北师大版八年级下册第六章 平行四边形4 多边形的内角与外角和教学设计及反思

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《多边形的内角和与外角和》第1课时教学目标知识与技能：表述多边形的有关概念（内角、外角、对角线、凸多边形、凹多边形）；情感态度价值观：1、通过探索过程进一步体会知识点之间的联系；2、通过本节的学习进一步体会数学与现实生活的紧密联系．教学重难点表述多边形的有关概念（内角、外角、对角线、凸多边形、凹多边形）．教学过程（一）引入你能从图1中找出几个由一些线段围成的图形吗？               图1（二）知识点我们学过三角形，类似地，在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形（polygon）．多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形．如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形．如图2，螺母底面的边缘可以设计为六边形，也可以设计为八边形．           图2多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．图3中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E是五边形ABCDE的5个内角．多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．图4中的∠1是五边形ABCDE的一个外角．     图3                     图4                  图5连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线（diagonal）．图5中，AC、AD是五边形ABCDE的两条对角线．特别提醒：n边形（n≥3）从一个顶点可引出（n－3）条对角线，把n边形分割成（n－2）个三角形，共有对角线条．例如：十边形有________条对角线．在这里n=10，就可套用对角线条数公式（条）．                     图6如图6（1），画出四边形ABCD的任何一条边（例如CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形．而图6（2）中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD（或BC）所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧．类似地，画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形．本节只讨论凸多边形．我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等．像正方形那样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．图7是正多边形的一些例子．                          图7特别提醒：（1）正多边形必须两个条件同时具备：①各内角都相等；②各边都相等．例如：矩形各个内角都相等，它就不是正四边形．再如：菱形各边都相等，它却不是正四边形．第2课时教学目标知识与技能：1、探索并说出多边形的内角和与外角和公式；2、进一步发展说理能力和简单的推理能力．过程与方法：经历探索多边形内角和与外角和公式的过程，实际测量，推理．情感态度价值观：1、通过探索过程进一步体会知识点之间的联系；2、通过本节的学习进一步体会数学与现实生活的紧密联系．教学重难点重点是多边形的内角和与外角和定理．难点是学会善于运用三角形的有关知识来研究多边形的问题，能够灵活运用多边形内角和与外角和解决相关问题．教学过程（一）思考三角形的内角和等于180°．正方形、长方形的内角和都等于360°，其他四边形的内角和等于多少？（二）探究任意画一个四边形，量出它的4个内角，计算它们的和．再画几个四边形，量一量，算一算．你能得出什么结论？能否利用三角形内角和等于180°得出这个结论？如图8，画出任意一个四边形的一条对角线，都能将这个四边形分为两个三角形．这样，任意一个四边形的内角和，都等于两个三角形的内角和，即360°．          图8从上面的问题，你能想出五边形和六边形的内角和各是多少吗？观察图9，请填空：          图9从五边形的一个顶点出发，可以引_______条对角线，它们将五边形分为_______个三角形，五边形的内角和等于180°×_________．从六边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，它们将六边形分为________个三角形，六边形的内角和等于180°×__________．通过以上问题，你能发现多边形的内角和与边数的关系吗？一般地，怎样求n边形的内角和呢？请填空：从n边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，它们将n边形分为________个三角形，n边形的内角和等于180°×______．总结：过n边形的一个顶点可以做（n－3）条对角线，将多边形分成（n－2）个三角形，每个三角形内角和180°．所以n边形内角和（n－2）×180°．把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形内角和公式吗？方法2：如图：10过n边形内任意一点与n边形各顶点连接，可得n个三角形，其内角和n×180°．再减去以O为顶点的周角．即得n边形内角和n·180°－360°．     图10得出了多边形内角和公式：n边形内角和等于（n－2）·180°．（三）例题例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？       图11解：如图11，四边形ABCD中，∠A＋∠C=180°．因为∠A＋∠B＋∠C＋∠D=（4－2）×180°=360°，所以∠B＋∠D=360°－（∠A＋∠C）=360°－180°=180°．这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补．例2：如图12，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？      图12分析：考虑以下问题：（1）任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系？（2）六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？（3）上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？联系这些问题，考虑外角和的求法．解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角，都等于180°．6个外角连同它们各自相邻的内角，共有12个角．这些角的总和等于6×180°．这个总和就是六边形的外角和加上内角和．所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于6×180°－（6－2）×180°=2×180°=360°．（四）探究如果将例2中六边形换为n边形（n的值是不小于3的任意整数），可以得到同样结果吗？思路：（用计算的方法）设n边形的每一个内角为∠1，∠2，∠3，……，∠n，其相邻的外角分别为180°－∠1，180°－∠2，180°－∠3，……180°－∠n．外角和为（180°－∠1）＋（180°－∠2）＋……＋（180°－∠n）=n×180°－（∠1＋∠2＋∠3＋……＋∠n）=n×180°－（n－2）×180°=360°注意：以上各推导方法体现将多边形问题转化为三角形问题来解决的基本思想．由上面的探究可以得到：多边形的外角和等于360°．你也可以像以下这样理解为什么多边形的外角和等于360°．如图13，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向．在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和．由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°．        图13