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示
五、课堂小结
1. 是人们最早认识的无理数之一，这节课我们 从谈起，谈到了什么？
（1）知识方面：
正有理数 （ 有限小数、无限循环小数 ）
有理数 { 零 } 可化为分数
实数{ 负有理数
正无理数 （无限不循环小数）
无理数 { }
负无理数 不能化为分数
实数与数轴上的点一一对应
（2）思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值；数形结合的数学思想
2.启发学生提出新的疑问，培养学生创造性思维
从谈起，我们还可以谈些什么？
例如： 其他无理数？
圆周率π的近似值？
由出发，可以造出哪些无理数？
无理数与有理数的和、差、积等一定是无理数吗？
无理数与无理数的和、差、积等一定是无理数吗？
等等一系列问题，有待于我们进一步探索、研究
六、布置作业
A组必做， B、C组选做
3．3立方根
学习目标
知识与技能：了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根，并能用立方根运算求某些数的立方根
教学思考：创设问题情境，学生进一步发展对数学知识的抽象概括力。
解决问题：通过学生的积极参与培养学生独立思考的能力，提高数学
表达和运算能力。
教学重点
本节重点是立方根的意义、性质。
教学难点
本节难点是立方根的求法，立方根与平方根的联系及区别。
教学过程
一、创设情境
电脑显示一个魔方
师：你们喜欢玩魔方吗？这是由8个同样大小的单位立方体组成的魔方，这8个小立方体可以重新排列，组成魔方表面的各种不同的美丽图案。现在要做一个体积为8cm3的立方体魔方，它的棱要取多少长？你是怎么知道的？
生：思考后回答。
师：体积为27 cm3和体积为1000 cm3的立方体的棱又是要取多少长呢？
生：思考、讨论后回答。
电脑演示：
设计意图：为概念引入作准备并渗透从个别到一般的规律。
二、自主学习、合作探究
师：让学生在平方根基础上试述立方根概念。
师（总结）：一般地，一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做a的三次方根），记做。如：，则2叫做8的立方根，即；，则是的立方根，即。其中a是被开方数，3是根指数，符号读做“三次根号”。
师：针对前面几个例子，由学生说出27和1000的立方根，并分别指明它们的被开方数和根指数。
生：举例再说明。
三、巩固训练
求下列各数的立方根：
（1）27； （2）； （3）； （4）； （5）0
解：（1）因为，所以27的立方根是3，即.
（2）因为，所以的立方根是，即.
（3）因为，所以的立方根是，即.
（4）因为，所以的立方根是，即.
（5）因为，所以0的立方根是0，即.
生：总结解题方法和在过程中需要注意的问题。
师：强调（1）求立方根用到立方运算。（2）负数的立方根注意符号。
四、自学反馈
电脑出示：
（1）一个正数有几个立方根？是正是负？为什么？
（2）是否任何负数都有立方根？如有，有几个？是正是负？
（3）0的立方根是什么？
生：小组讨论交流。
师：引导各小组进行举例、猜想。可提示学生联系上面的“练一练”思考这些问题。
师：（板书结论）每个数a都只有一个立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。任意数a的立方根可表示为“”，读做“三次根号a”
五、巩固训练
1.计算：（1） ； （2）
解：（1）
（2）
2.问题：表示a的立方根，那么等于什么？呢？
分析：应抓住立方根的定义去分析，如果，那么x就是a的立方根，即，所以。同样，根据定义，是a的三次方，所以的立方根就是a，即。
3.体验一刻
分别求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）； （4）
评析：鼓励学生利用“想一想”中公式：，直接进行计算。
4.开心乐园——抢答竞赛
规则：全班分成四大组，每组有个记分人，那组人先举手先发言，并要说明问题的原因，答对加1分，答错减一分，最终获胜一组给予鼓励。
电脑陆续放题：
1． 判断正误：（1）的立方根是
（2）负数不能开立方
（3）4的平方根是2
（4）的立方根是
（5）负数有一个平方根
（6）0的立方根是0
2． 口算： （1）1的立方根是＿＿＿
（2）的立方根是＿＿＿
（3）的立方根是＿＿＿
（4）＿＿＿
（5）＿＿＿
（6）＿＿＿
六、课堂小结
先由学生小结，再有教师归纳：
1． 符号中的根指数“3”不能省略。
2． 对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根。
3． 平方根和立方根的区别：
（1）正数有两个平方根，但只有一个立方根；
（2）负数没有平方根，但却有一个立方根。
4． 灵活运用公式：（1）；（2）；（3）
5． 立方与开立方也互为逆运算。我们也可以用立方运算求一个数的立方根，或检验一个数是不是另一个数的立方根。
七、布置作业
教材78页A组和B组。
3.4 用计算器进行数的开方
学习目标
知识与技能：掌握用计算器求平方根和立方根。
教学思考：用计算器探求数学规律，发展合理推理的能力。
解决问题：会根据实际问题用计算器求平方根和立方根。
教学重点和难点
本节重点是会用计算器进行开方运算。
本节难点是正确掌握计算器的输入方法，用计算器解决数学实际问题。
教学过程
教学
环节
教师引导
学生活动
设计意图
创
设
情 境
提
出
问
题
师：上课前先来放松一下，大家一起来欣赏一组美丽的图片。
（电脑放映4张世界著名的高楼大厦图：马来西亚的佩重纳斯双塔、美国世贸大厦、香港国际金融中心、上海金茂大厦）
师：站在这些高楼上肯定能看到周围旖旎的风光，你们想知道能看到多远的风景吗？
师：俗话说，登高望远。从理论上说，当人站在距地面千米高处时，能看到的最远距离约为千米。上海金茂大厦观光厅高340米，人在观光厅里最多能看多远（结果保留3个有效数字）？
欣赏图片：
创设情境，吸引学生注意力，引起学生兴趣。
引起学生求知欲
抛出“锚”，即提出问题，引起学生观察、思考。
（即书上例3）
数
学
活
动
（探索解析模型）
师：引导学生建立数学模型：
人站在千米高处能看到最远距离为千米，现在高度为340米，求最远距离
（结果保留3个有效数字）
小组交流，教师巡回指导。
师：各组派代表说明你们的讨论结果并说明原因。
师：如何用计算器计算？
多媒体上显示正确顺序：
0 ． 3 4 0 =
结果： 0.5830951
注：凡从计算器上得到的结果，我们约定统一使用等号。
师：保留3位有效数字的话，此题的最终答案为65.3千米。有几小组答案完全正确？来点掌声！
思考、观察
学生4人小组合作、交流，尝试着去解决问题。
并尝试着去探索用计算器求数的开方的用法。
学生自由发言，各抒己见
有些小组答案正确
有些小组答案错误
找出错误的原因
从现实生活中的具体实例中抽象出数学问题，建立数学模型。
学生在解决数学问题的同时也自主学会了如何用计算器进行数的开平方。
体验成功解决数学问题的喜悦或失败的情感。
概
括
师：我们用科学计算器进行数的开平方的按键顺序是：先按再按其里面的数字，最后按等号。
注：不同的按键顺序会导致不同的结果。
师：一起来练一下：
师：用计算器运算所得的结果，有时是准确值，如，有时是近似值，如14213562
注：不同的计算器显示结果的有效数字不一定相同。
边练边概括
对用计算器进行数的开方步骤及时概括，并提醒学生在用计算器时应注意的问题。
例1的（1）（2）小题
拓
展
师：既然我们会用计算器开平方，那么如何用计算器开立方？
师：大家一起来：
按键顺序：
9 =
结果： 2.080083823
在学生已学会用计算器进行数的开平方的基础上，再用同样的道理进行开立方，就容易多了。
例1的（3）小题。
巩
固
比一比：
师：各小组进行计算比赛。
课件出示例题：
班
试一试：
师：用计算器计算（结果保留4个有效数字）
（1） （2）
练一练：
书81页课内练习1、2、3
进行竞赛
（1）按键顺序：
4 ab/c 5 =结果： 0.894427191
（2）按键顺序：
1 ab/c
2 ab/c 7 =
结果： 1.087380373
书本上的“做一做”
书上的例2
应
用
多媒体放映：议一议：
1.（1）任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开方运算，对所得结果再进行开方运算……随着开方次数的增加，你发现了什么？
（2）改用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似的规律？
（若课堂时间不够，下面一题可当作业思考）
2.（1）用计算器求值：
，
，
（结果保留4个有效数字）
（2）你发现了什么规律？
阅读题目、思考。
学生独立完成后，小组交流所得结果。
（1）随着开方次数的增加，运算结果越来越接近1。
（2）仍有类似（1）中的规律。
这是一道蕴涵极限思想的数学问题，让学生动手去探索规律，目的是开拓有特殊数学需求的学生的数学思维，增加自主探究能力，教师不必作其他的拓展。
回
顾
小
结
布
置
作
业
谈一谈本节课你有何收获？
出示作业：
1、巩固题：课本第81页A组（一般程度学生，完成所需不超过20分）
2、提高题：课本第82页B组题，具有综合性。
回顾、思考、交流、补充。
自我测试、评价
课堂总结，不但要总结结论，而且还要强调过程，这里的总结，回顾过程，就让学生回忆这节课的学习历程和发现的一些规律或研究成果。
设计不同层次的作业有利于满足不同学生的发展需求。
3.5 实数的运算
学习目标：
1． 了解有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍适用。
2． 会进行简单的实数四则运算，进一步认识近似数与有效数学的概念。
3． 能用计算器进行近似计算，并按问题要求对结果取近似值。
教学重点
本节的教学重点是实数的运算。
教学难点
本节的教学难点是用计算器将实数按要求对结果取近似值。
教学准备：科学计算器
教学流程：
（一） 情境导入：
同学们，你们想飞出地球，遨游太空吗？这是长期以来人类的一种理想，可是地球的吸引力毕竟是太大了，飞机飞得再快也得回到地面，只有当物体速度达到一定值时，才能克服地球引力，围绕地球旋转，这个速度叫第一宇宙速度，计算公式是：（千米/秒），其中千米/秒2是重力加速度。R=6370千米。是地球半径。请你用计算器求出第一宇宙速度，看看有多大？
生：（千米/秒）。
师：可见计算器对实数的运算既快又准，那么本节课我们就学习实数的运算。
（二） 自主学习、合作探究
电脑显示：
（1） 由学生写出用字母表示有理数的五条运算律。
师：数从有理数扩展到实数后，有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用。
（2） 计算：＿＿ ； ＿＿ ； ＿＿
（3） 利用计算器计算：
＿＿＿ （精确到0.01） ＿＿＿ （保留3个有效数字）
＿＿＿ （精确到万分位） ＿＿＿ （精确到0.01）
＿＿＿ （保留2个有效数字）
生：（1） ；；
（2）；；；；
（4）计算：①； ②
（由学生板演）：① 原式=
② 原式=
通过以上的练一练，由学生归纳实数的运算法则：
实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果遇到有括号，则先进行括号里的运算。
（三） 巩固训练
例1．计算：① （精确到0.001）
② （结果保留4个有效数字）
生：先练习，再同桌交流计算结果。
师：写出解题的规范化：
① 按键顺序： 8 － 9 =
0.748343301
②
例2．计算： （精确到0.01）
解：原式=
=
==18.94427197
1. 计算：① （精确到0.01） ② （结果保留3个有效数字）
③ （精确到0.01）
生：板演上面的3个小问题。
师：及时纠正。
2． （结果保留3个有效数字）
生：两种解法：
解法Ⅰ： 解法 Ⅱ：
=13.22875656 =
=13.22875656
3.轻松时刻
①的绝对值是＿＿＿ ，＿＿＿＿的倒数是
② （）的值是 ＿＿＿，＿＿＿＿
③ 实数a、b满足 则a = ＿＿＿ ，b= ＿＿＿
4.请阅读下面解题过程：
已知：实数a、b满足，，且，试求的值。
解：
故
师：请仿照上面的解题过程，解答下面问题：
已知实数x 满足，且 ，试求的值？
（四）课堂小结
本节课同学们学到了哪些新知识？
（五）布置作业:
书本84页A、B、C组题目。
第三章 实数复习课
学习目标
1.使学生进一步理解一个数的平方根、算术平方根及立方根的意义；
2.理解无理数和实数的意义；
3.熟练地求出一个正数的平方根、算术平方根和实数的立方根；
4.会对实数分类以及进行实数的近似计算.
教学重点和难点
重点：平方根、算术平方根、实数的概念及其计算.
难点：算术平方根、实数的综合运算和代数与几何的综合运用.
教学过程设计
一、复习基本概念
1.什么叫一个数a的平方根，怎样表示?什么叫数a的算术平方根?怎样表示?其中a可以分别表示什么数?
2.什么叫一个数a的立方根?怎样表示?其中a可以表示什么数?
3.任何实数都有平方根吗?都有立方根吗?
4.什么叫无理数?什么叫实数?实数与数轴的点有什么关系?
答：1.如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，表示为±a数.的非负的平方根叫做算术平方根，表示为a，其中a≥0.
2.如果一人数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，表示为3a，其中a为任意实数.
3.正数和0有平方根，正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，任何实数都有一个立方根.
4.无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数统称为实数.实数与数轴上的点一一对应.
二、例题 例1 a为何值时，下列各式有意义?
1.例2中的有关运算实际是进行实数运算，有理数的运算律和运算性质，在实数范围内仍然成立.
2.无理数的运算，可以转化为用相应的(或题目指定)近似有限小数进行，有的题目可根据问题的要求取其近似值，转化成有理数进行运算.
例3 (1)如图，已知正方形ABCD的面积是4a2，E，F，G，H分别为正方形四条边的中点，依次连结E，F，G，H得到一个正方形.求这个正方形的边长(用带根号的数表示).
(2)当a=4时，正方形EFGH的边长是多少?(精确到0.01).
分析：求正方形EFGH的边长，首先应求出正方形ABCD的边长.由于正方形的面积等于它的一边的平方，所以它的一条边是面积的算术平方根.
三、课堂练习
1.判断下列说法是否正确?并说明理由.
(1)－1的立方根是－1. ( ) (2)－1的立方是－1. ( )
(3)－1的平方是1. ( ) (4)－1的平方根是－1. ( )
(5)－1是1的一个平方根. ( ) (6)无理数是开方开不尽的数. ( )
(7)9的平方根±3. ( ) (8)实数都有平方根. ( )
(9)实数都有立方根. ( ) (10))实数m的倒数是1m。 ( )
(11)3.1415926可以用分数表示. ( )
(12)有理数与数轴上的点一一对应. ( )
(13)a2的算术平方根是a. ( ) (14)若｜x｜=(y)2，则x=y. ( )
2.选择题：
(1)对实数进行分类，不正确的是( )
A.实数 有理数 无理数 B.实数有限小数 无限循环小数 无限不循环不数
C.实数 小数 分数 D.实数正实数 0 负实数
(2)121的平方根是( ) A.11 B.±1 C.11 D.±1
(3)下下列说法错误的是( ).
A.3是无理数 B.3是3的算术平方根 C.3的平方根等于1.732 D.3是实数
(4)下列判断中，错误的是( )
A.两个实数之间有无数个实数 B.两个有理数之间有无数个有理数
C.两个无理数之间有无数个无理数 D.两个整数之间有无数个整数
3.填空：
(1)25的平方根是____，36算术平方根是_____.
(2)－5的立方根是_____，－5是_____的立方根.
(3)若x=6 则x的平方根是_____ . (4)的平方根等于它的立方根.
四、小结
1.在解答有关被开方数是字母的式子是否有意义的问题，要根据所涉及的概念的意义去考虑，如例1中的(1)，(2)，(3)，(5)各式都表示算术平方根，因此被开方数必须是非负数，从这个意义去考虑使式子有意义的字母的取值范围.
2.在进行实数运算时，可根据各题的要求分别取无理数的近似值，转化成有理数进行计算.对于含绝对值的式子，应先根据实数的绝对值的意义，去掉绝对值的符号再进行计算，有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然成立.
3.在代数中解答几何题，是代数和几何的综合，是数和形的结合，在解答过程中一定要结合图形的几何性质，把论证和计算结合起来.
五、作业
1.判断下列说法是否正确，并说明现由.
(1)π=3.14； ( ) (2)无理数包括正无理数、负无理数和零； ( )
(3)无限小数是无理数； ( ) (4)25的平方根是±5； ( )
(5)实数与数轴的点一一对应；( )
2.填空：
(1)任何正数的两个平方根的和等于______； (2)无理数是_____小数；
(3)｜3.14－π｜= ______ ； (4)32的相反数是 ；
(5)若m2=9，则 m=______ ； (6)若a2=3，则a=_______ ；
3.解下列各题：
(1)分别求出下列各式的平方根和算术平方根：
64，0.25，5，(－3)2，(25)2，(－413)2.
(2)求出下列各数的立方根：
27，－0.125，9，(－6)3，(23)3，(－45)3
4.求下列各式中的x：
(1)x2=169; (2)121x2－25=0; (3)9x2=64;
(4)x2－1.69=0; (5)x3=64000; (6)x3=－0.125.
5.已知一个正方体的棱长是5cm，再做一个正方体，使它的体积是原正方体的体积的2倍，求所做的正方体的棱长.(精确到0.1cm)
6.球的体积公式是V=43πR3(R是球的半径).已知一个钢球的体积是200cm3，求它的半径.(π取3.14，结果保留3个有效数字).
第14章 实数
《1平方根》教案
学习目标
（1）解平方根和算术平方根的概念，了解平方与开平方的关系。
（2）学会平方根、算术平方根的表示法和平方根、算术平方根，并运用以上知识解决实际问题。
（3）学习从特殊到一般的数学思想方法，培养学生从实践到理论，从具体到抽象的辨证唯物主义观点。
教学重点和难点
1. 重点： 平方根的概念。
2.难点：平方根的概念和平方根的表示方法较为抽象，是本节课的难点。
教学过程
一、创设情境，设疑引新
（媒体展示）做一做 ：同学们，你能将手中两个相同的小正方形，剪一剪，拼一拼，拼成一个大正方形吗？
如果小正方形的边长是1，那大正方形的边长是多少呢？
（设疑之后，引导学生解决这个问题的本质，即求平方等于2的数是什么？）
随后，设计以下练习
（1）张正方形桌面的边长为1.2m，面积是多少？
（2）张正方形桌面的面积为1.44m2，边长是多少m？
第二小题即求一个数的平方等于1.44，这个数是多少？有了以上的铺垫，解决这一问题对于学生来说已是轻而易举，即轻松地引入课题）
（数学是人们对客观世界的定性把握和刻画，逐渐抽象、概括，形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。义务教育阶段的数学课程，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。）
二、自主学习、合作探究
1 概念引入
由具体问题开始讲解：∵（±1.2）2=1.44
∴平方得1.44的数有两个是+1.2，
又边长不为负，因此为1.2m
于是说：∵（±1.2）2=1.44 ∴ ±1.2叫做1.44的平方根
∵ （±2）2=4 ∴±2叫做4的平方根
∵ x² = a ∴ x叫做a的平方根
由学生在总结讨论中下定义，教师板书定义 （略）
（这样由具体到抽象，学生易于接受）
三、自学反馈
1.如图，在左图和右图中的“？”表示的数
x x²
-8
8
？
？
？
？
？
？
？
？
？
？
121
0．36
0
在求？的过程中，引导学生明确，左边的数是右边对应的数的平方根，并及时提问“有没有平方得负数的数？为什么？
2.平方根的性质和表示
学生通过讨论、交流得出平方根的性质：（展示）一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
四、巩固训练
1.下列各数是否有平方根，请说明理由
① （—3）2 ② 0 2 ③ —0.01
（2）下列说法对不对？为什么？
①4有一个平方根 ②只有正数有平方根
③任何数都有平方根 ④若 a≥0，a有两个平方根，它们互为相反数
通过引导、交流、提出平方根的表示法、读法以及开平方的概念，然后设计以下练习巩固
例1 求下列各数的平方根
（1）9 （2） （3）0.36 （4）（5）
（注明：（1）带分数作被开方数应化成假分数 （2）不能出现
2. 课本练习 p69 1 2
3.算术平方根的概念与表示、读法
4.课本练习 p69 3
五、课堂小结：
本节课你学习了哪些知识？在探索知识的过程中，你用了哪些方法？对你今后的学习有什么帮助？
①知识方面：这节课我们学习了平方根、算术平方根的概念、表示方法、求法及平方根性质
②思维方法：平方运算和开平方运算互为逆运算，可以互相检验
③探究策略：由特殊到一般，再由一般到特殊，是发现问题和解决问题的基本方法和途径。
六、布置作业
（ A组必做， B组分层要求）
《3.2实数》教学设计
学习目标
1.从感性上认可无理数的存在，并通过探索说出无理数的特征，弄清有理数与无理数的本质区别，了解并掌握无理数、实数的概念以及实数的分类，知道实数与数轴上的点的一一对应关系。
2.
让学生体验用有理数估计一个无理数的大致范围的过程，掌握 “逐次逼近法”这种对数进行分析、猜测、探索的方法
3.培养学生勇于发现真理的科学精神，渗透“数形结合”及分类的思想和对立统一、矛盾转化的辨证唯物主义观点
重点：无理数、实数的意义，在数轴上表示实数。
难点：无理数与有理数的本质区别，实数与数轴上的点的一一对应关系。
教学过程
一、 复习旧知，揭示矛盾，引入概念
1.回顾书本 3.1探究活动（图3.2），复习前面所学的有理数的分类， 既然在1与2之间就不是整数，也不是分数，因为如果是分数的话它的平方也应是分数，也就是说 不是有理数，但由此题可知确实是存在的，同时π也是如此。
出现矛盾以后，本课以为例，从开始，来探索无理数的特征，学习实数。
2.联系实际创设问题情境：
如果你是布料销售店的售货员，假设我要买剪米布，你将会给我剪多少比较合适？
学生能从上节的图3-2中估计在1与2之间
二、自主学习、合作探究
1.引导学生借助计算器进行合作学习：
（1） 根据上节课 1＜＜2，确定√2=1.…
（2） 确定小数点后第一位数
计算1.12 1.22 1.32 1.42 1.52
1.42 =1.96 ＜2 1.52 =2.25＞2 就不必再算下去了 很明显1.4＜＜1.5 。
也有学生可根据以往经验马上由1.42 =1.96 ＜2 1.52 =2.25＞2得到1.4＜＜1.5。
根据以上得：=1.4…
（3） 再求下一位 计算1.412 1.422 等
=1.41…
到此为止，能解决上面问题， 大约剪1.4 米 或1.41米就可以了。
2.继续探索特征，得到无理数概念
以上得到的1.4，1.41仅是的近似值，究竟是多少？在解决此问题后， 又出现了新疑点。这样激发学生沿着以上思路继续合作学习，结合书本p71的表格，探索特征。再问：通过以上的探索同学们有什么感受？体验到了什么？学生能在对有理数的已有认知的基础上，知道确实不同于前面所学的有理数，总结的特征：无限、不循环，得到无理数的概念。
（以上学生合作探索特征的过程，让学生体验无理数是怎样一个数，同时掌握求无理数近似的方法。）
三、自学反馈
1.举例说出无理数，巩固对无理数的理解
课本p73 课内练习2 掌握用有理数逐步逼近无理数，从而求出无理数近似值的方法
叙述数史，剖析概念，扩展数集
2. 讲述故事，介绍无理数的来历
师问：当你们看到“有理数”与“无理数”这两个词时，你们的第一感觉是怎么理解的？ 有生会答：“有道理的数”与“无道理的数”。
师：确实会有我们这种想法，这不，为此，它们还发动了战争呢？（屏幕显示故事，学生讲述）
（教师简单说明无理数的来历，培养学生勇于发现真理的科学精神）
问：听了故事后你们有什么看法，你认为他们根本的区别在哪里？（学生讨论）
教师小结：“无理数”和“有理数”仅是名称而已，据说是清朝末年从日本引进时，翻译的讹误，因此不能从词义上理解，它们根本的区别，就是凡是有理数，都可以化成两个整数之比（可看成一个分数），而无理数，无论如何也不能化成两个整数之比（不能化为分数），从而突破本课第一个难点。
3.实数的概念： 有理数和无理数统称为实数
（通过故事不仅增加趣味性，更重要的在于强化无理数与有理数的本质区别，得实数的意义。而且介绍数学史，对揭示数学知识的来源和应用，创造一种探索与研究的气氛，激发学生对数学的兴趣等都起到重要作用）
4.无理数的相反数、绝对值
由前面有理数的相反数、绝对值的意义，类似得到无理数的相反数、绝对值的意义。
四、巩固训练
1. 练习：在 1/7; －π；；0；0.3 ； ；－；0.3131131113…（两个3之间依次多一个1）中
①属于有理数的有：
属于无理数的有：
属于实数的有：
②说出以上各数的相反数、绝对值；
2.练习：（抢答）判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。
①无限小数都是无理数；
②无理数都是无限小数；
③带根号的数都是无理数；
④有理数都是实数，实数不都是有理数；
⑤实数都是无理数，无理数都是实数；
⑥实数的绝对值都是非负实数；
⑦有理数都可以表示成分数的形式。
（通过练习巩固实数概念，分析实数的分类，弄清带根号的数并不都是无理数，无理数指的是无限不循环小数，不能化为分数的数，这才是它的本质特征，明白数的范围扩大后相反数、绝对值的意义仍不变。）
3.类比迁移，大小比较，例题分析
例 把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”号连接）：
--1.4，， 3.3， π，--，1.5
（1）让学生阅读题目，讨论比较大小的方法，培养学生的自学能力和探索精神，学会类比迁移。比较学生的解题思路，利用数轴比较或利用法则比较的（一般无理数需取近似值），都予以鼓励，抓住一题多解，培养学生思维的发散性和流畅性，有利于学生整体素质提高。
(2)着重讲解在数轴上如何表示无理数，利用数轴进行大小比较
根据书本图3.2 画表示的点的方法：画边长为1的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
如； 尺规可作的无理数
π 尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示
五、课堂小结
1. 是人们最早认识的无理数之一，这节课我们 从谈起，谈到了什么？
（1）知识方面：
正有理数 （ 有限小数、无限循环小数 ）
有理数 { 零 } 可化为分数
实数{ 负有理数
正无理数 （无限不循环小数）
无理数 { }
负无理数 不能化为分数
实数与数轴上的点一一对应
（2）思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值；数形结合的数学思想
2.启发学生提出新的疑问，培养学生创造性思维
从谈起，我们还可以谈些什么？
例如： 其他无理数？
圆周率π的近似值？
由出发，可以造出哪些无理数？
无理数与有理数的和、差、积等一定是无理数吗？
无理数与无理数的和、差、积等一定是无理数吗？
等等一系列问题，有待于我们进一步探索、研究
六、布置作业
A组必做， B、C组选做
3．3立方根
学习目标
知识与技能：了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根，并能用立方根运算求某些数的立方根
教学思考：创设问题情境，学生进一步发展对数学知识的抽象概括力。
解决问题：通过学生的积极参与培养学生独立思考的能力，提高数学
表达和运算能力。
教学重点
本节重点是立方根的意义、性质。
教学难点
本节难点是立方根的求法，立方根与平方根的联系及区别。
教学过程
一、创设情境
电脑显示一个魔方
师：你们喜欢玩魔方吗？这是由8个同样大小的单位立方体组成的魔方，这8个小立方体可以重新排列，组成魔方表面的各种不同的美丽图案。现在要做一个体积为8cm3的立方体魔方，它的棱要取多少长？你是怎么知道的？
生：思考后回答。
师：体积为27 cm3和体积为1000 cm3的立方体的棱又是要取多少长呢？
生：思考、讨论后回答。
电脑演示：
设计意图：为概念引入作准备并渗透从个别到一般的规律。
二、自主学习、合作探究
师：让学生在平方根基础上试述立方根概念。
师（总结）：一般地，一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做a的三次方根），记做。如：，则2叫做8的立方根，即；，则是的立方根，即。其中a是被开方数，3是根指数，符号读做“三次根号”。
师：针对前面几个例子，由学生说出27和1000的立方根，并分别指明它们的被开方数和根指数。
生：举例再说明。
三、巩固训练
求下列各数的立方根：
（1）27； （2）； （3）； （4）； （5）0
解：（1）因为，所以27的立方根是3，即.
（2）因为，所以的立方根是，即.
（3）因为，所以的立方根是，即.
（4）因为，所以的立方根是，即.
（5）因为，所以0的立方根是0，即.
生：总结解题方法和在过程中需要注意的问题。
师：强调（1）求立方根用到立方运算。（2）负数的立方根注意符号。
四、自学反馈
电脑出示：
（1）一个正数有几个立方根？是正是负？为什么？
（2）是否任何负数都有立方根？如有，有几个？是正是负？
（3）0的立方根是什么？
生：小组讨论交流。
师：引导各小组进行举例、猜想。可提示学生联系上面的“练一练”思考这些问题。
师：（板书结论）每个数a都只有一个立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。任意数a的立方根可表示为“”，读做“三次根号a”
五、巩固训练
1.计算：（1） ； （2）
解：（1）
（2）
2.问题：表示a的立方根，那么等于什么？呢？
分析：应抓住立方根的定义去分析，如果，那么x就是a的立方根，即，所以。同样，根据定义，是a的三次方，所以的立方根就是a，即。
3.体验一刻
分别求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）； （4）
评析：鼓励学生利用“想一想”中公式：，直接进行计算。
4.开心乐园——抢答竞赛
规则：全班分成四大组，每组有个记分人，那组人先举手先发言，并要说明问题的原因，答对加1分，答错减一分，最终获胜一组给予鼓励。
电脑陆续放题：
1． 判断正误：（1）的立方根是
（2）负数不能开立方
（3）4的平方根是2
（4）的立方根是
（5）负数有一个平方根
（6）0的立方根是0
2． 口算： （1）1的立方根是＿＿＿
（2）的立方根是＿＿＿
（3）的立方根是＿＿＿
（4）＿＿＿
（5）＿＿＿
（6）＿＿＿
六、课堂小结
先由学生小结，再有教师归纳：
1． 符号中的根指数“3”不能省略。
2． 对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根。
3． 平方根和立方根的区别：
（1）正数有两个平方根，但只有一个立方根；
（2）负数没有平方根，但却有一个立方根。
4． 灵活运用公式：（1）；（2）；（3）
5． 立方与开立方也互为逆运算。我们也可以用立方运算求一个数的立方根，或检验一个数是不是另一个数的立方根。
七、布置作业
教材78页A组和B组。
3.4 用计算器进行数的开方
学习目标
知识与技能：掌握用计算器求平方根和立方根。
教学思考：用计算器探求数学规律，发展合理推理的能力。
解决问题：会根据实际问题用计算器求平方根和立方根。
教学重点和难点
本节重点是会用计算器进行开方运算。
本节难点是正确掌握计算器的输入方法，用计算器解决数学实际问题。
教学过程
教学
环节
教师引导
学生活动
设计意图
创
设
情 境
提
出
问
题
师：上课前先来放松一下，大家一起来欣赏一组美丽的图片。
（电脑放映4张世界著名的高楼大厦图：马来西亚的佩重纳斯双塔、美国世贸大厦、香港国际金融中心、上海金茂大厦）
师：站在这些高楼上肯定能看到周围旖旎的风光，你们想知道能看到多远的风景吗？
师：俗话说，登高望远。从理论上说，当人站在距地面千米高处时，能看到的最远距离约为千米。上海金茂大厦观光厅高340米，人在观光厅里最多能看多远（结果保留3个有效数字）？
欣赏图片：
创设情境，吸引学生注意力，引起学生兴趣。
引起学生求知欲
抛出“锚”，即提出问题，引起学生观察、思考。
（即书上例3）
数
学
活
动
（探索解析模型）
师：引导学生建立数学模型：
人站在千米高处能看到最远距离为千米，现在高度为340米，求最远距离
（结果保留3个有效数字）
小组交流，教师巡回指导。
师：各组派代表说明你们的讨论结果并说明原因。
师：如何用计算器计算？
多媒体上显示正确顺序：
0 ． 3 4 0 =
结果： 0.5830951
注：凡从计算器上得到的结果，我们约定统一使用等号。
师：保留3位有效数字的话，此题的最终答案为65.3千米。有几小组答案完全正确？来点掌声！
思考、观察
学生4人小组合作、交流，尝试着去解决问题。
并尝试着去探索用计算器求数的开方的用法。
学生自由发言，各抒己见
有些小组答案正确
有些小组答案错误
找出错误的原因
从现实生活中的具体实例中抽象出数学问题，建立数学模型。
学生在解决数学问题的同时也自主学会了如何用计算器进行数的开平方。
体验成功解决数学问题的喜悦或失败的情感。
概
括
师：我们用科学计算器进行数的开平方的按键顺序是：先按再按其里面的数字，最后按等号。
注：不同的按键顺序会导致不同的结果。
师：一起来练一下：
师：用计算器运算所得的结果，有时是准确值，如，有时是近似值，如14213562
注：不同的计算器显示结果的有效数字不一定相同。
边练边概括
对用计算器进行数的开方步骤及时概括，并提醒学生在用计算器时应注意的问题。
例1的（1）（2）小题
拓
展
师：既然我们会用计算器开平方，那么如何用计算器开立方？
师：大家一起来：
按键顺序：
9 =
结果： 2.080083823
在学生已学会用计算器进行数的开平方的基础上，再用同样的道理进行开立方，就容易多了。
例1的（3）小题。
巩
固
比一比：
师：各小组进行计算比赛。
课件出示例题：
班
试一试：
师：用计算器计算（结果保留4个有效数字）
（1） （2）
练一练：
书81页课内练习1、2、3
进行竞赛
（1）按键顺序：
4 ab/c 5 =结果： 0.894427191
（2）按键顺序：
1 ab/c
2 ab/c 7 =
结果： 1.087380373
书本上的“做一做”
书上的例2
应
用
多媒体放映：议一议：
1.（1）任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开方运算，对所得结果再进行开方运算……随着开方次数的增加，你发现了什么？
（2）改用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似的规律？
（若课堂时间不够，下面一题可当作业思考）
2.（1）用计算器求值：
，
，
（结果保留4个有效数字）
（2）你发现了什么规律？
阅读题目、思考。
学生独立完成后，小组交流所得结果。
（1）随着开方次数的增加，运算结果越来越接近1。
（2）仍有类似（1）中的规律。
这是一道蕴涵极限思想的数学问题，让学生动手去探索规律，目的是开拓有特殊数学需求的学生的数学思维，增加自主探究能力，教师不必作其他的拓展。
回
顾
小
结
布
置
作
业
谈一谈本节课你有何收获？
出示作业：
1、巩固题：课本第81页A组（一般程度学生，完成所需不超过20分）
2、提高题：课本第82页B组题，具有综合性。
回顾、思考、交流、补充。
自我测试、评价
课堂总结，不但要总结结论，而且还要强调过程，这里的总结，回顾过程，就让学生回忆这节课的学习历程和发现的一些规律或研究成果。
设计不同层次的作业有利于满足不同学生的发展需求。
3.5 实数的运算
学习目标：
1． 了解有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍适用。
2． 会进行简单的实数四则运算，进一步认识近似数与有效数学的概念。
3． 能用计算器进行近似计算，并按问题要求对结果取近似值。
教学重点
本节的教学重点是实数的运算。
教学难点
本节的教学难点是用计算器将实数按要求对结果取近似值。
教学准备：科学计算器
教学流程：
（一） 情境导入：
同学们，你们想飞出地球，遨游太空吗？这是长期以来人类的一种理想，可是地球的吸引力毕竟是太大了，飞机飞得再快也得回到地面，只有当物体速度达到一定值时，才能克服地球引力，围绕地球旋转，这个速度叫第一宇宙速度，计算公式是：（千米/秒），其中千米/秒2是重力加速度。R=6370千米。是地球半径。请你用计算器求出第一宇宙速度，看看有多大？
生：（千米/秒）。
师：可见计算器对实数的运算既快又准，那么本节课我们就学习实数的运算。
（二） 自主学习、合作探究
电脑显示：
（1） 由学生写出用字母表示有理数的五条运算律。
师：数从有理数扩展到实数后，有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用。
（2） 计算：＿＿ ； ＿＿ ； ＿＿
（3） 利用计算器计算：
＿＿＿ （精确到0.01） ＿＿＿ （保留3个有效数字）
＿＿＿ （精确到万分位） ＿＿＿ （精确到0.01）
＿＿＿ （保留2个有效数字）
生：（1） ；；
（2）；；；；
（4）计算：①； ②
（由学生板演）：① 原式=
② 原式=
通过以上的练一练，由学生归纳实数的运算法则：
实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果遇到有括号，则先进行括号里的运算。
（三） 巩固训练
例1．计算：① （精确到0.001）
② （结果保留4个有效数字）
生：先练习，再同桌交流计算结果。
师：写出解题的规范化：
① 按键顺序： 8 － 9 =
0.748343301
②
例2．计算： （精确到0.01）
解：原式=
=
==18.94427197
1. 计算：① （精确到0.01） ② （结果保留3个有效数字）
③ （精确到0.01）
生：板演上面的3个小问题。
师：及时纠正。
2． （结果保留3个有效数字）
生：两种解法：
解法Ⅰ： 解法 Ⅱ：
=13.22875656 =
=13.22875656
3.轻松时刻
①的绝对值是＿＿＿ ，＿＿＿＿的倒数是
② （）的值是 ＿＿＿，＿＿＿＿
③ 实数a、b满足 则a = ＿＿＿ ，b= ＿＿＿
4.请阅读下面解题过程：
已知：实数a、b满足，，且，试求的值。
解：
故
师：请仿照上面的解题过程，解答下面问题：
已知实数x 满足，且 ，试求的值？
（四）课堂小结
本节课同学们学到了哪些新知识？
（五）布置作业:
书本84页A、B、C组题目。
第三章 实数复习课
学习目标
1.使学生进一步理解一个数的平方根、算术平方根及立方根的意义；
2.理解无理数和实数的意义；
3.熟练地求出一个正数的平方根、算术平方根和实数的立方根；
4.会对实数分类以及进行实数的近似计算.
教学重点和难点
重点：平方根、算术平方根、实数的概念及其计算.
难点：算术平方根、实数的综合运算和代数与几何的综合运用.
教学过程设计
一、复习基本概念
1.什么叫一个数a的平方根，怎样表示?什么叫数a的算术平方根?怎样表示?其中a可以分别表示什么数?
2.什么叫一个数a的立方根?怎样表示?其中a可以表示什么数?
3.任何实数都有平方根吗?都有立方根吗?
4.什么叫无理数?什么叫实数?实数与数轴的点有什么关系?
答：1.如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，表示为±a数.的非负的平方根叫做算术平方根，表示为a，其中a≥0.
2.如果一人数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，表示为3a，其中a为任意实数.
3.正数和0有平方根，正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，任何实数都有一个立方根.
4.无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数统称为实数.实数与数轴上的点一一对应.
二、例题 例1 a为何值时，下列各式有意义?
1.例2中的有关运算实际是进行实数运算，有理数的运算律和运算性质，在实数范围内仍然成立.
2.无理数的运算，可以转化为用相应的(或题目指定)近似有限小数进行，有的题目可根据问题的要求取其近似值，转化成有理数进行运算.
例3 (1)如图，已知正方形ABCD的面积是4a2，E，F，G，H分别为正方形四条边的中点，依次连结E，F，G，H得到一个正方形.求这个正方形的边长(用带根号的数表示).
(2)当a=4时，正方形EFGH的边长是多少?(精确到0.01).
分析：求正方形EFGH的边长，首先应求出正方形ABCD的边长.由于正方形的面积等于它的一边的平方，所以它的一条边是面积的算术平方根.
三、课堂练习
1.判断下列说法是否正确?并说明理由.
(1)－1的立方根是－1. ( ) (2)－1的立方是－1. ( )
(3)－1的平方是1. ( ) (4)－1的平方根是－1. ( )
(5)－1是1的一个平方根. ( ) (6)无理数是开方开不尽的数. ( )
(7)9的平方根±3. ( ) (8)实数都有平方根. ( )
(9)实数都有立方根. ( ) (10))实数m的倒数是1m。 ( )
(11)3.1415926可以用分数表示. ( )
(12)有理数与数轴上的点一一对应. ( )
(13)a2的算术平方根是a. ( ) (14)若｜x｜=(y)2，则x=y. ( )
2.选择题：
(1)对实数进行分类，不正确的是( )
A.实数 有理数 无理数 B.实数有限小数 无限循环小数 无限不循环不数
C.实数 小数 分数 D.实数正实数 0 负实数
(2)121的平方根是( ) A.11 B.±1 C.11 D.±1
(3)下下列说法错误的是( ).
A.3是无理数 B.3是3的算术平方根 C.3的平方根等于1.732 D.3是实数
(4)下列判断中，错误的是( )
A.两个实数之间有无数个实数 B.两个有理数之间有无数个有理数
C.两个无理数之间有无数个无理数 D.两个整数之间有无数个整数
3.填空：
(1)25的平方根是____，36算术平方根是_____.
(2)－5的立方根是_____，－5是_____的立方根.
(3)若x=6 则x的平方根是_____ . (4)的平方根等于它的立方根.
四、小结
1.在解答有关被开方数是字母的式子是否有意义的问题，要根据所涉及的概念的意义去考虑，如例1中的(1)，(2)，(3)，(5)各式都表示算术平方根，因此被开方数必须是非负数，从这个意义去考虑使式子有意义的字母的取值范围.
2.在进行实数运算时，可根据各题的要求分别取无理数的近似值，转化成有理数进行计算.对于含绝对值的式子，应先根据实数的绝对值的意义，去掉绝对值的符号再进行计算，有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然成立.
3.在代数中解答几何题，是代数和几何的综合，是数和形的结合，在解答过程中一定要结合图形的几何性质，把论证和计算结合起来.
五、作业
1.判断下列说法是否正确，并说明现由.
(1)π=3.14； ( ) (2)无理数包括正无理数、负无理数和零； ( )
(3)无限小数是无理数； ( ) (4)25的平方根是±5； ( )
(5)实数与数轴的点一一对应；( )
2.填空：
(1)任何正数的两个平方根的和等于______； (2)无理数是_____小数；
(3)｜3.14－π｜= ______ ； (4)32的相反数是 ；
(5)若m2=9，则 m=______ ； (6)若a2=3，则a=_______ ；
3.解下列各题：
(1)分别求出下列各式的平方根和算术平方根：
64，0.25，5，(－3)2，(25)2，(－413)2.
(2)求出下列各数的立方根：
27，－0.125，9，(－6)3，(23)3，(－45)3
4.求下列各式中的x：
(1)x2=169; (2)121x2－25=0; (3)9x2=64;
(4)x2－1.69=0; (5)x3=64000; (6)x3=－0.125.
5.已知一个正方体的棱长是5cm，再做一个正方体，使它的体积是原正方体的体积的2倍，求所做的正方体的棱长.(精确到0.1cm)
6.球的体积公式是V=43πR3(R是球的半径).已知一个钢球的体积是200cm3，求它的半径.(π取3.14，结果保留3个有效数字).
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