初中数学北师大版七年级下册7 整式的除法教学设计

1.7.1整式的除法

教学目标：

1．经历探索单项式除以单项式的运算法则的过程，会进行单项式与单项式的除法运算.

2．理解单项式除以单项式的除法运算算理，发展有条理的思考及表达能力.

教学重点与难点：

重点：单项式除以单项式的运算法则及其应用.

难点：单项式除以单项式的运算法则的探索过程.

课前准备：多媒体课件.

教学过程：

一、创设情境，导入新课

活动内容：我们都知道“先看见闪电，后听见雷声”，那是因为在空气中光的传播速度比声音快. 科学家们发现，光在空气中的传播速度约为3×108m/s，而声音在空气中的传播速度约为3×102m/s，你能知道光的传播速度是声音的多少倍吗？

处理方式：要求学生在练习本上列出算式，并写出计算过程. 根据题意可得3×108÷3×102，在计算时学生采用的方法可能是多样的，即可利用(3÷3)×(108÷102)=106计算，也可写出分数的形式，利用约分来计算，又可利用乘除法互为逆运算来求解. 此时可组织学生讨论交流，比较解题方法的异同，只要学生能说出理由即可.

设计意图：创设学生熟悉的“声音与闪电”问题，并通过一题多解可有效地激发学生的学习兴趣和求知欲望，调动学生的学习积极性，使他们进入积极思维状态，有助于理解所要学习的新知识.

二、探究学习，感悟新知

活动内容1：（多媒体出示：自学课本P28，时间7分钟，完成下列问题）

1．计算下列各题：（1）x5y÷x2；     （2）8m2n2÷2m2n；　（3）a4b2c÷3a2b.

2．结合题目说说如何进行单项式除以单项式的计算？你能用自己的语言有条理地描述单项式除以单项式法则吗？

处理方式：让学生先自学，然后思考，再交流不同的解法. 学生的解题方法不惟一，常见的有两种：①利用乘法与除法互为逆运算计算，②利用类似分数约分的方法计算. 两种方法都应给予肯定，其实质是相同的，但鼓励学生利用第①种方法. 例如，根据单项式乘以单项式法则，欲求8m2n2÷2m2n的值，可以想象2m2n·______= 8m2n2，由于8÷2=4，m2÷m2=1，n2÷n=n . 即2m2n·__4n _=8m2n2，所以8m2n2÷2m2n =4n ，最后让学生总结出单项式除以单项式法则，教师板书.

设计意图：结合实例的计算过程，让学生明确单项式相除，可以分为系数、同底数幂、只在被除式里含有的字母三部分运算. 即把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 实际上单项式相除是在同底数幂的基础上进行的.

活动内容2：（多媒体出示）

1．计算下列各题：

（1）；    （2）－16a5bc÷a2b.

2．比较“单项式乘以单项式”法则和“单项式除以单项式”法则.

处理方式：先让学生到黑板板演两个小题，然后结合题目来观察、思考、交流，并回答问题；在学生口述过程中，若学生回答的不完整，可由其他同学补充，或者由教师进行有针对性的提问，如①系数如何计算？②同底数幂如何计算？③单独出现的幂如何处理？

设计意图：通过对比单项式的乘法法则和单项式的除法法则，寻求其异同点，便于学生熟练掌握单项式的除法法则，并将本章的前后知识有机地联系起来，使之形成一个完整的知识网络.

活动内容3：利用单项式的除法解决实际问题（多媒体出示）

如图所示，三个大小相同的球恰好放在一个圆柱形的盒子里，三个球的体积之和占整个盒子容积的几分之几？

处理方式：先让学生写出球的体积公式和圆柱的体积公式，指导学生认真审题；再以小组为单位，自主解决问题，对学习困难的小组适时点拨，让其发现球的直径与圆柱的高之间存在的数量关系；最后多媒体展示解题过程，本题的解法不惟一，常见的有以下两种：

解法1：设球的半径为r，则圆柱形的盒子高为6r.

根据题意，得3·÷(·6r)=÷6=.

因此，三个球的体积之和占整个盒子容积的.

解法2：设球的半径为r.

根据题意得÷(·2r)=÷2=.

由于一个球的体积占盒子容积的三分之一的比例，与三个球的体积占整个盒子容积的比例是一样的. 因此，三个球的体积之和占整个盒子容积的.

设计意图：设计本题的目的仍然是让学生熟练掌握单项式除以单项式法则，由于本题是一个实际应用问题，条件较隐蔽，需要自己挖掘已知条件与所求问题之间的关系，因此，小组合作学习就成了解决本题的一条有效途径.

三、例题解析，应用新知

活动内容1：单项式除法法则不仅适用于两个单项式相除，还适用于三个及以上单项式相除，其指数不仅可以是数字，还可以是字母（多媒体出示）.

例1：计算下列各题：

（1）3÷()

（2）16a7b5c2÷(－4a3b2)÷(2abc)

处理方式：让两名学生到黑板板演解题步骤，其余学生在练习本上做题，教师边巡视边用红笔批改. 多媒体展示学生的解题过程，并让其他学生订正. 学生解题后反思得：第（1）题指数是“字母”与指数是“数字”其解题方法是一样的，仍是直接利用法则计算，其结果为；第（2）题既可从前向后依次计算，亦可“整体”计算，即原式=[16÷(－4)÷2](a7÷a3÷a)(b5÷b2÷b) (c2÷c)=－2a3b2c.

设计意图：先由学生板书，其余学生对板书步骤进行观察、交流，然后在练习本上互评，让学生在错误中成长，这样的体验会让学生印象更深些，认识也会更全面些.最后让学生感悟本例题是用来说明什么问题的.

变式训练：（多媒体展示）

1．若÷，则2m÷5n的值为________.

2．写出一个单项式除以单项式的算式，使其结果为2x2y，你写出的算式为_________.

处理方式：对于变式1，让学生思考两式在相除时，其系数、相同字母的指数是如何变化的？对于变式2，旨在培养学生的发散思维能力，其答案不惟一，只要结果正确即可，可利用投影多展示一些学生的算式，并借助投影对学生出现的问题进行矫正. 学生做题时，教师巡视，发现问题及时点拨.

设计意图：通过变式训练，开阔了学生的视野，提升了学生的能力，使学生对单项式的除法法则有了更明确的认识，并能多角度地审视同一个知识点. 在学习活动中，学生获得了成功的体验，增强了自信.

活动内容2：我们已经学习了积的乘方及单项式的乘、除法法则，那么如何计算一些整式的“混合”计算题呢？（多媒体展示）

例2 计算下列各题：

（1）(2x2y)3·(－7xy2)÷(－14x2y3)

（2）[2(x＋y)2·(x＋y)3]÷4(x＋y)2

处理方式：先让学生回答在“混合”运算中，其运算顺序是什么？完成后，让学生进行纠错、评价. 对于出现的问题及时强调，如：符号问题，指数的变化等问题；最后多媒体展示解题过程.

（1）(2x2y)3·(－7xy2)÷(－14x2y3)  ------------（先算积的乘方）

=(8x6y3)·(－7xy2)÷(－14x2y3)  ------------（再算单项式乘以单项式）

=(－56x7y5)÷(－14x2y3)  ------------（最后算单项式除以单项式）

=4x5y2.

（2）[4(x＋y)2·(x＋y)3]÷2(x＋y)2  ------------（把“x＋y”作为一个整体）

=4(x＋y)5÷2(x＋y)2  - ------------（单项式除以单项式）

=2(x＋y)3.

设计意图：在问题（1）中，让学生明确类比“数”的混合运算，来化简“式”的混合运算；在问题（2）中，让学生明确(x＋y)要当作一个“整体”来参与计算，即底数可以为多项式，不需要把(x＋y)2和(x＋y)3计算出来. 本例较好地培养了学生的类比思想和整体思想.

变式训练：（多媒体展示）

1．已知(ambn)3÷(ab2)2=a4b5，那么m、n的值分别为（      ）.

A．m=2，n=7           B．m=3，n=2

C．m=2，n=3           D．m=4，n=3

2．计算：2a4b3＋(4a3b2)2÷2a2b的结果是____________.

处理方式：先让学生尝试求解，然后以小组为单位讨论交流、回答，要求学生先说每题的算理，再说结论，教师要适时总结. 在问题（1）中，先计算出等式的左边，把得到的单项式与右边的单项式比较，利用相同字母的指数相同，即可求出，的值；在问题（2）中，仍然要注意运算顺序，先算乘方，再算除法，最后再合并同类项.

设计意图：变式训练由易到难，循序渐进，较好地培养了学生的分析能力和运算能力，同时也能激发学生学习的积极性和主动性，满足学生的表现欲和探究欲.

四、回顾反思，提炼升华

师：在本节课的学习过程中，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？还有什么疑问？先想一想，请与同学交流.

处理方式：学生畅谈自己的收获，教师强调注意事项！

设计意图：鼓励学生谈收获，让学生及时地反思总结，评价自己的学习表现，可以培养学生的概括能力和语言表达能力，有利于学生看到自己的优点和不足，以及今后改正的方向，同时也有助于学习习惯的培养.

五、达标检测，反馈提高

师：通过本节课的学习，相信同学们已经理解了单项式除以单项式法则了，为了检查同学们的掌握情况，请完成导学案中的达标检测题.（同时多媒体出示）

A组：

1．计算－8a6b3÷2a3b2的结果为（       ）.

A．4a3b         B．－4a2b2         C．－4a3b           D．2a2b2

2．李密在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（      ）.

A．÷=               B．÷=

C．÷=             D．÷=

3．一个单项式乘以的结果是9x3y2z，则这个单项式是__________.

4．计算下列各题：

（1）(4­ab2)3÷(－2ab2)2

（2）6(x＋y)5÷3(x＋y)3

（3）3(xy)2(－x2y)÷(－x3y)

B组：

1．一个长方体的长为2mn，宽为mn2，体积为5m4n 4，则该长方体的高为_______.

2．贝贝在进行两个单项式的除法时，不小心把除以2a2b2错抄成乘以2a2b2，结果得到－8a5b4c2，则其正确结果为___________.

处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况，学生根据答案进行纠错，并进行“兵教兵”和“兵帮兵”活动.

设计意图：通过检测纠错，有针对性地对所学知识进行巩固、落实，对学生存在的问题及时反馈，然后根据学生的掌握的情况，有针对性地进行点拨. 对于测试完成较好的学生应及时给予激励性的表扬，对于完成不好的学生应及时帮扶或课后辅导.

六、布置作业，课堂延伸

必做题：课本29页  习题1.13  第1题、第2题、第3题.

选做题：课本30页  习题1.13  第5题.

设计意图：分层作业的设置，为学生搭建不同高度的学习平台，以满足不同层次学生学习数学的需要，有利于个性化巩固提高的要求. 让每个学生都有成就感，增强了学生学习数学的信心，真正做到面向全体学生.

结束语：

师：本节课我们主要探索了单项式除以单项式法则，要从三个方面来识记它. 整式的除法是整式的运算之一，具体有单项式除以单项式和多项式除以单项式两种运算，充分理解并熟练掌握单项式的除法法则是下节课学习多项式除以单项式法则的基础和关键.

板书设计：