2019-2020学年某校九年级（上）月考数学试卷（二）

这是一份2019-2020学年某校九年级（上）月考数学试卷（二），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 方程4x(x−2)＝25化成一般形式后，它的常数项是−25，则一次项系数是（ ）
A.−2B.4C.8D.−8

2. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是中心对称图形的是（ ）
A.中B.国C.富D.强

3. 若关于x的一元二次方程x2+2x−m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值是（ ）
A.m≥1B.m≤1C.m>−1D.m<−1

4. 在平面直角坐标系中，有A(−1, −2)、B(2, −1)、C(−2, −1)、D(−2, 1)四点，其中，关于原点对称的两点为（ ）
A.点A和点CB.点B和点CC.点C和点DD.点B和点D

5. 抛物线y=−12x2向左平移1个单位，再向下平移1个单位后的抛物线解析式是（ ）
A.y=−12(x+1)2+1B.y=−12(x+1)2−1
C.y=−12(x−1)2+1D.y=−12(x−1)2−1

6. 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点…，若该三角点阵前n行的点数和为300，则n的值为（ ）

A.30B.26C.25D.24

7. 以原点为中心，把点A(4, 5)逆时针旋转90∘，得点B，则点B坐标是（ ）
A.(−4, 5)B.(−5, 4)C.(−5, −4)D.(5, −4)

8. 已知抛物线y=ax2−2ax−2开口向下，(−2, y1)、(3, y2)、(0, y3)为抛物线上的三个点，则( )
A.y3>y2>y1B.y1>y2>y3C.y2>y1>y3D.y1>y3>y2

9. 抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
则下列结论中：①抛物线的对称轴为直线x＝−1；②m=52；③当−4A.1个B.2个C.3个D.4个

10. 如图，△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC内一点，∠APB＝∠BAC＝120∘．若AP+BP＝6且AP不小于2，则PC的最小值为（ ）

A.3B.C.D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

一元二次方程x2−c＝0的一个根是2，则常数c的值是________．

如图所示，将一个顶角为30∘角的等腰△ABC绕点A旋转，使得点B′、A、C在同一条直线上，则△ABC旋转的角度是________​∘．


汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s=15t−6t2，汽车刹车后到停下前进了________m．

设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么上部应设计为多高？设雕像的上部高为xm，列方程，并化成一般形式是________．

如图，△ABC中，AB>AC，AD是中线，AB＝10，AD＝7，∠CAD＝45∘，则BC＝________．

二次函数y＝ax2+2x−2，若对满足30成立，则实数a的取值范围为________≥− ．
三、解答题（共8题，共72分）

解方程：x2−4x−7＝0．

如图，在△ABC中，∠BAC＝20∘．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得BB′ // AC，求∠CAC′的度数．


抛物线y＝ax2+bx+c经过A(1, 9)、B(−1, 1)、C(0, 3)三点．
（1）求此二次函数的解析式；

（2）当x ≥−1 时，y随x增大而增大；函数的顶点坐标为________；

（3）根据图象，直接写出当3
如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，A(1, 0)、C(0, 7)．

（1）在方格纸中画出平面直角坐标系，写出B点的坐标：B （6，5） ；

（2）直接写出△ABC的形状：________，直接写出△ABC的面积________；

（3）若D(−1, 4)，连接BD交AC于E，则＝________．

已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；

（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，求x12+x22的最小值．

商场购进一批儿童智力玩具，调查发现：该玩具的月销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，下表是销售单价与月销售量、月销售利润的对应值分别如下：

（1）直接写出y与x的函数关系式________；

（2）根据以上信息填空：
①m＝________；该商场购进玩具单价________元/个；
②求w与x的函数关系式，并求出当销售单价x定为多少时，月销售利润最大？

（3）由于生产玩具成本增加，商场购进玩具单价提高n元/个（0
已知，如图，等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120∘．

（1）如图1，将△ABC绕A点旋转得到△ADE，BD、EC相交于点H，求∠H；

（2）如图2:E为直线AC右边一点，连EB、EA，EC．若∠BEA=60∘，AEBE＝23，求ACAE；

（3）如图3：若AB=4，点P是BC上一动点，Q是线段CA延长线上一定点，R在PQ的右侧，且∠PQR=90∘，PQ=2QR．当P从B运动到C的过程中，R的路径长为________．

已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A(−1, 0)、B(3, 0)两点．

（1）求抛物线解析式；

（2）抛物线与y轴交于点C，在抛物线上存在点P，使S△BAP＝S△CAP，求P点坐标；

（3）已知直线l:y＝2x−1，将抛物线沿y＝2x−1方向平移，平移过程中与l相交于E、F两点．设平移过程中抛物线的顶点的横坐标为m，在x轴上存在一点P，使∠EPF＝90∘，求m的范围．
参考答案与试题解析
2019-2020学年湖北省某校九年级（上）月考数学试卷（二）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.
【答案】
D
【考点】
一元二次方程的一般形式
【解析】
一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0(a，b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】
4x(x−2)＝25化成一元二次方程一般形式是2x2−8x−25＝6，
它的二次项系数是4，一次项系数是−8．
2.
【答案】
A
【考点】
中心对称图形
【解析】
利用中心对称图形的定义判断即可．
【解答】
A、是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、不是中心对称图形．
3.
【答案】
C
【考点】
根的判别式
【解析】
根据判别式的意义得到△＝22+4m>0，然后解不等式即可．
【解答】
根据题意得△＝22+4m>0，
解得m>−1．
4.
【答案】
D
【考点】
关于原点对称的点的坐标
【解析】
根据关于原点对称，横纵坐标都互为相反数即可得出答案．
【解答】
B(2, −1)与D(−7，
5.
【答案】
B
【考点】
二次函数图象与几何变换
【解析】
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】
由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线y=−12x2向左平移1个单位，再向下平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为y=−12(x+1)2−1．
6.
【答案】
D
【考点】
规律型：数字的变化类
规律型：点的坐标
规律型：图形的变化类
【解析】
由于第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…，则前五行共有(1+2+3+4+5)个点，前10行共有(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)个点，前n行共有1+2+3+4+5+...+n=12n(n+1)个点，然后建立方程求出n的数值即可．
【解答】
由题意得：
12n(n+1)＝300
解得：n＝24．
7.
【答案】
B
【考点】
坐标与图形变化-旋转
【解析】
画出图形，利用图象法即可解决问题．
【解答】
观察图象可知B(−5, 4)，
8.
【答案】
A
【考点】
二次函数的性质
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
将抛物线解析式配方成顶点式，得到其对称轴位置，再根据开口向下知离对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大，据此求解可得．
【解答】
解：∵ y=ax2−2ax−2=a(x−1)2−a−2，且抛物线开口向下，
∴ 离对称轴x=1的水平距离越小，对应的函数值越大，
∴ y3>y2>y1，
故选A.
9.
【答案】
C
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
二次函数的性质
抛物线与x轴的交点
【解析】
①函数的对称轴为：x＝−1，此时y=92，即可求解；
②函数的对称轴为：x＝−1，则m和52对应，即可求解；
③x＝2，y＝0，根据函数的对称性，x＝−4，y＝0，而当−40，即可求解；
④方程ax2+bx+c−4＝0的两根，相等于y＝ax2+bx+c和y＝x的加点，即可求解．
【解答】
①函数的对称轴为：x＝−1，此时y=92，故①符合题意；
②函数的对称轴为：x＝−1，则m和52对应，故②符合题意；
③x＝2，y＝0，根据函数的对称性，x＝−4，y＝0，而当−40，故③不符合题意；
④方程ax2+bx+c−4＝0的两根，相等于y＝ax2+bx+c和y＝x的加点，故④符合题意，
10.
【答案】
C
【考点】
等腰三角形的性质
含30度角的直角三角形
【解析】
把△APB绕点A逆时针旋转120∘得到△AP′C，作AD⊥PP′于D，根据旋转变换的性质和等腰三角形的性质得到∠AP′P＝30∘，根据直角三角形的性质得到PP′＝AP，根据勾股定理和配方法计算．
【解答】
把△APB绕点A逆时针旋转120∘得到△AP′C，作AD⊥PP′于D，
则AP＝AP′，∠PAP′＝120∘，
∴ ∠AP′P＝30∘，
∴ PP′＝AP，
∵ AP+BP＝6，
∴ BP＝8−PA，
在Rt△PP′C中，PC＝＝＝，
∵ AP不小于2，即AP≥3，
∴ 当PA＝2时，PC取最小值．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
【答案】
4
【考点】
解一元二次方程-直接开平方法
【解析】
将x＝2代入原式即可求出c的值．
【解答】
将x＝2代入x2−c＝3，
∴ 4−c＝0，
∴ c＝5，
【答案】
105
【考点】
旋转的性质
等腰三角形的性质
【解析】
根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．
【解答】
∵ AB＝BC，∠ABC＝30∘，
∴ ∠BAC＝75∘，
∵ 点B′、A、C在同一条直线上，
∴ ∠BAB′＝105∘
∴ △ABC旋转的角度是105∘，
【答案】
758
【考点】
二次函数的应用
二次函数的最值
【解析】
利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．
【解答】
解：∵ s=15t−6t2=−6(t−54)2+758，
∴ 汽车刹车后到停下来前进了758m．
故答案为：758．
【答案】
x2−6x+4=0
【考点】
黄金分割
【解析】
设雕像的上部高xm，则下部长为(2−x)m，然后根据题意列出方程即可．
【解答】
解：由题意得：
x2−x=2−x2，
整理得：x2−6x+4=0，
故答案为：x2−6x+4=0.
【答案】
2
【考点】
三角形的角平分线、中线和高
【解析】
作CH⊥AC于H，延长AD到E使DE＝AD＝7，连接CE，作EF⊥AC于F，作CH⊥AD于H，如图，先证明△ADB≅△EDC得到EC＝AB＝10，再利用△AEF为等腰直角三角形计算出AF＝EF＝7，则根据勾股定理可计算出CF＝，从而得到AC＝6，接着利用△ACH为等腰直角三角形得到AH＝CH＝6，然后利用勾股定理计算出CD，从而得到BC的长．
【解答】
作CH⊥AC于H，延长AD到E使DE＝AD＝7，作EF⊥AC于F，如图，
∵ AD是中线，
∴ BD＝CD，
在△ADB和△EDC中
，
∴ △ADB≅△EDC(SAS)，
∴ EC＝AB＝10，
在RtAEF中，∵ ∠DAC＝45∘，
∴ AF＝EF＝AE＝7，
在Rt△CEF中，CF＝＝，
∴ AC＝AF−CF＝6，
在Rt△ACH中，∵ ∠HAC＝45∘，
∴ AH＝CH＝AC＝6，
∴ DH＝AD−AH＝2，
在Rt△CDH中，CD＝＝，
∴ BC＝2CD＝3．
【答案】
a
【考点】
二次函数图象与系数的关系
抛物线与x轴的交点
【解析】
由题意可得ax2+2x−2>0，即为a>＝2[（-）​2−]对3【解答】
若对满足34成立，
即有ax2+2x−8>0，即为a>-）＝2[（-）​8−]对3由函数y＝2[（-）​4−]在<<，
即有x＝3，可得5[（-）​2−]＝-，
即有a≥−，
三、解答题（共8题，共72分）
【答案】
移项得：x2−4x＝7，
配方得：x2−4x+4＝7+4，
即(x−2)2＝11，
开方得：x−2＝±11，
∴ 原方程的解是：x1＝2+11，x2＝2−11．
【考点】
解一元一次方程
解一元二次方程-配方法
【解析】
移项后配方得出x2−4x+4＝7+4，推出(x−2)2＝11，开方后得出方程x−2＝±11，求出方程的解即可．
【解答】
移项得：x2−4x＝7，
配方得：x2−4x+4＝7+4，
即(x−2)2＝11，
开方得：x−2＝±11，
∴ 原方程的解是：x1＝2+11，x2＝2−11．
【答案】
∵ 将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，
∴ AB＝AB′，∠CAC′＝∠BAB′，
∴ ∠BB′A＝∠B′BA，
∵ BB′ // AC，
∴ ∠B′BA＝∠BAC＝20∘＝∠BB′A，
∴ ∠BAB′＝140∘，
∴ ∠CAC′＝140∘．
【考点】
旋转的性质
平行线的判定
【解析】
由旋转的性质可得AB＝AB′，∠CAC′＝∠BAB′，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠B′BA＝∠BAC＝20∘＝∠BB′A，即可求解．
【解答】
∵ 将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，
∴ AB＝AB′，∠CAC′＝∠BAB′，
∴ ∠BB′A＝∠B′BA，
∵ BB′ // AC，
∴ ∠B′BA＝∠BAC＝20∘＝∠BB′A，
∴ ∠BAB′＝140∘，
∴ ∠CAC′＝140∘．
【答案】
∵ 抛物线y＝ax2+bx+c经过C(0, 5)．
∴ c＝3
∵ 抛物线y＝ax2+bx+7经过A(1, 9)，7)
∴
解得：
∴ 二次函数的解析式为：y＝2x2+6x+3．
(−1, 1)
−3≤x<−2或0【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
二次函数的性质
待定系数法求二次函数解析式
【解析】
（1）由抛物线y＝ax2+bx+c经过C(0, 3)，得c＝3，再将A(1, 9)、B(−1, 1)代入该抛物线表达式，得二元一次方程组，解出a和b，从而可得抛物线的解析式；
（2）先求出抛物线的对称轴，再由二次项系数a的正负，得出何时y随x的增大而增大；根据对称轴，观察点B恰好为顶点；
（3）先求得当y＝3和当y＝9时，x的值，结合图象，即可得解．
【解答】
∵ 抛物线y＝ax2+bx+c经过C(0, 5)．
∴ c＝3
∵ 抛物线y＝ax2+bx+7经过A(1, 9)，7)
∴
解得：
∴ 二次函数的解析式为：y＝2x2+6x+3．
∵ y＝2x6+4x+3的对称轴为：x＝−2
a＝2>0
∴ 当x≥−6时，y随x的增大而增大；
∵ 点B(−1, 1)在抛物线上，
∴ 函数的顶点坐标为(−2, 1)．
故答案为：≥−1；(−2．
∵ 当x≥−1时，y随x的增大而增大
∴ 当3当y＝3时，由2x5+4x+3＝3得：
x＝−2或x＝0；
当y＝2时，由2x2+7x+3＝9得：
x＝−8或x＝1
结合函数图象可得：
当3【答案】
(3, 5)；
等腰三角形,20
【考点】
作图—应用与设计作图
相似三角形的性质与判定
勾股定理的逆定理
勾股定理
【解析】
（1）利用A点和C点坐标画出x轴与y轴，然后写出B点坐标；
（2）根据勾股定理得到AC＝＝5，AB＝＝5，求得△ABC是等腰三角形，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）设BD与y轴交于H，过B作BF⊥y轴于F，连接CD，根据勾股定理的逆定理得到∠DCB＝90∘，根据射影定理即可得到结论．
【解答】
如图，建立如图所示的平面直角坐标系，
则B点的坐标为(6, 5)，
故答案为：(3, 5)；
∵ AC＝＝6＝4，
∴ AC＝AB，
∴ △ABC是等腰三角形；△ABC的面积＝6×4−（×2×5+；
故答案为：等腰三角形；20；
设BD与y轴交于H，过B作BF⊥y轴于F，
∵ CD3＝10，BC2＝40，BD2＝50，
∴ CD3+BC2＝BD2，
∴ ∠DCB＝90∘，
∵ ∠ACO＝∠DBF，∠DBF+∠BHF＝90∘，
∴ ∠CEH＝90∘，
∴ CE⊥BC，
∴ CD7＝DE⋅BD，
∴ DE＝＝，
∴ BE＝4，
∴ ＝，
故答案为：．
【答案】
∵ 关于x的一元二次方程x2+(2k+8)x+k2＝0有实数根，
∴ △＝(3k+1)2−2×1×k2≥3，
解得k≥−；
∵ x2+x2＝−(2k+6)，x1x2＝k2，
∴ x12+x82＝(x1+x7)2−2x8x2
＝[−(2k+6)]2−2k7
＝2k2+2k+1
＝2(k+3)2−1，
∵ k≥−，
∴ 当k＝-时，x12+x62取得最小值，最小值为．
【考点】
根与系数的关系
根的判别式
【解析】
（1）由方程有实数根得出△≥0，据此列出关于k的方程，解之可得；
（2）先由韦达定理得出x1+x2＝−(2k+1)，x1x2＝k2，代入到x12+x22＝(x1+x2)2−2x1x2可得x12+x22=2(k+1)2−1，结合k≥−可得答案．
【解答】
∵ 关于x的一元二次方程x2+(2k+8)x+k2＝0有实数根，
∴ △＝(3k+1)2−2×1×k2≥3，
解得k≥−；
∵ x2+x2＝−(2k+6)，x1x2＝k2，
∴ x12+x82＝(x1+x7)2−2x8x2
＝[−(2k+6)]2−2k7
＝2k2+2k+1
＝2(k+3)2−1，
∵ k≥−，
∴ 当k＝-时，x12+x62取得最小值，最小值为．
【答案】
y＝−10x+530
80,20
2
【考点】
二次函数的应用
【解析】
（1）根据待定系数可求得y与x的函数关系式；
（2）①直接将x＝45代入可得m的值；
根据一个玩具的利润＝月销售利润÷月销售量，根据对应售价可得进价；
②根据月销售利润＝一个玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式，配方可得最大利润；
（3）根据利润列等式：2340＝(−10x+530)(x−20−n)＝−10(x−53)(x−20−n)，可得对称轴为x＝＝，由0【解答】
设y＝kx+b(k≠0)，
由题意得：，
解得：，
∴ y与x的函数关系式为：y＝−10x+530；
故答案为：y＝−10x+530；
①当x＝45时，m＝−45×10+530＝80，
该商场购进玩具单价为：30−(2300÷230)＝20（元），
故答案为：80；20．
②由题意得：
w＝(x−20)⋅y，
＝(x−20)(−10x+530)，
＝−10x2+730x−10600，
＝−10(x−36.3)2+2722.5，
∵ −10<7，
∴ 当x＝36.5时，y有最大值2722.5，
∴ w与x的函数关系式为w＝−10x7+730x−10600，
当销售单价x定为36.5元时，月销售利润最大．
由题意得：2340＝(−10x+530)(x−20−n)＝−10(x−53)(x−20−n)，
函数的对称轴为：x＝＝，
∵ 0∴ 20+n<53，且20<20+n≤27，
∴ ≤40，
∵ −10<0，
∴ 在对称轴的右侧，w随x的增大而减小，
∵ x≥40，
则函数在x＝40处取得最大值，将x＝40代入函数表达式得：
2340＝(−10x+530)(x−20−n)，解得：n＝2．
故答案为：2．
【答案】
如图1中，
由旋转的性质可知：AB=AD=AC=AE，∠BAD=∠CAE，
∴ ∠ABD=∠ADB，∠ACE=∠AEC，
∵ ∠CAE+2∠ACE=180∘，∠BAD+2∠ABD=180∘，
∴ ∠ACE=∠ABD，
∵ ∠ACE+∠ACH=180∘，
∴ ∠ACH+∠ABD=180∘，
∴ ∠H+∠BAC=120∘，∵ ∠BAC=120∘，
∴ ∠H=60∘．
如图2中，作AH⊥BE于H．
∵ AEBE=23，
∴ 可以假设AE=2k，BE=3k，
在Rt△AHE中，∠AEH=60∘，AE=2k，
∴ EH=12AE=k，AH=3EH=3k，
在RT△AHB中，AB=BH2+AH2=(2k)2+(3k)2=7k，
∵ AB=AC，
∴ AC=7k，
∴ ACAE=72．
23
【考点】
几何变换综合题
【解析】
（1）想办法证明∠H+∠BAC=120∘即可解决问题．
（2）如图2中，作AH⊥BE于H．可以假设AE=2k，BE=3k．解直角三角形求出AB即可解决问题．
（3）如图3中，连接BQ，作QJ⊥BQ，在BJ上截取QJ=12BQ，连接RJ．证明△BQP∽△JQR，推出∠QBP=∠QJR，BPJR=BQQJ=2，推出点R的运动轨迹是射线JR，当P从B运动到C时，BP=BC=2AB⋅cs30∘=43，点R的运动路径JR=12BC=23．
【解答】
如图1中，
由旋转的性质可知：AB=AD=AC=AE，∠BAD=∠CAE，
∴ ∠ABD=∠ADB，∠ACE=∠AEC，
∵ ∠CAE+2∠ACE=180∘，∠BAD+2∠ABD=180∘，
∴ ∠ACE=∠ABD，
∵ ∠ACE+∠ACH=180∘，
∴ ∠ACH+∠ABD=180∘，
∴ ∠H+∠BAC=120∘，∵ ∠BAC=120∘，
∴ ∠H=60∘．
如图2中，作AH⊥BE于H．
∵ AEBE=23，
∴ 可以假设AE=2k，BE=3k，
在Rt△AHE中，∠AEH=60∘，AE=2k，
∴ EH=12AE=k，AH=3EH=3k，
在RT△AHB中，AB=BH2+AH2=(2k)2+(3k)2=7k，
∵ AB=AC，
∴ AC=7k，
∴ ACAE=72．
如图3中，连接BQ，作QJ⊥BQ，在BJ上截取QJ=12BQ，连接RJ．
∵ ∠BQJ=∠PQR=90∘，
∴ ∠BQP=∠JQR，
∵ PQ=2QR，BQ=2QJ，
∴ BQQJ=PAQR，
∴ △BQP∽△JQR，
∴ ∠QBP=∠QJR，BPJR=BQQJ=2，
∴ 点R的运动轨迹是射线JR，
当P从B运动到C时，BP=BC=2AB⋅cs30∘=43，
∴ 点R的运动路径JR=12BC=23．
【答案】
抛物线的表达式为：y＝a(x+1)(x−3)＝a(x7−2x−3)，
故−4a＝1，解得：a＝−1，
故抛物线的表达式为：y＝−x3+2x+3…①；
①当点P在第一象限时，如下图左图：
过点C作AP的平行线，过点B作AP的平行线交y轴于点H，
当GH＝CG时，即点G是CH的中点时​△BAP＝S△CAP，
设点P(m, −m8+2m+3)，
将点P、A的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：
直线PA的表达式为：y＝(2−m)x+(3−m)，则点G(0，
同理BH的表达式为：y＝(3−m)x−3×(3−m)，则点H(4，
点G是CH的中点，则2(3−m)＝7+3m−9，
故点P（，）；
②当点P在第四象限时，如上图右侧图，
S△BAP＝S△CAP，则点B、C到直线AP的距离相等，
则CB // AP即满足条件，
同理可得：直线BC的表达式为：y＝−x+3，
同理可得：直线AP的表达式为：y＝−x−6…②，
联立①②并解得：x＝4，故点P(4，
③当点P在二、三象限时、C到直线AP的距离不相等；
综上，点P的坐标为：（，，−5)；
当以EF为直径的⊙R与x轴相切时，直线x上存在点P即切点，
当⊙R与x轴相交时，在x轴上存在点P（即交点），当⊙R与x轴相离时．
如下图，⊙R与x轴相切时，
设：点E、F的坐标分别为：(x1, y7)、(x2, y2)，
当平移后的抛物线顶点横坐标为m时，则抛物线向右平移了m−4个单位，则平移后抛物线的表达式为：y＝−(x−m)2+2m−6，
将上式与y＝2x−1联立并整理得：x5−(2m+2)x+m7+2m−1＝4，
则x1+x2＝5m−4，x1x3＝m2+2m−2，
则y1+y2＝5(x1+x2)−5＝4m−2，则点R(m+2，
则(x1−x2)4＝(x1+x2)3−4x1x2＝16，
PR＝EF3＝4PR2，
EF8＝(x1−x2)5+(y1−y2)4＝5(x1−x5)2＝5×16＝4PR2＝4[(5m−5)2+(7m−1)2]
解得：m＝，
故m的范围是：≤m<．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）抛物线的表达式为：y＝a(x+1)(x−3)＝a(x2−2x−3)，即可求解；
（2）①当点P在第一象限时，如下图左图：当GH＝CG时，即点G是CH的中点时，则S△BAP＝S△CAP，即可求解；②当点P在第四象限时，如上图右侧图，S△BAP＝S△CAP，则点B、C到直线AP的距离相等，即可求解；③当点P在二、三象限时，点B、C到直线AP的距离不相等，故点P不存在；
（3）当以EF为直径的⊙R与x轴相切时，直线x上存在点P即切点，使∠EPF＝90∘，当⊙R与x轴相交时，在x轴上存在点P（即交点），使∠EPF＝90∘，当⊙R与x轴相离时，不存在点P即可求解．
【解答】
抛物线的表达式为：y＝a(x+1)(x−3)＝a(x7−2x−3)，
故−4a＝1，解得：a＝−1，
故抛物线的表达式为：y＝−x3+2x+3…①；
①当点P在第一象限时，如下图左图：
过点C作AP的平行线，过点B作AP的平行线交y轴于点H，
当GH＝CG时，即点G是CH的中点时​△BAP＝S△CAP，
设点P(m, −m8+2m+3)，
将点P、A的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：
直线PA的表达式为：y＝(2−m)x+(3−m)，则点G(0，
同理BH的表达式为：y＝(3−m)x−3×(3−m)，则点H(4，
点G是CH的中点，则2(3−m)＝7+3m−9，
故点P（，）；
②当点P在第四象限时，如上图右侧图，
S△BAP＝S△CAP，则点B、C到直线AP的距离相等，
则CB // AP即满足条件，
同理可得：直线BC的表达式为：y＝−x+3，
同理可得：直线AP的表达式为：y＝−x−6…②，
联立①②并解得：x＝4，故点P(4，
③当点P在二、三象限时、C到直线AP的距离不相等；
综上，点P的坐标为：（，，−5)；
当以EF为直径的⊙R与x轴相切时，直线x上存在点P即切点，
当⊙R与x轴相交时，在x轴上存在点P（即交点），当⊙R与x轴相离时．
如下图，⊙R与x轴相切时，
设：点E、F的坐标分别为：(x1, y7)、(x2, y2)，
当平移后的抛物线顶点横坐标为m时，则抛物线向右平移了m−4个单位，则平移后抛物线的表达式为：y＝−(x−m)2+2m−6，
将上式与y＝2x−1联立并整理得：x5−(2m+2)x+m7+2m−1＝4，
则x1+x2＝5m−4，x1x3＝m2+2m−2，
则y1+y2＝5(x1+x2)−5＝4m−2，则点R(m+2，
则(x1−x2)4＝(x1+x2)3−4x1x2＝16，
PR＝EF3＝4PR2，
EF8＝(x1−x2)5+(y1−y2)4＝5(x1−x5)2＝5×16＝4PR2＝4[(5m−5)2+(7m−1)2]
解得：m＝，
故m的范围是：≤m<．x
……
−3
−2
−1
0
1
2
……
y
……
52
4
92
4
m
0
……
月销售单价x（元/个）
30
35
40
45
月销售量y（个）
230
180
130
m
月销售利润w（元）
2300
2700
2600
2000