数学八年级上册12.4 综合与实践 一次函数模型的应用教案

12.4　综合与实践——一次函数模型的应用

教学目标

【知识与技能】

熟练运用一次函数知识建立实际问题的数学模型,提高解决实际问题的能力.

【过程与方法】

经历活动过程,让学生认识数学在现实生活中的用途,发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.

【情感、态度与价值观】

1.体会数学与生活的联系,了解数学的价值,加深对数学的理解和认识.

2.认识到数学是解决实际问题的重要工具,了解数与形的联系以及事物之间的关联.

重点难点

【重点】

根据题意写出函数关系式,建立实际问题的数学模型.

【难点】

运用一次函数解决实际问题.

教学过程

一、创设情境,导入新知

师:这一章我们在前面都学习了哪些内容?

生:在前面我们学习了一次函数的形式和画法,也学习了一次函数与二元一次方程的联系,学习了用一次函数的图象解二元一次方程组.

师:很好!这节课我们用这些知识来解决实际问题,学以致用.

二、共同探究,获取新知

【例】　奥运会每4年举办一次.奥运会的游泳成绩在不断地被刷新,如男子400m自由泳项目,1996年奥运冠军的成绩比1960年的提高了约30s.下面是该项目冠军的一些数据:

　　根据上面的资料,能否预测2012年奥运会时该项目的冠军成绩?如何解决这个问题?

分析:题中给出的数据是每4年一次奥运会上男子400m自由泳的冠军成绩.如果设x表示1980年起举办奥运会的年份,y表示相应年份奥运会上男子400m自由泳的冠军成绩,那么,对于每个x、y有唯一确定值与之对应.这样,要估算2012年这项运动的冠军成绩,设法求出变量y与x的关系式是关键.

解:1.以1980年为零点,举办奥运会的年份的x值为横坐标、相应的y值为纵坐标,在坐标系中描出这些数据的点,如图:

2.观察图中描写的点的整体分布,它们基本上在一条直线附近波动.因此,y与x之间的关系可以近似地以一次函数去模拟,即设y=kx+b.

这里,我们选择点(0,231.31)及点(6,223.10)的坐标代入y=kx+b中得解方程组,得k=-1.37,b=231.31.所以一次函数的解析式为

y=-1.37x+231.31.

3.x=8代入上式,得

y=-10.96+231.31=220.35(s).

所以估计2012年奥运会男子400m自由泳冠军成绩约是220.35s.

师:通过上面的学习,我们可以知道建立两个变量之间的函数模型的具体步骤如下:

(1)将实验得到的数据在直角坐标系中描出;

(2)观察这些点的特征,确定选用的函数形式,并根据已知数据求出具体的函数表达式;

(3)进行检验;

(4)应用这个函数模型解决问题.

三、练习新知

教师多媒体出示:

某单位有职工几十人,想在节假日期间组织到外地H处旅游.当地有甲、乙两家旅行社,它们服务质量基本相同,到H地旅游的价格都是每人100元.经联系协商,甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠;乙旅行社表示单位先交1000元后,给予每位游客六折优惠.问该单位选择哪个旅行社,使其支付的旅游总费用较少?

学生小组讨论.

师:假设该单位参加旅游的人数为x,按甲旅行社的优惠条件,应付费用多少元?

生:80x元.

师:按乙旅行社的优惠条件,应付费用多少元?

生:(60x+1000)元.

师:那么“选择哪个旅行社,使其支付的旅游总费用较少”的问题就转化成了什么问题?

生:转化成了“80x和60x+1000哪个式子的值小”的问题.

师:很好!那我们怎么比较它们的大小呢?

生:记y1=80x,y2=60x+1000,在同一直角坐标系内作出两个函数的图象,x的值相同时,y的值小的那部分的费用就低.

师:现在请大家在方格纸上建立坐标系,画出两个函数的图象并观察图象,看能得到什么结论.

学生作图,教师巡视指导,最后得到:

学生观察图象后作答:

当人数为50时,选择甲或乙旅行社费用都一样;

当人数小于50时,选择甲旅行社费用较少;

当人数大于50时,选择乙旅行社费用较少.

师:同学们回答得很好.还有没有其他的方法呢?

生:还可以这样做.设选择甲、乙旅行社所需费用之差为y,则y=y1-y2=80x-(60x+1000)=20x-1000,画一次函数y=20x-1000的图象,由y的正负来判断y1与y2的大小.

师:现在请同学们画出这个图象,然后观察图象作答.

学生作图,得到:

学生观察图象后回答:

当x=50时,y=0,即y1=y2;

当x>50时,y>0,即y1>y2;

当x<50时,y<0,即y1<y2.

师:很好.

四、课堂小结

师:你今天学习了什么内容?

学生回答,教师补充完善.

教学反思

本节课我给出了一个生活中的例子,让学生来解决.学生各自发挥自己的能力,用自己的办法来解决问题,锻炼学生的主动性和积极性.我鼓励他们说出自己的意见,锻炼他们的语言表达能力.在大家的讨论中,加深学生对一次函数和一次函数的意义的理解.这节课涉及了用解析式表达函数之间的关系和由函数图象比较两个函数值的大小等知识,这是对学生函数应用能力和观察能力的考察和锻炼.