2019-2020学年某校10月月考初三（上）数学试卷

这是一份2019-2020学年某校10月月考初三（上）数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( )
A.ax2+bx+c=0B.x2+1−x2=0
C.x2−x+2=0D.x2+1x​=2

2. 一元二次方程x(x−2)=2−x的根是（ ）
A.−1B.0C.1和2D.−1和2

3.
若关于x的一元二次方程(a−1)x2+3x−2=0有实数根，则a的取值范围是( )
A.a>−18B.a≥−18且a≠1
C.a>−18且a≠1D.a≥−18

4. 如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米​2，则修建的路宽应为( )

A.1米B.1.5米C.2米D.2.5米

5. 如图，函数y=ax2−2x+1和y=ax−a(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( )
A.B.
C.D.

6. 将二次函数y=x2−8x−9化为y=a(x−ℎ)2+k的形式为（ ）
A.y=(x−4)2+7B.y=(x−4)2−25
C.y=(x+4)2+7D.y=(x+4)2−25

7. 点A(−1, y1)，B(2, y2)，C(3, y3)都在二次函数y=(a2+1)x2+2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A.y1y2>y3C.y2>y1>y3D.y2
8. 已知：四边形ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，AB // CD，则下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A.AB=CDB.AD=BCC.AD // BCD.OA=OC

9. 在数列3，12，30，60…中请你观察数列的排列规律，则第5个数是( )
A.75B.90C.105D.120

10. 已知A(x1, 2020)，B(x2, 2020)是二次函数y=ax2+bx+5(a≠0)的图象上两点，则当x=x1+x2时，二次函数的值是（ ）
A.2b2a+5B.−b24a+5C.2020D.5
二、解答题

计算：−22+|3−2|+(−12)−1−(4−π)0.

先化简，再求值：(a−1a)÷a−1(a+1)2−1，其中a是方程 x2+3x−1=0的根.

某地2017年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并计划投入资金逐年增加，2019年在2017年的基础上增加投入资金1600万元．
(1)从2017年到2019年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？

(2)在2019年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算．求2019年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．

已知关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2．
(1)求k的取值范围；

(2)若x2(1+x1)=−x1，求k的值.

某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．

(1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；

(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？

设a，b是任意两个实数，用max{a, b}表示a，b两数中较大者，例如：max{−1, −1}=−1，max{1, 2}=2，max{4, 3}=4，参照上面的材料，解答下列问题：
(1)max{5, −2}=________，max{0, −3}=________；

(2)若max{3x+1, x−1}=x−1，求x的取值范围；

(3)先求函数y=x2−2x−4与y=−x+2的图象的交点坐标，函数y=x2−2x−4的图象如图所示，请你在图中作出函数y=−x+2的图象，并根据图象直接写出max{−x+2, x2−2x−4}的最小值．

丹江素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元，放养20天的总成本为30.8万元（总成本=放养总费用+收购成本）．
(1)设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，直接写出a和b的值；

(2)设这批淡水鱼放养t天后的质量为m(kg)，销售单价为y元/kg．
根据以往经验可知：m与t的函数关系为m=20000(0≤t≤50)100t+15000(50y与t的函数关系如图所示：
①分别求出当0≤t≤50和50②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出最大值．（利润=销售总额−总成本）

已知，在△ABC中，∠BAC=90∘，∠ABC=45∘，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF.
(1)如图1，当点D在线段BC上时．求证：CF+CD=BC；

2如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；

3如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；
①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
②若正方形ADEF的边长为22，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．

已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0, 6)，B(6, 0)，C(−2, 0)，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；

(2)当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？

(3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE // x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
2019-2020学年湖北省十堰市某校10月月考初三（上）数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
一元二次方程的定义
【解析】
根据一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，进行判断即可．
【解答】
解：A、ax2+bx+c=0，当a=0时方程不是一元二次方程，故此选项错误；
B、原式可化简为1=0，不符合一元二次方程的定义，故此选项错误；
C、符合一元二次方程的定义，故此选项正确；
D、分式分母含有未知数，不是一元二次方程，故此选项错误．
故选C.
2.
【答案】
D
【考点】
一元二次方程的解
【解析】
把x=a代入方程x2−5x+m=0，得a2−5a+m=0①，把x=−a代入方程方程x2+5x−m=0，得a2−5a−m=0②，再将①+②，即可求出a的值．
【解答】
解：x(x−2)=2−x，
移项得：x(x−2)−(2−x)=0，
即(x+1)(x−2)=0
∴ x1=−1, x2=2．
故选D．
3.
【答案】
B
【考点】
根的判别式
【解析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠1且△=32−4(a−1)⋅(−2)≥0，然后求出两个不等式解集的公共部分即可．
【解答】
解：根据题意得a−1≠0且Δ=32−4(a−1)⋅(−2)≥0，
解得a≥−18且a≠1．
故选B．
4.
【答案】
A
【考点】
一元二次方程的应用——几何图形面积问题
一元二次方程的应用
【解析】
要求修建的路宽，就要设修建的路宽应为x米，根据题意可知：矩形地面-所修路面积=耕地面积，依此列出等量关系解方程即可．
【解答】
解：设修建的路宽应为x米，
根据等量关系列方程得：20×30−(20x+30x−x2)=551，
解得：x=49或1，
49不合题意，舍去.
故选A．
5.
【答案】
B
【考点】
二次函数的图象
【解析】
可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
【解答】
解：A，由一次函数y=ax−a的图象可得：a<0，此时二次函数y=ax2−2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；
B，由一次函数y=ax−a的图象可得：a>0，此时二次函数y=ax2−2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=−−22a>0，故选项正确；
C，由一次函数y=ax−a的图象可得：a>0，此时二次函数y=ax2−2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=−−22a>0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；
D，由一次函数y=ax−a的图象可得：a>0，此时二次函数y=ax2−2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．
故选B．
6.
【答案】
B
【考点】
二次函数的三种形式
【解析】
直接利用配方法进而将原式变形得出答案．
【解答】
解：y=x2−8x−9
=x2−8x+16−25
=(x−4)2−25.
故选B．
7.
【答案】
A
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
判断抛物线的开口方向向上，求得函数y=−2(x−1)2+1的对称轴为x=−1，再比较点A、B、C到直线x=−1的距离，然后根据二次函数的性质判断函数值的大小．
【解答】
解：二次函数y=(a2+1)x2+2可知：抛物线的开口向上，图象的对称轴为直线x=0，
因为点A(−1, y1) 关于对称轴对称的点为(1, y1)，
在对称轴的右侧y随x增大而增大，
所以y1故选A．
8.
【答案】
B
【考点】
全等三角形的性质与判定
平行四边形的判定
【解析】
利用平行线的判定与性质结合平行四边形的判定得出即可．
【解答】
解：如图所示，
A、由AB // CD、AB=CD可以判定该四边形是平行四边形，根据是“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，故本选项错误；
B、由AB // CD、AD=BC不可以判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；
C、由AB // CD、AD // BC可以判定该四边形是平行四边形，根据是“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，故本选项错误；
D、由AB // CD得到：∠ABO=∠CDO，
在△DCO与△BAO中，
∠AOB=∠COD∠ABO=∠CDOOA=OC，
则△DCO≅△BAO(AAS)，
所以OD=OB，
又OA=OC，
所以四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误.
故选B.
9.
【答案】
C
【考点】
规律型：数字的变化类
【解析】
观察所给数据得到第1个数为3，第2个数为7=3+4，第3个数为12=3+4+5，第4个数为18=3+4+5+6，第5个数为25=3+4+5+6+7，即数列中的每个数都是从3开始的连续的整数和，且数据的个数等于这个数的循环数，则第10个数为3+4+5+6+...+12．
【解答】
解：∵3=1×3，
12=2×6=2×(3+3)，
30=3×10=3×(3+3+4)，
60=4×15=4×(3+3+4+5)，
第5个数是 5×(15+6)=5×21=105.
故选C.
10.
【答案】
D
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
根据二次函数图象的对称性知，点A、B关于对称轴x=−b2a对称；所以x=x1+x2=−ba，然后将其代入函数关系式求得y=5．
【解答】
解：∵ A(x1, 2020)，B(x2, 2020)是二次函数y=ax2+bx+5(a≠0)的图象上两点，
又∵ 点A，B的纵坐标相同，
∴ A，B关于对称轴x=−b2a对称，
∴ x=x1+x2=−ba，
∴ a(−ba)2+b(−ba)+5=5.
故选D．
二、解答题
【答案】
解：原式=−4+2−3−2−1
=−5−3.
【考点】
零指数幂、负整数指数幂
绝对值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：原式=−4+2−3−2−1
=−5−3.
【答案】
解：原式=a2−1a×(a+1)2−1a−1
=(a+1)(a−1)a×a(a+2)a−1
=(a+2)(a+1)=a2+3a+2，
又方程x2+3x−1=0可化为x2+3x=1，即a2+3a=1，
∴ 原式的值=1+2=3.
【考点】
分式的化简求值
平方差公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：原式=a2−1a×(a+1)2−1a−1
=(a+1)(a−1)a×a(a+2)a−1
=(a+2)(a+1)=a2+3a+2，
又方程x2+3x−1=0可化为x2+3x=1，即a2+3a=1，
∴ 原式的值=1+2=3.
【答案】
解：(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x．
根据题意，得：1280(1+x)2=1280+1600，
解得：x=0.5=50%或x=−2.5（不符合题意，舍去），
故从2017年到2019年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%．
(2)设2019年该地有y户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，
得1000×8×400+(y−1000)×5×400≥5000000，
解得：y≥1900，
故2019年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．
【考点】
一元二次方程的应用——增长率问题
一元一次不等式的实际应用
【解析】
本题主要考查一元二次方程与一元一次不等式的应用．
【解答】
解：(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x．
根据题意，得：1280(1+x)2=1280+1600，
解得：x=0.5=50%或x=−2.5（不符合题意，舍去），
故从2017年到2019年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%．
(2)设2019年该地有y户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，
得1000×8×400+(y−1000)×5×400≥5000000，
解得：y≥1900，
故2019年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．
【答案】
解：(1)∵ 关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根，
∴ Δ=(2k+3)2−4k2>0，
解得：k>−34．
(2)∵ x1、x2是方程x2+(2k+3)x+k2=0的实数根，
∴ x1+x2=−2k−3，x1x2=k2，
∴ x2(1+x1)=−x1可化简为x1+x2+x1x2=0，
即k2−2k−3=0，
解得：k1=3，k2=−1，
又∵ k>−34，
∴ k=3．
【考点】
根与系数的关系
根的判别式
【解析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式△>0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=−2k−3、x1x2=k2，结合1x1+1x2=−1即可得出关于k的分式方程，解之经检验即可得出结论．
【解答】
解：(1)∵ 关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根，
∴ Δ=(2k+3)2−4k2>0，
解得：k>−34．
(2)∵ x1、x2是方程x2+(2k+3)x+k2=0的实数根，
∴ x1+x2=−2k−3，x1x2=k2，
∴ x2(1+x1)=−x1可化简为x1+x2+x1x2=0，
即k2−2k−3=0，
解得：k1=3，k2=−1，
又∵ k>−34，
∴ k=3．
【答案】
解：(1)设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a(x−3)2+5(a≠0)，
将(8, 0)代入y=a(x−3)2+5，得：25a+5=0，
解得：a=−15，
∴ 水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=−15(x−3)2+5(0(2)当y=1.8时，有−15(x−3)2+5=1.8，
解得：x1=−1（舍去），x2=7，
∴ 为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．
【考点】
二次函数的应用
待定系数法求二次函数解析式
【解析】
（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点(8, 0)，求出a值，此题得解；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x的值，由此即可得出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=−15x2+bx+165，代入点(16, 0)可求出b值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论．
【解答】
解：(1)设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a(x−3)2+5(a≠0)，
将(8, 0)代入y=a(x−3)2+5，得：25a+5=0，
解得：a=−15，
∴ 水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=−15(x−3)2+5(0(2)当y=1.8时，有−15(x−3)2+5=1.8，
解得：x1=−1（舍去），x2=7，
∴ 为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．
【答案】
5,0
(2)∵ max{3x+1, x−1}=x−1，
∴ 3x+1≤x−1，
解得：x≤−1．
(3)联立两函数解析式成方程组，
y=x2−2x−4y=−x+2 ，解得：x1=−2y1=4 ，x2=3y2=−1 ，
∴ 交点坐标为(−2, 4)和(3, −1)．
画出直线y=−x+2，如图所示，
观察函数图象可知：当x=3时，max{−x+2, x2−2x−4}取最小值−1．
【考点】
定义新符号
二次函数的图象
一次函数的图象
解一元一次不等式
实数的运算
【解析】
（1）根据max{a, b}表示a、b两数中较大者，即可求出结论；
（2）根据max{3x+1, −x+1}=−x+1，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（3）联立两函数解析式成方程组，解之即可求出交点坐标，画出直线y=−x+2的图象，观察图形，即可得出max{−x+2, x2−2x−4}的最小值．
【解答】
解：(1)∵ max{a, b}表示a，b两数中较大者，
∴ max{5, −2}=5，max{0, −3}=0．
故答案为：5；0．
(2)∵ max{3x+1, x−1}=x−1，
∴ 3x+1≤x−1，
解得：x≤−1．
(3)联立两函数解析式成方程组，
y=x2−2x−4y=−x+2 ，解得：x1=−2y1=4 ，x2=3y2=−1 ，
∴ 交点坐标为(−2, 4)和(3, −1)．
画出直线y=−x+2，如图所示，
观察函数图象可知：当x=3时，max{−x+2, x2−2x−4}取最小值−1．
【答案】
解：(1)由题意，得：10a+b=30.420a+b=30.8 ，
解得a=0.04b=30 ，
答：a的值为0.04，b的值为30；
(2)①当0≤t≤50时，设y与t的函数解析式为y=k1t+n1，
将(0, 15)，(50, 25)代入，得：n1=1550k1+n1=25 ，
解得：k1=15n1=15 ，
∴ y与t的函数解析式为y=15t+15；
当50将点(50, 25)，(100, 20)代入，得：50k2+n2=25100k2+n2=20 ，
解得：k2=−110n2=30 ，
∴ y与t的函数解析式为y=−110t+30；
②由题意，当0≤t≤50时，
W=20000(15t+15)−(400t+300000)=3600t，
∵ 3600>0，
∴ 当t=50时，W取得最大值180000；
当50W=(100t+15000)(−110t+30)−(400t+300000)
=−10t2+1100t+150000，
即W=−10(t−55)2+180250，
∵ −10<0，
∴ 当t=55时，W取得最大值180250，
综上所述，放养55天时，W最大，最大值为180250元．
【考点】
待定系数法求一次函数解析式
二次函数的最值
由实际问题抽象出二元一次方程组
【解析】
（1）由放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元可得答案；
（2）①分0≤t≤50、50②就以上两种情况，根据“利润＝销售总额-总成本”列出函数解析式，依据一次函数性质和二次函数性质求得最大值即可得．
【解答】
解：(1)由题意，得：10a+b=30.420a+b=30.8 ，
解得a=0.04b=30 ，
答：a的值为0.04，b的值为30；
(2)①当0≤t≤50时，设y与t的函数解析式为y=k1t+n1，
将(0, 15)、(50, 25)代入，得：n1=1550k1+n1=25 ，
解得：k1=15n1=15 ，
∴ y与t的函数解析式为y=15t+15；
当50将点(50, 25)、(100, 20)代入，得：50k2+n2=25100k2+n2=20 ，
解得：k2=−110n2=30 ，
∴ y与t的函数解析式为y=−110t+30；
②由题意，当0≤t≤50时，
W=20000(15t+15)−(400t+300000)=3600t，
∵ 3600>0，
∴ 当t=50时，W取得最大值180000；
当50=−10t2+1100t+150000，
即W=−10(t−55)2+180250，
∵ −10<0，
∴ 当t=55时，W取得最大值180250，
综上所述，放养55天时，W最大，最大值为180250元．
【答案】
1证明：∵ ∠BAC=90∘，∠ABC=45∘，
∴ ∠ACB=∠ABC=45∘，
∴ AB=AC，
∵ 四边形ADEF是正方形，
∴ AD=AF，∠DAF=90∘，
∵ ∠BAD=90∘−∠DAC，∠CAF=90∘−∠DAC，
∴ ∠BAD=∠CAF，
则在△BAD和△CAF中，
AB=AC,∠BAD=∠CAF,AD=AF,
∴ △BAD≅△CAF(SAS)，
∴ BD=CF，
∵ BD+CD=BC，
∴ CF+CD=BC.
(2)CF−CD=BC；
理由：∵ 四边形ADEF是正方形，
∴ AD=AF，∠DAF=90◦，
∵ ∠BAD=90◦+∠DAC，∠CAF=90◦+∠DAC，
∴ ∠BAD=∠CAF，
∵ 在△BAD和△CAF中，AB=AC,∠BAD=∠CAF,AD=AF,
∴ △BAD≅△CAF(SAS),
∴ BD=CF,
∴ BC+CD=CF，
∴ CF−CD=BC；
(3)①CD−CF=BC.
理由：∵ 四边形ADEF是正方形，
∴ AD=AF，∠DAF=90◦，
∵ ∠BAD=90◦−∠BAF，∠CAF=90◦−∠BAF，
∴ ∠BAD=∠CAF，
∵ 在△BAD和△CAF中，AB=AC,∠BAD=∠CAF,AD=AF,
∴ △BAD≅△CAF(SAS)，
∴ BD=CF，
∴ CD−BC=CF，
∴ CD−CF=BC；
②∵ ∠ABC=45∘，
∴ ∠ABD=135∘，
∴ ∠ACF=∠ABD=135∘，
∴ ∠FCD=90∘，
∴ △FCD是直角三角形．
∵ 正方形ADEF的边长为22且对角线AE、DF相交于点O．
∴ DF=2AD=4，O为DF中点．
∴ OC=12DF=2．
【考点】
全等三角形的性质与判定
正方形的性质
直角三角形斜边上的中线
【解析】
（1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≅△CAF，从而证得CF=BD，据此即可证得；
（2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≅△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF−CD=BC；
（3）首先证明△BAD≅△CAF，△FCD是直角三角形，然后根据正方形的性质即可求得DF的长，则OC即可求得．
【解答】
1证明：∵ ∠BAC=90∘，∠ABC=45∘，
∴ ∠ACB=∠ABC=45∘，
∴ AB=AC，
∵ 四边形ADEF是正方形，
∴ AD=AF，∠DAF=90∘，
∵ ∠BAD=90∘−∠DAC，∠CAF=90∘−∠DAC，
∴ ∠BAD=∠CAF，
则在△BAD和△CAF中，
AB=AC,∠BAD=∠CAF,AD=AF,
∴ △BAD≅△CAF(SAS)，
∴ BD=CF，
∵ BD+CD=BC，
∴ CF+CD=BC.
(2)CF−CD=BC；
理由：∵ 四边形ADEF是正方形，
∴ AD=AF，∠DAF=90◦，
∵ ∠BAD=90◦+∠DAC，∠CAF=90◦+∠DAC，
∴ ∠BAD=∠CAF，
∵ 在△BAD和△CAF中，AB=AC,∠BAD=∠CAF,AD=AF,
∴ △BAD≅△CAF(SAS),
∴ BD=CF,
∴ BC+CD=CF，
∴ CF−CD=BC；
(3)①CD−CF=BC.
理由：∵ 四边形ADEF是正方形，
∴ AD=AF，∠DAF=90◦，
∵ ∠BAD=90◦−∠BAF，∠CAF=90◦−∠BAF，
∴ ∠BAD=∠CAF，
∵ 在△BAD和△CAF中，AB=AC,∠BAD=∠CAF,AD=AF,
∴ △BAD≅△CAF(SAS)，
∴ BD=CF，
∴ CD−BC=CF，
∴ CD−CF=BC；
②∵ ∠ABC=45∘，
∴ ∠ABD=135∘，
∴ ∠ACF=∠ABD=135∘，
∴ ∠FCD=90∘，
∴ △FCD是直角三角形．
∵ 正方形ADEF的边长为22且对角线AE、DF相交于点O．
∴ DF=2AD=4，O为DF中点．
∴ OC=12DF=2．
【答案】
解：(1)∵ 抛物线过点B(6, 0)，C(−2, 0)，
∴ 设抛物线解析式为y=a(x−6)(x+2)，
将点A(0, 6)代入，得：−12a=6，
解得：a=−12，
所以抛物线解析式为y=−12(x−6)(x+2)=−12x2+2x+6；
(2)如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，
设直线AB解析式为y=kx+b，
将点A(0, 6)、B(6, 0)代入，得：
b=66k+b=0 ，
解得：k=−1b=6 ，
则直线AB解析式为y=−x+6，
设P(t, −12t2+2t+6)其中0则N(t, −t+6)，
∴ PN=PM−MN=−12t2+2t+6−(−t+6)
=−12t2+2t+6+t−6=−12t2+3t，
∴ S△PAB=S△PAN+S△PBN
=12PN⋅AG+12PN⋅BM
=12PN⋅(AG+BM)
=12PN⋅OB
=12×(−12t2+3t)×6
=−32t2+9t
=−32(t−3)2+272，
∴ 当t=3时，△PAB的面积有最大值；
(3)如图2，
若△PDE为等腰直角三角形，
则PD=PE，
设点P的横坐标为a，
∴ PD=−12a2+2a+6−(−a+6)=−12a2+3a，
设E点横坐标为b，
又∵抛物线y=−12x2+2x+6，
∴对称轴为−22(−12)=2=xE+xP2=a+b2，
∴a+b=4，b=4−a，
∴PE=|a−b|=|a−(4−a)|=|2a−4|，
∴ −12a2+3a=2|2−a|，
解得：a=4或a=5−17，
所以P(4, 6)或P(5−17, 317−5)．
【考点】
等腰三角形的性质与判定
动点问题
待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求二次函数解析式
【解析】
（1）待定系数法求解可得；
（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=−x+6，设P(t, −12t2+2t+6)，则N(t, −t+6)，由S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN⋅AG+12PN⋅BM=12PN⋅OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；
（3）若△PDE为等腰直角三角形，则PD=PE，设点P的横坐标为a，表示出PD、PE的长，列出关于a的方程，解之可得答案．
【解答】
解：(1)∵ 抛物线过点B(6, 0)，C(−2, 0)，
∴ 设抛物线解析式为y=a(x−6)(x+2)，
将点A(0, 6)代入，得：−12a=6，
解得：a=−12，
所以抛物线解析式为y=−12(x−6)(x+2)=−12x2+2x+6；
(2)如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，
设直线AB解析式为y=kx+b，
将点A(0, 6)、B(6, 0)代入，得：
b=66k+b=0 ，
解得：k=−1b=6 ，
则直线AB解析式为y=−x+6，
设P(t, −12t2+2t+6)其中0则N(t, −t+6)，
∴ PN=PM−MN=−12t2+2t+6−(−t+6)
=−12t2+2t+6+t−6=−12t2+3t，
∴ S△PAB=S△PAN+S△PBN
=12PN⋅AG+12PN⋅BM
=12PN⋅(AG+BM)
=12PN⋅OB
=12×(−12t2+3t)×6
=−32t2+9t
=−32(t−3)2+272，
∴ 当t=3时，△PAB的面积有最大值；
(3)如图2，
若△PDE为等腰直角三角形，
则PD=PE，
设点P的横坐标为a，
∴ PD=−12a2+2a+6−(−a+6)=−12a2+3a，
设E点横坐标为b，
又∵抛物线y=−12x2+2x+6，
∴对称轴为−22(−12)=2=xE+xP2=a+b2，
∴a+b=4，b=4−a，
∴PE=|a−b|=|a−(4−a)|=|2a−4|，
∴ −12a2+3a=2|2−a|，
解得：a=4或a=5−17，
所以P(4, 6)或P(5−17, 317−5)．