第五章 第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例-备战2022年新高考数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

这是一份第五章 第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例-备战2022年新高考数学一轮复习考点讲解+习题练习学案，文件包含第五章第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例原卷版docx、第五章第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共27页， 欢迎下载使用。

第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例
知识回顾
1．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．
2．平面向量的数量积
定义：已知两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b.
3．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论
符号表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角的余弦
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤
课前检测
1．（2020•安徽六安）已知单位向量的夹角为，若向量，且，则 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B【解析】依题意，，故，故，故，解得，故，故，故.
2．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)
A．4　　　 B．3　　　
C．2　　　 D．0
B　[a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b，∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.]
3．(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝(　　)
A．　　　 B．2　　　
C．5　　　 D．50
A　[∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，
∴|a－b|＝＝.]
4．已知矩形ABCD中，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于(　　)
A．20 B．15 C．9 D．6
答案　C
解析　因为ABCD为矩形，建系如图．A(0,0)，M(6,3)，N(4,4)．

则＝(6,3)，＝(2，－1)，
·＝6×2－3×1＝9.
5.（2020全国卷文）若，，且，则与的夹角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相互垂直的向量数量积为零，求出与的夹角.
【详解】由题有，
即，
故，
因为，所以.
故选：B.
6．(多选)在△ABC中，＝c，＝a，＝b，在下列命题中，是真命题的为(　　)
A．若a·b>0，则△ABC为锐角三角形
B．若a·b＝0，则△ABC为直角三角形
C．若a·b＝c·b，则△ABC为等腰三角形
D．若(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，则△ABC为直角三角形
答案　BCD
解析　①若a·b>0，则∠BCA是钝角，△ABC是钝角三角形，A错误；②若a·b＝0，则⊥，△ABC为直角三角形，B正确；③若a·b＝c·b，b·(a－c)＝0，·(－)＝0，·(＋)＝0，取AC的中点D，则·＝0，所以BA＝BC，即△ABC为等腰三角形，C正确；④若(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，则a2＝(c－b)2，即b2＋c2－a2＝2b·c，即＝－cos A，由余弦定理可得cos A＝－cos A，即cos A＝0，即A＝，即△ABC为直角三角形，D正确，综上真命题为BCD.
7.设向量a＝(－1,2),b＝(m,1),如果向量a＋2b与2a－b平行,那么a与b的数量积等于________．

a＋2b＝(－1＋2m,4),2a－b＝(－2－m,3),由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0,则m＝－,
所以a·b＝－1×＋2×1＝.
课中讲解
考点一.平面向量的数量积
例1.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________.
[解析]　法一：(几何法)因为·＝2·，
所以·－·＝·，
所以·＝·.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，
所以2||＝||·||cos，化简得||＝2.
故·＝·(＋)＝||2＋·＝(2)2＋2×2cos＝12.
法二：(坐标法)

如图，建立平面直角坐标系xAy.
依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n,0)，其中m＞0，n＞0，则由·＝2·，得(n,0)·(m＋2，m)＝2(n,0)·(m，m)，
所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.
故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.
[答案]　12
变式1.（2020宁夏二检）在等腰三角形中，，，点，是边上的两个三等分点，则（ ）
A. 0 B. 3 C. -6 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】
先取中点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，再求出坐标，得到与坐标，进而可求出其数量积.
【详解】如图，取中点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，因为，，则点坐标为，点坐标为，点坐标为，所以，，所以.
故选D

【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，可采用建系的方法求出向量的坐标，进而可求出结果，属于基础题型.
例2.在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为　　

A． B． C． D．0
【答案】C
【解析】由题意，，，
，，且，
又，；
，，

变式2．已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，则λ＝(　　)
A. B.
C. D．
解析：选A　如图，设＝b，＝c，
则|b|＝|c|＝2，b·c＝|b||c|cos 60°＝2.又＝＋＝－b＋(1－λ)c，＝＋＝－c＋λb，
由·＝－，得[－b＋(1－λ)c]·(－c＋λb)＝(λ－1)|c|2－λ|b|2＋(λ－λ2＋1)b·c＝－，
即4(λ－1)－4λ＋2(λ－λ2＋1)＝－，
整理得4λ2－4λ＋1＝0，即(2λ－1)2＝0，解得λ＝.

例3.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，且∠DAB＝90°，AB＝2，AD＝1，若点Q满足＝2，则·等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　D
解析　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，

则B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)，
又＝2，∴Q，
∴＝，＝，
∴·＝＋1＝.故选D.
变式3．如图，在平面四边形中，，，，．若点为边上的动点，则的最小值为　　

A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，
以所在的直线为轴，
过点做轴，过点做轴，
，，，，
，，
，
，
，
，
，，，，
设，
，，，，
，
当时，取得最小值为．
故选：．

考点二.与平面向量模有关的问题
例1.(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
2　[方法一　|a＋2b|
＝＝
＝
＝＝2.
方法二　(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，

则|a＋2b|＝||.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.]
变式1.(1)(2020·遵义统考)已知两个单位向量a和b的夹角为120°，k∈R，则|ka＋b|的最小值为(　　)
A. B. C．1 D.
答案　B
解析　|ka＋b|2＝k2a2＋2ka·b＋b2
因为a和b是单位向量，且夹角为120°，
所以|ka＋b|2＝k2a2＋2ka·b＋b2
＝k2|a|2＋2k|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2
＝k2－k＋1
＝2＋≥，
所以|ka＋b|≥，
所以|ka＋b|的最小值为.
(2)(2020·四川双流中学诊断)如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，与的夹角为60°，则||＝________.

答案　
解析　∵M为BC的中点，
∴＝(＋)，
∴||2＝(＋)2
＝(||2＋||2＋2·)
＝(1＋9＋2×1×3cos 60°)＝，
∴||＝.

例2．已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是　　
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】由，得，，
如图，不妨设，
则的终点在以为圆心，以1为半径的圆周上，
又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点的两条射线上．
不妨以为例，则的最小值是到直线的距离减1．
即．
故选：．
考点三.求向量的夹角
例1.　(1)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝，则a＋2b与b的夹角是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D．
(2)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.
[解析]　(1)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1××cos＝3，所以|a＋2b|＝.
又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1××cos＋2×＝，
所以cos〈a＋2b，b〉＝＝＝，
所以a＋2b与b的夹角为.
(2)因为a＝(1,2)，b＝(4,2)，
所以c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，|a|＝，|b|＝2，
所以a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20.
因为c与a的夹角等于c与b的夹角，
所以＝，
所以＝，解得m＝2.
[答案]　(1)A　(2)2
变式1.　(1)(2020·昆明一中检测)已知向量a＝，|b|＝2，且a·b＝1，则a与b的夹角为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案　C
解析　|a|＝＝1，
∴cos〈a，b〉＝＝，
∴a与b的夹角为60°.
(2)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．
答案　
解析　由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
|e1－e2|＝
＝
＝＝2.
同理|e1＋λe2|＝.
所以cos 60°＝
＝
＝＝，
解得λ＝(
例2.已知向量a，b，c满足|a|＝4，|b|＝2，〈a，b〉＝，(c－a)·(c－b)＝
－1，则|c－a|的最大值为________．
答案　＋1
解析　设＝a，＝b，＝c，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，
∵|a|＝4，|b|＝2，a与b的夹角为，
则A(4,0)，B(2,2)，设C(x，y)，
∵(c－a)·(c－b)＝－1，∴x2＋y2－6x－2y＋9＝0，
即(x－3)2＋(y－1)2＝1，∴点C在以(3,1)为圆心，1为半径的圆上，|c－a|表示点A，C的距离，即圆上的点与A(4,0)的距离，∵圆心到A的距离为，
∴|c－a|的最大值为＋1.
.

考点四．平面向量与三角函数
例1.　已知向量a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，cos x)，f (x)＝a·b.
(1)求函数f (x)＝a·b的最小正周期；
(2)在△ABC中，BC＝，sin B＝3sin C，若f (A)＝1，求△ABC的周长．
解　(1)f (x)＝sin xcos x＋cos2x
＝sin 2x＋cos 2x＋，
f (x)＝sin＋，
所以f (x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由题意可得sin＝，
又0 所以2A＋＝，故A＝.
设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a2＝b2＋c2－2bccos A.
所以a2＝b2＋c2－bc＝7，
又sin B＝3sin C，所以b＝3c.
故7＝9c2＋c2－3c2，解得c＝1.
所以b＝3，△ABC的周长为4＋.
思维升华　平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
变式1．已知O是△ABC内一点，＋＋＝0，·＝2且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D．
解析：选A　∵＋＋＝0，∴O是△ABC的重心，于是S△OBC＝S△ABC.∵·＝2，∴||·||·cos∠BAC＝2，∵∠BAC＝60°，∴||·||＝4.又S△ABC＝||·||sin∠BAC＝，∴△OBC的面积为，故选A.
例2．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值．
解：(1)因为m ＝，n＝(sin x，cos x)，m⊥n.
所以m·n ＝0，即sin x－cos x＝0，
所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.
(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos ＝，
即sin x－cos x＝，所以sin＝，
因为0＜x＜，所以－＜x－＜，
所以x－＝，即x＝.
变式2.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积．
解　(1)因为m＝(cos B，cos C)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，
所以ccos B＋(b－2a)cos C＝0，
在△ABC中，由正弦定理得，
sin Ccos B＋(sin B－2sin A)cos C＝0，
sin A＝2sin Acos C，
又sin A≠0，
所以cos C＝，而C∈(0，π)，所以∠C＝.
(2)由＝知，－＝－，
所以2＝＋，
两边平方得4||2＝b2＋a2＋2bacos∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①
又c2＝a2＋b2－2abcos∠ACB，
所以a2＋b2－ab＝12.②
由①②得ab＝8，
所以S△ABC＝absin∠ACB＝2.
课后习题
一． 单选题
1．(2020·山东枣庄月考)向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(k,2)，若(a－b)⊥c，则k的值是(　　)
A．4　　 B．－4　　
C．2　　 D．－2
B　[(a－b)·c＝(1,2)·(k,2)＝k＋4＝0⇒k＝－4.]
2．(2020·山东聊城期中)已知向量a＝(1,2)，b＝(m,1)，若向量a－b与a垂直，则|b|＝(　　)
A．10 B．
C． D．
B 　[a－b＝(1－m,1)，由向量a－b与a垂直，可得1·(1－m)＋2×1＝0，解得m＝3，∴b＝(3,1)，∴|b|＝.]
3．(2020·山东威海月考)设向量|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
A 　[向量|a＋b|＝，|a－b|＝，可得a2＋2a·b＋b2＝10，a2－2a·b＋b2＝6，两式作差可得a·b＝1.]
4．(2020·山东泰安期中)已知向量m＝(λ＋1, 1)，n＝(λ＋2, 2)，若(2m＋n)∥(m－2n)，则λ＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
B　[因为2m＋n＝(3λ＋4, 4)，m－2n＝(－λ－3，－3)，且(2m＋n)∥(m－2n)，所以(－3)·(3λ＋4)－4·(－λ－3)＝0，λ＝0.]
5．(2020·广东潮州期末)在平行四边形ABCD中，＝(1, 2)，＝(－4, 2)，则该四边形的面积为(　　)
A． B．2
C．5 D．10
D　[由题意||＝，||＝2，
·＝1×(－4)－2×2＝0，
∴⊥，∴SABCD＝||||＝×2＝10.]
6．已知向量a＝(sin θ，)，b＝(1，cos θ)，|θ|≤，则|a－b|的最大值为(　　)
A．2 B. C．3 D．5
答案　B
解析　由已知可得|a－b|2＝(sin θ－1)2＋(－cos θ)2＝5－4sin.因为|θ|≤，所以0≤θ＋≤，所以当θ＝－时，|a－b|2的最大值为5－0＝5，
故|a－b|的最大值为.
7．已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点，则·的取值范围是(　　)
A．[－1,0] B．[－1,2]
C．[－1,3] D．[－1,4]
C　[如图所示，由题意可得，点M所在区域的不等式表示为(x－1)2＋(y－1)2≤1(0≤x≤2,0≤y≤2)．

可设点M(x，y)，A(0,0)，B(2,0)．
∴·＝(－x，－y)·(2－x，－y)＝－x(2－x)＋y2＝(x－1)2＋y2－1，由∈[0,2]，
∴·∈[－1,3]．]
8．(交汇创新)(2020·湖南衡阳模拟)在△ABC中，∠A＝120°，·＝－3，点G是△ABC的重心，则||的最小值是(　　)
A． B．
C． D．
B　[设BC的中点为D，因为点G是△ABC的重心，所以＝＝×(＋)＝(＋)，
再令||＝c，||＝b，则·＝bccos 120°＝－3，所以bc＝6，所以||2＝(||2＋2·＋||2)＝(c2＋b2－6)≥(2bc－6)＝，所以||≥，当且仅当b＝c＝时取等号．]
二． 多选题
9．(多选题)(2020·山东莱州一中月考)在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是(　　)

A．||2＝·
B．||2＝·
C．||2＝·
D．||2＝
ABD　[由·＝||·||cos A＝||·||，由射影定理可得||2＝·，即选项A正确；由·＝||·||cos B＝||·||，由射影定理可得||2＝·，即选项B正确；由·＝||·||cos(π－∠ACD)<0，又||2＞0，即选项C错误；由图可知Rt△ACD∽Rt△ABC，
所以|AC||BC|＝|AB||CD|，由选项A，B可得||2＝，即选项D正确．]
10．(多选)设a，b是两个非零向量．则下列命题为假命题的是(　　 )
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
答案　ABD
解析　对于A，若|a＋b|＝|a|－|b|，
则|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|，
得a·b＝－|a||b|≠0，a与b不垂直，所以A为假命题；
对于B，由A解析可知，若a⊥b，则|a＋b|≠|a|－|b|，所以B为假命题；
对于C，若|a＋b|＝|a|－|b|，
则|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|，
得a·b＝－|a||b|，则cos θ＝－1，
则a与b反向，因此存在实数λ，使得b＝λa，所以C为真命题．
对于D，若存在实数λ，使得b＝λa，
则a·b＝λ|a|2，－|a||b|＝λ|a|2，由于λ不能等于0，
因此a·b≠－|a||b|，则|a＋b|≠|a|－|b|，
所以D不正确．
故选ABD.
11．(多选)设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是(　　 )
A．(a·b)c－(c·a)b＝0
B．|a|－|b|＜|a－b|
C．(b·c)a－(a·c)b不与c垂直
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
答案　BD
解析　由于b，c是不共线的向量，因此(a·b)c与(c·a)b相减的结果应为向量，故A错误；
由于a，b不共线，故a，b，a－b构成三角形，因此B正确；
由于[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，故C中两向量垂直，故C错误；
根据向量数量积的运算可以得出D是正确的．
故选BD.
三． 填空题
12．(2020·山东德州期中)已知向量与的夹角为60°，且||＝2，|AC|＝1，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值是__________.
－1　[∵＝λ＋，⊥，
∴·＝(λ＋)·＝λ·＋2＝λ×2×1×cos 60°＋1＝λ＋1＝0，∴λ＝－1.]
13．已知点M，N满足||＝||＝3，且|＋|＝2，则M，N两点间的距离为________．
解析：依题意，得|＋|2＝||2＋||2＋2·＝18＋2·＝20，则·＝1，
故M，N两点间的距离为||＝|－|
＝ ＝＝4.
答案：4
14．在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足||＝，则·的取值范围为________．
解析：不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，
线段AC的方程为x＋y－2＝0(0≤x≤2)．
设M(a,2－a)，N(a＋1,1－a)(由题意可知0＜a＜1)，
∴＝(a,2－a)，＝(a＋1,1－a)，
∴·＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a)
＝2a2－2a＋2＝22＋，
∵0＜a＜1，∴由二次函数的知识可得·∈.
答案：
15．(2020·景德镇模拟)已知两个单位向量a，b的夹角为30°，c＝ma＋(1－m)b，b·c＝0，则m＝________.
答案　4＋2
解析　b·c＝b·[ma＋(1－m)b]＝ma·b＋(1－m)b2
＝m|a||b|cos 30°＋(1－m)|b|2＝m＋1－m＝0，
所以m＝4＋2.
16．(2019·镇江模拟)已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E，F分别在边AD，DC上，＝(＋)，＝，则·＝________.
答案　
解析　连接AC，BD交于点O，以O为原点，以，的方向分别为x轴、y轴的正方向建立直角坐标系，如图所示，

∵菱形边长为2，∠ABC＝60°，
∴A(－1,0)，B(0，－)，C(1,0)，D(0，)，
∵＝(＋)，
∴E为AD的中点，∴E，
∵＝，∴F，
∴＝，＝，
∴·＝－＋＝.

四． 解答题
17．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．
解　(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，
所以a·b＝－6，所以cos θ＝＝＝－.
又0≤θ≤π，所以θ＝.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，
所以|a＋b|＝.
(3)因为与的夹角θ＝，
所以∠ABC＝π－＝.
又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
所以S△ABC＝||||·sin∠ABC
＝×4×3×＝3.
18．已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f (x)＝a·b，求f (x)的最大值和最小值以及对应的x的值．
解　(1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，所以－cos x＝3sin x.
若cos x＝0，则sin x＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，
故cos x≠0，于是tan x＝－.
又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f (x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)
＝3cos x－sin x＝2cos.
因为x∈[0，π]，所以x＋∈，
从而－1≤cos≤.
于是，当x＋＝，即x＝0时，f (x)取得最大值3；
当x＋＝π，即x＝时，f (x)取得最小值－2.
19.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1,0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．