第一章第三节不等式与不等关系-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

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这是一份第一章第三节不等式与不等关系-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案，文件包含第一章第三节不等式与不等关系原卷版docx、第一章第三节不等式与不等关系解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共17页，欢迎下载使用。

第三节不等关系与不等式
知识回顾
．不等式的性质
为了利用不等式研究不等关系，需要对不等式的性质进行了解：
关于实数a，b大小的比较，有以下事实：
如果是正数，那么；如果等于零，那么；如果是负数，那么．反过来也对．用符号表示为：
可以证明：不等式具有以下性质：
性质
别名
性质内容
注意
性质1
对称性
a>b⇔b 可逆
性质2
传递性
a>b，b>c⇒a>c

性质3
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
可逆
性质4
可乘性
⇒ac>bc
c的
符号
⇒ac 性质5
同向可加性
⇒a＋c>b＋d
同向
性质6
同向同正可乘性
⇒ac>bd
同向
性质7
可乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n≥2)
同正
性质8
可开方性
a>b>0⇒>(n∈N*，n≥2)

一元二次不等式的解集
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象

方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
有两相异实根x1，x2(x1 有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
{x|xx2}

{x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
{x|x1< x ∅
∅

课前检测
1．下列不等式中，恒成立的是(　　)
A．a2>0 B．lg(a2＋1)>0 C.>0 D．3a>0
解析：当a＝0时，A、B两项中的不等式不成立；当a<0时，C项中的不等式不成立；由指数函数的值域知D项中的不等式恒成立．
答案：D
2．若a>0，b>0，则不等式－b< A．－ D．x<－或x>
解析：当x>0时，由0<；当x<0时，由－b<<0得x<－.故原不等式等价于x<－或x>.
答案：D
3．已知a，b为非零实数，且a A．a2 答案：C
4．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大小关系为________．
解析：∵0<<1，∴指数函数f(x)＝ax在定义域内为减函数，又∵f(m)>f(n)，∴m 答案：m 5．对于实数a、b、c，判断下列命题的真假．
(1)若a>b，则acbc2，则a>b； (3)若aab>b2；
(4)若a|b|； (5)若c>a>b>0，则>； (6)若a>b，>，则a>0，b<0.
解：(1)由于c的符号未知，因而不能判断ac与bc的大小．故该命题是假命题．
(2)∵ac2>bc2，∴c≠0，∴c2>0，∴a>b.故该命题为真命题．
(3)∵∴a2>ab.又∴ab>b2，∴a2>ab>b2.故该命题为真命题．
(4)两个负数，离原点远的数小，绝对值反而大．故该命题为真命题．
(5)∵c>a>b>0，∴0，∴>. 故该命题为真命题．
(6)由已知条件，得b－a<0，－>0，∴>0，∴ab<0，又a>b，∴a>0，b<0.
故该命题为真命题.
课中讲解
考点一．比较两数(式)的大小
例1　(1)若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　)
A．p C．p>q D．p≥q
答案　B
解析　(作差法)p－q＝＋－a－b
＝＋＝(b2－a2)·
＝＝，
因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.
若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；
若a≠b，则p－q<0，故p 综上，p≤q.故选B.
(2)已知a>b>0，比较aabb与abba的大小．
解　∵＝＝a－b，
又a>b>0，故>1，a－b>0，
∴a－b>1，即>1，
又abba>0，∴aabb>abba，
∴aabb与abba的大小关系为aabb>abba.
思维升华　比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．
变式1　(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为________．
答案　M>N
解析　因为M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以M>N.
(2)若a>0，且a≠7，则(　　)
A．77aa<7aa7
B．77aa＝7aa7
C．77aa>7aa7
D．77aa与7aa7的大小不确定
答案　C
解析　＝77－aaa－7＝7－a，
则当a>7时，0<<1,7－a<0，
则7－a>1，∴77aa>7aa7；
当01,7－a>0，
则7－a>1，∴77aa>7aa7.
综上，77aa>7aa7.
考点二．不等式性质的应用
例1　(1)(2020·武汉部分市级示范高中联考)下列命题中正确的是(　　)
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若a>b，c
C．若a>b，c>d，则a－c>b－d
D．若ab>0，a>b，则<
答案　D
解析　对于A选项，当c＝0时，不成立，故A选项错误；当a＝1，b＝0，c＝－2，d＝－1时，<，故B选项错误；当a＝1，b＝0，c＝1，d＝0时，a－c＝b－d，故C选项错误，故D选项正确．
(2)(多选)若<<0，则下列结论正确的是(　　)
A．a2 C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|
答案　ABC
解析　由题意可知b 思维升华　判断不等式的常用方法：一是用性质逐个验证；二是用特殊值法排除．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．
变式1　(1)(多选)(2019·天津市河北区模拟)若a，b，c∈R，给出下列命题中，正确的有(　　)
A．若a>b，c>d，则a＋c>b＋d
B．若a>b，c>d，则b－c>a－d
C．若a>b，c>d，则ac>bd
D．若a>b，c>0，则ac>bc
答案　AD
解析　∵a>b，c>d，由不等式的同向可加性得a＋c>b＋d，故A正确；由A正确，可知B不正确；取4>－2，－1>－3，则4×(－1)<(－2)×(－3)，故C不正确；∵a>b，c>0，∴ac>bc.故D正确．综上可知，只有AD正确．故选AD.
(2)已知a，b，c满足c A．ab>ac B．c(b－a)<0
C．cb20
答案　A
解析　由c0.
由b>c，得ab>ac一定成立．
例2.（2020·河北省石家庄二中高一期末）若、、为实数，则下列命题正确的是（）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
（答案）B
（解析）对于A选项，若，则，故A不成立；
对于B选项，，在不等式同时乘以，得，
另一方面在不等式两边同时乘以，得，，故B成立；
对于选项C，在两边同时除以，可得，所以C不成立；
对于选项D，令，，则有，，，所以D不成立.
故选B.
变式2.（山东日照高一期末）已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.c≥b>a B.a>c≥b
C.c>b>a D.a>c>b
（答案）A
（解析）∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.
又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，
∴b－a＝a2－a＋1＝＋>0，
∴b>a，∴c≥b>a.

变式3. 若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是(　　)
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
（答案）C
（解析）方法一　因为＜＜0，故可取a＝－1，b＝－2.
显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D.
方法二　由＜＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0.故有＜，即①正确；
②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；
③中，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，
所以a－＞b－，故③正确；
④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误.由以上分析，知①③正确.
考点三一元二次不等式
例1. （2020·山东省实验高一月考）不等式的解集为，则能使不等式成立的的集合为（）.
A． B． C． D．
（答案）BC
（解析）因为不等式的解集为，
所以和是方程的两根且，
所以，，所以,,
由，得,
得,因为,所以,所以或,
所以不等式的解集为或,故选:BC.
变式1. （辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019-2020学年高二上学期期末）关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_______．
（答案）
（解析）
由于不等式的解集是，所以且，故.所求不等式可化为，即，解得.
例2.（河北省鸡泽一中2017-2018学年高二下学期第一次月考）在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x都成立，则(　　)
A. B. 0＜a＜2 C. －1＜a＜1 D. [来源:Zxxk.Com]
（答案）A
（解析）由已知，得，
即，
令，只需，
又，由，
所以，即，
解得，故选A．
变式2. （安徽蚌埠二中2019届模拟）若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值是(　　)
A.0 B.－2 C.－ D.－3
（答案）C
（解析）由于x∈，若不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，
则a≥－，x∈时恒成立，
令g(x)＝x＋，x∈，
易知g(x)在上是减函数，则y＝－g(x)在上是增函数.
∴y＝－g(x)的最大值是－＝－.
因此a≥－，则a的最小值为－.
变式3. （福建泉州五中2019届模拟）若对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围。
（解析）由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m
＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，
所以
解得x＜1或x＞3.
故x的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)．

变式4. （江苏扬州中学2019届质检）对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，2) B.(－∞，2]
C.(－2，2) D.(－2，2]
（答案）D
（解析）当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立；
当a－2≠0，即a≠2时，
则有
解得－2 综上，实数a的取值范围是(－2，2].
课后练习
一单选
1．(2019·张家界期末)下列不等式中，正确的是(　　)
A．若ac2>bc2，则a>b
B．若a>b，则a＋c C．若a>b，c>d，则ac>bd
D．若a>b，c>d，则>
答案　A
解析　若a>b，则a＋c>b＋c，故B错；设a＝3，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac 2．若a，b∈R，且a>|b|，则(　　)
A．a<－b B．a>b
C．a2
答案　B
解析　由a>|b|得，当b≥0时，a>b，当b<0时，a>－b，综上可知，当a>|b|时，则a>b成立，故选B.
3．若a A.> B．a2 C.< D．an>bn
答案　C
解析　(特值法)取a＝－2，b＝－1，n＝0，逐个检验，可知A，B，D项均不正确；
C项，<⇔|b|(|a|＋1)<|a|(|b|＋1)
⇔|a||b|＋|b|<|a||b|＋|a|⇔|b|<|a|，
∵a 4．已知<<0，则下列选项中错误的是(　　)
A．|b|>|a| B．ac>bc
C.>0 D．ln >0
答案　D
解析　<<0，
当c<0时， >>0，即b>a>0，
∴|b|>|a|, ac>bc, >0成立，即A，B，C成立；
此时0<<1，∴ln <0，D错误．
同理，当c>0时，A，B，C也正确．故选D.
5．设M＝，N＝()x＋y，P＝(其中0 A．P C．P 答案　A
解析　M＝>＝()x＋y＝N，
又N＝()x＋y＝>＝P，
∴M>N>P.
6．(2020·天津模拟)若α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是(　　)
A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<π
C．－<2α－β< D．0<2α－β<π
答案　C
解析　 ∵－<α<，∴－π<2α<π.
∵－<β<，∴－<－β<，
∴－<2α－β<.
又α－β<0，α<，∴2α－β<.
故－<2α－β<.
7．若a A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
解析：＋＝＝.
∵a0，a－c<0，a－b<0，∴>0.
答案：A
8．已知a，b，c，d为实数，则“a>b且c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案　A
解析　因为c>d，所以c－d>0.
又a>b，所以两边同时乘(c－d)，得a(c－d)>b(c－d)，
即ac＋bd>bc＋ad.
若ac＋bd>bc＋ad，则a(c－d)>b(c－d)，
也可能a 所以“a>b且c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的充分不必要条件．
9．若a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．a C．c 答案　B
解析　方法一　对于函数y＝f (x)＝(x>e)，y′＝，
易知当x>e时，函数f (x)单调递减．
因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c 方法二　易知a，b，c都是正数，
因为＝＝log8164<1，所以a>b；
因为＝＝log6251 024>1，
所以b>c.即c
二多选题
10. 下列命题为真命题的是（）
A．若,则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】　BC
【解析】A项，=所以A选项是错误的；B项, 若,可得：，故，故B正确；C项，若可得，由可得：，故C正确；D项，举当时，则不成立，故D不正确；故选：BC.
11．已知关于的不等式的解集为，则（）
A． B．不等式的解集是
C． D．不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】关于的不等式的解集为，，A选项正确；
且-2和3是关于的方程的两根，由韦达定理得
，则，则，C选项错误；
不等式即为，解得，B选项正确；
不等式即为，即，解得或，D选项正确.
12.(多选)若a A.>
B.>
C．
D.>
答案　ABC
解析　对于A，∵a，故A正确；对于B，∵a，故B正确；根据幂函数的单调性可知C正确；对于D，∵ab2>0，∴<，故D错误．

13.关于x的不等式(ax－1)(x＋2a－1)>0的解集中恰有3个整数，则a的值可以为(　　)
A．－ B．1 C．－1 D．2
【答案】AC
【解析】由题意知a<0，则排除B，D；对于A项，当时，，
即(x＋2)(x－2)<0，解得－20，
三填空
14．若1<<，则有如下结论：①logab>logba；②|logab＋logba|>2；③(logba)2<1；④|logab|＋|logba|>|logab＋logba|.
其中，正确的结论是________(填序号)．
解析：用特殊值法．由1<<，知0 令a＝，b＝，则logab＝2，logba＝.
可判定①②③均正确，④不正确．
答案：①②③
15．已知12 解析：由b的范围，可求－b的范围，的范围，再由不等式性质，可求a－b的范围，的范围．由15