数学九年级上册第23章 图形的相似23.1 成比例线段2. 平行线分线段成比例同步达标检测题

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 23.1.2平行线分线段成比例（重点练）一、单选题1．（2021·全国九年级课时练习）如图，在的边上任取两点B，C，过B作的平行线交于N，过N作的平行线交于D．若，则的值为（    ）．A． B． C．2 D．3【答案】B【分析】根据AM∥BN，可以得到，再根据MC∥ND，即可得到.【详解】解：∵AM∥BN，∴，又∵MC∥ND，∴，故选B.【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例定理.   2．（2021·全国九年级课时练习）如图，已知，那么（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由平行线分线段成比例定理，得到；利用AO、BO、CO的长度，求出DO的长度即可解决问题．【详解】解：∵AB∥CD，∴；∵AO=2，CO=6，BO=3，∴，解得：DO=4，故选B.【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是读懂题意，掌握平行线分线段成比例.3．（2021·浙江九年级期末）如图，直线l1l2l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．且AB＝3，AC＝8，则的值为（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】由平行线分线段成比例定理即可求得结果．【详解】∵直线l1l2l3∴故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，注意的是成比例的线段必须是对应的．4．（2021·全国九年级专题练习）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于（    ）A．2 B．4 C． D．【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例得到，然后利用比例性质计算出BC，从而求出CE即可．【详解】解：∵AB∥CD∥EF，∴，即，∴BC=，∴CE=BE-BC=12-=，故选C．【点睛】本题考查了平行线线段成比例，熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．5．（2021·河南九年级期末）如图，在中，，，分别是边，，上的点，，，且，那么的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．【详解】解：，，，又∵，，故选：．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理的运用，熟练利用平行线分线段成比例定理是解题关键．6．（2021·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级开学考试）如图，如果l1∥l2∥l3，则下列各式错误的是（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平行线分线段成比例定理和比例的性质对各选项进行判断．【详解】解：∵l1∥l2∥l3，∴，，，故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．7．（2018·全国九年级单元测试）如图，已知，那么下列结论不正确的是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】已知AB//CD//EF, 根据平行线分线段成比例定理, 对各项进行分析即可.【详解】解：由AB//CD//EF,有,故B不正确．故选B.【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理, 找准对应关系, 避免错选其他答案.8．（2021·河南九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣6，0），B（6，0），C（4，8），则△ABC重心的坐标是（　　）A．（2，4） B．（3，4） C．（，） D．（，）【答案】D【分析】连接OC，如图，先确定△ABC的重心D在OC上，作CE⊥OB于E，DF⊥OB于F，如图，根据三角形重心的性质得OD：OC＝1：3，由于DF∥CE，则＝，然后计算出DF和OF，从而得到D点坐标．【详解】解：连接OC，如图，∵A（﹣6，0），B（6，0），∴O点为AB的中点，∴△ABC的重心D在OC上，作CE⊥OB于E，DF⊥OB于F，如图，∵D点为△ABC的重心，∴CD＝2OD，∴OD：OC＝1：3，∵DF∥CE，∴＝，而C（4，8），∴OE＝4，CE＝8，∴，∴DF＝，OF＝，∴D（，）．故选D．【点睛】本题主要考查了三角形的重心的性质和相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形的重心的性质和相似三角形的判定与性质．9．（2019·全国九年级课时练习）如图，直线a，b，c分别与直线m，n交于点A，B，C，D，E，F，直线a∥b∥c，若AB＝2，BC＝3，则 的值为(       )     A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例是在代入求出即可．【详解】∵直线a∥b∥c，∴，∵AB＝2，BC＝3，∴．所以A选项是正确的.【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理的应用．  二、填空题10．（2018·全国九年级单元测试）如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与直线AD、BE、CF分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB=4，BC=5，DE=5，则EF的长是________．【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到,即:，可求得EF的值.【详解】解: AD//BE//CF,,即:,即:EF=,故答案：.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例: 三条平行线截两条直线, 所得的对应线段成比例.11．（2021·全国九年级课时练习）已知中，D为边上一点，过D作，交于点E，若，，，则______．【答案】【分析】根据DE∥BC，得到，即可求出，然后求出CE的长即可.【详解】解：∵DE∥BC，∴，∵AB=6， AD=2， AC=4，∴，∴，∴，故答案为：.【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.12．（2021·全国九年级课时练习）已知：如图，l1∥l2∥l3，AB=3，BC=5，则_______．【答案】【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3，AB=3，BC=5，∴，故答案为：．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．13．（2021·陕西西北工业大学附属中学九年级）如图，，直线，与、、分别相交于、、和点、、．若，，则的长是__________．【答案】10【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【详解】解：∵，，∴，即，解得，，∴，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例定理．14．（2021·全国九年级课时练习）如图，小明在横格作业纸（横线等距）上画了个“×”，与横格线交于A、B、C、D、O五点，如果线段，则线段________．【答案】6【分析】过点O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，即可得到∠DEA=∠OFC=90°，E、O、F三点共线，再根据AB∥CD，，可以得到再根据横线等距，即，由此求解即可.【详解】解：如图所示，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，∴∠DEA=∠OFC=90°，∵AB∥CD，∴E、O、F三点共线，∴，，∴，∵横线等距，∴∴，∴，故答案为：6.【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.15．（2021·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级开学考试）如图，DE∥BC，且DB＝AE，若AB＝5，AC＝10，则AE的长是____．【答案】【分析】根据平行线分线段成比例，列出比例式即可求得的长．【详解】 DE∥BC，， DB＝AE，，，， AB＝5，AC＝10，，解得．故答案为：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．16．（2021·浙江诸暨市暨阳初级中学九年级月考）AD为面积为30 的锐角三角形ABC的高，∠ACB＝2∠BAD，线段AB上的点E将AB分成两条线段的比为3∶2，过点E作BC的平行线交AC于点F，若AD＝6，则CF＝_______．【答案】4或6【分析】根据三角形面积公式求得BC＝10，根据角的和差倍数可得∠B＝∠BAC，继而由等角对等边的性质可得BC＝AC＝10，根据线段比例即可求解．【详解】∵S△ABC＝＝30，AD＝6，∴BC＝10，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°﹣∠B，∠B＝90°﹣∠BAD，在Rt△ACD中，∠CAD＝90°﹣∠ACB，∵∠ACB＝2∠BAD，∴∠CAD＝90°﹣2∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD＋∠BAD＝90°﹣∠BAD，∴∠B＝∠BAC，∴BC＝AC＝10，∵点E将AB分成两条线段的比为3∶2，EF∥BC，∴,或，故答案为：4或6．【点睛】本题考查角的和差倍数关系，等角对等边的性质，线段的比例，解题的关键是求得BC＝AC＝10．17．已知ABC中，DEBC，EFAB，AB＝3，BC＝6，AD:DB＝2：1，则四边形DBFE的周长为_______．【答案】10【解析】分析：根据DE∥BC可以得到△ADE∽△ABC，利用相似三角形对应边成比例求出DE的长度，再根据EF∥AB得到△ABC∽△EFC并且求出CE：AC的值，利用相似三角形对应边成比例求出EF的长度，然后证明四边形DBFE是平行四边形，两邻边之和的2倍就是四边形的周长．解答：解：∵AD：DB=2：1，∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴DE=×BC=×6=4，∵DE∥BC，∴，∴，又∵EF∥AB，∴，∵AB=3，∴EF=AB×=1，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE的周长=2（DE+EF）=2（4+1）=10．故答案为10．18．（2019·江苏九年级期中）如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．则CP：AC＝_____．【答案】1:4【分析】由平行四边形的性质，可以得出AC∥DE，且AC＝DE，根据线段成比例即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，∴AC∥DE，BC＝AD＝CE，∴，∵＝，∴＝，∵点R为DE的中点，∴PC：DE＝1：4，即PC：AC＝1：4，故答案为1：4．【点睛】题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.推论：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 三、解答题19．（2019·全国九年级单元测试）已知，如图，AB、DE是直立在地面上的两根立柱，AB=12m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=4m．（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影．（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长6m，请你计算DE的长．【答案】（1）见解析；（2）DE的长18米【分析】(1)利用平行投影的性质得出即可;(2)利用同一时刻影长与实际物体比值相等进而求出即可.【详解】解：（1）如图所示：EM即为所求；（2）∵AB=12m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=4m，DE在阳光下的投影长6m，∴设DE的长为xm，则  ， 解得：x=18，答：DE的长18米．【点睛】此题主要考查了平行投影的性质,利用相同时刻影长与实际物体的关系得出是解题关键.20．（2019·全国九年级单元测试）已知如图，E为平行四边形ABCD的边AB的延长线上的一点，DE分别交AC、BC于G、F，试说明：DG是GE、GF的比例中项．【分析】根据平行四边形两条对边平行,得到两对相似三角形,写出对应边成比例,得到两个比例式中各有两条线段的比相等,根据等量代换得到比例式,再转化成乘积式,即可得出答案.【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AE，∴∵AD∥BC，∴∴∴DG2＝GE•GF，∴DG是GE、GF的比例中项．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例,用到的知识点是平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理,用到两次等量代换是本题的关键.21．（2019·全国九年级期中）如图，中，，，，，求的长．【答案】；【分析】由，根据平行线分线段成比例定理可得，继而根据已知线段的长即可求得答案.【详解】∵，∴，又∵，，，∴，解得或（舍去），即的长为．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，结合图形熟练应用平行线分线段成比例定理是解题的关键.22．（2020·浙江九年级期末）如图①，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC．（1）若AB＝6，AC＝5，AD＝4，求CE的长．（2）连接BE，作DF∥BE交AC于点F，如图②，求证：AE2＝AF•AC．【答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）如图①，根据平行线分线段成比例定理得到，则利用比例性质可计算出AE的长，然后计算AC﹣AE即可；（2）由DF∥BE得到，由DE∥BC得到，利用等量代换得，然后利用比例的性质可得到结论．【详解】（1）如图①．∵DE∥BC，∴，即，∴AE，∴CE＝AC﹣AE＝5；（2）如图②．∵DF∥BE，∴．∵DE∥BC，∴，∴，∴AE2＝AF•AC．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．23．（2020·河南郑州市第十九初级中学九年级月考）如图，在△ABC中，直线DN平行于BC的中线AF，交AB于点D，交AC的延长线于点E，交边BC于点N，求证：＝．【分析】由DN∥AF可得：，，结合FB＝FC即可证明．【详解】证明：∵直线DN∥AF，∴＝，＝，∵在△ABC中，AF是BC边上的中线，∴FB＝FC，∴＝．【点睛】根据平行线分线段成比例定理和三角形中线的定义，熟练应用平行线分线段成比例是解答本题的关键.24．（2020·河北承德市·）如图，中，，，．点从点出发沿折线以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，点从点出发沿以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，点，同时出发，当其中一点到达点时停止运动，另一点也随之停止．设点，运动的时间是秒（）．发现：（1）__________；（2）当点，相遇时，相遇点在哪条边上？并求出此时的长．探究：（1）当时，的面积为_________；（2）点，分别在，上时，的面积能否是面积的一半？若能，求出的值；若不能，请说明理由．拓展：当时，直接写出此时的值．【答案】发现（1）5；（2）相遇点在边上，AP＝1；探究：（1）1；（2）不能，理由见解析；拓展：【分析】发现：（1）在中应用勾股定理即可求解；（2）P和Q相遇时可得方程，求得t后，即可进一步AP的长；探究：（1）求出当时PC和CQ的长，然后根据三角形面积公式求解即可；（2）用t列出的面积表达式，然后和面积的一半列出方程，进行求解即可判断；拓展：根据题意作出示意图，然后根据平行线截线段成比例列出方程，解方程即可求出t的值．【详解】发现：（1）在中，∴AB=5；（2）点P运动到B需要：s点Q运动到B点需要：s当点相遇时，有．解得．∴相遇点在边上，此时．探究：（1）当时，PC=1，BQ=2，即CQ=2∴故答案为1；（2）不能理由：若的面积是面积的一半，即，化为．∵，∴方程没有实数根，即的面积不能是面积的一半．拓展：由题可知，点先到达边，当点还在边上时，存在，如图所示．这时，．∵，，∴．解得，即当时，．【点睛】本题考查了勾股定理，一元一次方程中的动点问题，平行线截线段成比例，一元二次方程的判别式，题目较难，综合性较强，熟练掌握不同模块知识点是本题的关键．