初中数学沪科版八年级上册12.4 综合与实践 一次函数模型的应用教案设计

12.4综合与实践　一次函数模型的应用

教学目标

【知识与能力】

1.学会建立一次函数模型的方法；

2.能用一次函数解决简单的实际问题；

3.能结合对函数的关系式的分析，尝试对变量的变化规律进行预测。

【过程与方法】

用函数的观点处理实际问题的关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步提出明确的数学问题，注意分析的过程，即将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新理解，让学生逐步学会用数学的眼光考察实际问题。

【情感态度价值观】

认识数学在现实生活中的意义，提高运用数学知识解决实际问题的能力。

教学重难点

【教学重点】

建立一次函数的模型。

【教学难点】

利用一次函数模型解决实际问题。

课前准备

课件、教具等。

教学过程

一、情境导入

学函数要会“看图说话”，“数形结合”是初中重要的数学思想方法，在函数一章的学习中，掌握这种思想方法显得特别重要，在分析和解决函数问题时，要学会由数想形、以形助数，借助函数的图象研究其数量关系，描述其性质．如：甲、乙两人(甲骑自行车，乙骑摩托车)从A城出发到B城旅行，下图表示甲、乙两人离开A城的路程与时间之间的函数图象，根据图象，你能得到关于甲、乙两人旅行的哪些信息？

二、合作探究

探究点：建立一次函数模型

例1  A市某公司市场调研部对市场上某种商品的销售数量及其销售利润进行调查，根据调查情况得到如下信息：

①销售数量y1与时间x之间的函数关系如下表所示：

②每件的销售利润y2与时间x之间的函数关系如图①所示：

请根据以上信息解答下列问题：

(1)y1与x之间的函数关系同你学过的哪一种函数最接近？y2与x的函数关系呢？请分别求出y1与x、y2与x之间的函数表达式；

(2)若每个月的销售利润为y万元，求y与x之间的函数表达式；

(3)根据前面提供的图表信息，你能求出三月份销售这种商品的利润吗？请写出算式，并用你在(2)中求出的表达式验证你根据图表得出的结论(即三月份的利润)．两个结论相同吗？

解析：先推测y与x之间的函数关系(近似地)为一次函数，然后用待定系数法求出函数表达式，进而解决相关问题．

解：(1)以表中对应值作为点的坐标，在坐标平面内描出相应的点，如图②所示．

在图①和图②中，每个图中各点都几乎在同一条直线上，因此y1与x之间的函数关系与一次函数最接近，y2与x之间的函数关系也与一次函数最接近．

设y1＝k1x＋b1，则把(1，1.7)和(2，1.8)代入得解得∴y1＝0.1x＋1.6.

设y2＝k2x＋b2，把(3，7)和(6，6)代入得

解得∴y2＝－x＋8；

(2)y＝y1y2＝(0.1x＋1.6)(－x＋8)＝－x2＋x＋，即y＝－x2＋x＋；

(3)解法一：由图①知，3月份每件的销售利润为7元，由题(1)中的表格知，3月份的销售数量为1.9万件，所以3月份的销售总利润是7×1.9＝13.3(万元)．

解法二：当x＝3时，y＝－×32＋×3＋＝13.3(万元)，∴三月份销售这种商品的利润是13.3万元．两种解法的结论相同．

方法总结：(1)本题中y1与x十分接近一次函数，而y2与x则是近似地满足一次函数关系，都可以选择一次函数模型来模拟它们．(2)销售利润＝每件利润×销售数量．

例2  世界上大部分国家都使用摄氏温度(℃)计量法，但美、英等国的天气预报仍然使用华氏温度()计量法．两种计量法之间有如下的对应关系：

(1)在平面直线坐标系中描出相应的点，观察这些点的分布情况，并猜想y与x之间的函数关系；

(2)确定y与x之间的函数表达式，并加以检验；

(3)华氏0度时的温度应是多少摄氏度？

(4)华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？

解析：先根据表中的数据特点建立适当的平面直角坐标系，然后描点，并依据点的分布猜想y与x之间的函数关系，进而用待定系数法求出函数关系式，再去解决(3)(4)题．

解：(1)如图所示，以表中对应值为坐标的点大致分布在一条直线上，据此，可猜想：y与x之间的函数关系为一次函数；

(2)设y＝kx＋b，把(0，32)和(10，50)代入得解得∴y＝x＋32.

经检验，点(20，68)，(30，86)，(40，104)，(50，122)的坐标均能满足上述表达式，所以y与x之间的函数表达式为y＝x＋32；

(3)当y＝0时，x＋32＝0，解得x＝－，∴华氏0度时的温度应是－摄氏度；

(4)把y＝x代入y＝x＋32，得x＝x＋32，解得x＝－40.

∴华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能，此值为－40.

方法总结：仔细体会本题中“问题情境—函数模型—概念应用—反馈拓展”的解决问题的模式．

三、板书设计

教学反思

本节的主要内容是让学生逐步形成用函数的观点处理问题的意识，体验数形结合的思想方法．