2019-2020学年某校初三（上）9月第一次联考数学试卷

这是一份2019-2020学年某校初三（上）9月第一次联考数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 一元二次方程x2−2x=0的解是( )
A.x=0B.x=2
C.x1=0，x2=−2D.x1=0，x2=2

2. 如果2是方程x2−3x+k=0的一个根，则常数k的值为( )
A.1B.2C.−1D.−2

3. 将抛物线y=2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得到的抛物线是( )
A.y=2(x+1)2+3B.y=2(x−1)2+3
C.y=2(x+1)2−3D.y=2(x−1)2−3

4.
二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)中的部分对应值如下表：
则该函数图象的顶点坐标为( )
A.(−1, 0)B.(0, −3)C.(1, −4)D.(2, −3)

5. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是( )

A.32×20−(32x+2×20x)=570
B.(32−2x)(20−x)=570
C.32×20−(32−x)(20−x)=570
D.32x+2×20x−2x2=570

6. 若关于x的一元二次方程kx2−x+1=0有实数根，则k的取值范围是( )
A.k>14B.k<14且k≠0C.k≤14且k≠0D.k≤14

7. 已知点A(−1, m)，B(1, m)，C(2, m−n)(n>0)在同一个函数的图象上，这个函数可能是( )
A.y=xB.y=−x+1C.y=x2D.y=−x2

8. 若t是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，则判别式Δ=b2−4ac和完全平方式M=(2at+b)2的关系是( )
A.Δ=MB.Δ>MC.Δ二、填空题

若关于x的方程 (m+3)x|m|−1+2x+1=0 是一元二次方程，则 m=_______.

小明在解方程 x(x−1)=2(x−1) 时，在方程两边都除以 (x−1) ，得到方程的解为 x=2 .小明的解法正确吗？_______(填“正确”或“不正确”).

若抛物线y=2x2−bx+3的对称轴为直线x=1，则b的值为________．

一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2−7x+10=0的两根，则这个等腰三角形的周长是________．

请写出一个开口向上，并且与y轴交于点(0, 1)的抛物线的解析式_________.

某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2017年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2019年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为________．

按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x，y，z表示这列数中的连续三个数，猜想x，y，z满足的关系式是________．

函数 y=x2+mx+n(m, n为常数)的图象如图所示，已知顶点P的纵坐标为−2，则有以下结论：
①x<0时，y>n；
②mn>0；
③方程x2+mx+n+2=0 有两个相等的实数根；
④当 x=t 时， y<0 ，则当x=t+m， y>n.
其中正确的结论是________ (把正确结论的序号都填上).

三、解答题

解方程：
(1)x2−4x−1=0；

(2)(3−x)2+x2=5.

已知二次函数y=−12x2−x+72.
(1)用配方法将二次函数y=−12x2−x+72化成y=a(x−ℎ)2+k的形式；

(2)写出这个函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．


下表给出了一个二次函数的部分取值情况：
请在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象，并根据图象回答下列问题：

(1)当y随x的增大而增大时，写出自变量x的取值范围；

(2)当0
已知关于x的方程mx2−(m+2)x+2=0(m≠0)．
(1)求证：方程总有两个实数根；

(1)若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．

如图，抛物线y=−x2+2x+m与x轴的一个交点为A(3, 0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C．

(1)求m的值；

(2)求点B的坐标；

(3)该抛物线上有一点D(x, y)（其中x>0，y>0），若S△ABD=S△ABC，求点D的坐标．

用长为32m的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．
(1)求y关于x的函数关系式，直接写出x的取值范围；

(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60m2？

(3)能否围成面积为70m2的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．

我们知道，配方法，公式法，因式分解法是解一元二次方程的基本方法，降次转化是解方程的基本思想，我们还可以用换元法来解某些高次方程.如：解方程x4−x2−6=0①，可以将x2看成一个整体，然后设x2=y，则x4=y2，原方程化为y2−y−6=0②，
解得y1=3, y2=−2 .当y=3 时， x2=3 ，
所以 x1=3,x2=−3；当 y=−2 时，x2=−2，此方程无实数解，
所以原方程的解为： x1=3， x2=−3.
根据上面的阅读内容，请解决下列问题：
(1)上面的解法中，由方程①得到方程②，实质上是利用换元法把一个一元四次方程进行________,_______为一个一元二次方程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了.

(2)用适当的方法解下列方程：
①x3−9x=0；
②(x2−2x)2+3(x2−2x)+2=0.

如图，抛物线y=ax2+bx−4经过点A(−3, 0)，B(5, −4)两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．
(1)求抛物线的解析式；

(2)求证：AB平分∠CAO；

(3)抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2019-2020学年湖北省咸宁市某校初三（上）9月第一次联考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
【解析】
方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】
解：方程变形得：x(x−2)=0，
可得x=0或x−2=0，
解得：x1=0，x2=2．
故选D.
2.
【答案】
B
【考点】
一元二次方程的解
【解析】
把x＝2代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值．
【解答】
解：∵ 2是一元二次方程x2−3x+k=0的一个根，
∴ 22−3×2+k=0，
解得k=2.
故选B.
3.
【答案】
B
【考点】
二次函数图象与几何变换
【解析】
易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．
【解答】
解：由题意得原抛物线的顶点为(0, 0)，
∴ 平移后抛物线的顶点为(1, 3)，
∴ 新抛物线解析式为y=2(x−1)2+3，
故选B．
4.
【答案】
C
【考点】
二次函数的性质
【解析】
利用二次函数的性质，结合对应点坐标变化得出其顶点坐标即可．
【解答】
解：由表可得：x=0和2时的函数值都是−3，
∴ 二次函数的对称轴为直线x=1，
∴ 顶点坐标为(1, −4)．
故选C．
5.
【答案】
B
【考点】
由实际问题抽象出一元二次方程
【解析】
六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程．
【解答】
解：根据题意得：
种草部分的长为(32−2x)m，宽为(20−x)m，
∴ (32−2x)(20−x)=570，
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
根的判别式
一元二次方程的定义
【解析】
根据一元二次方程kx2−x+1=0有两个实数根，得出△≥0，根据k≠0从而得出k的取值范围．
【解答】
解：∵ 关于x的一元二次方程kx2−x+1=0有实数根，
∴ b2−4ac=1−4k≥0，
∴k≤14.
∵ k≠0，
∴ k的取值范围是k≤14且k≠0．
故选C.
7.
【答案】
D
【考点】
函数的图象
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
由点A(−1, m)，B(1, m)，C(2, m+2)在同一个函数图象上，可得A与B关于y轴对称，当x>0时，y随x的增大而增大，继而求得答案．
【解答】
解：∵ 点A(−1, m)，B(1, m)，
∴ 点A与点B关于y轴对称，故A，B错误；
∵ n>0，
∴ m−n由B(1, m)，C(2, m−n)可知，
在对称轴的右侧，y随x的增大而减小.
对于二次函数只有a<0时，在对称轴的右侧，
y随x的增大而减小.
故D正确，C错误，
故选D．
8.
【答案】
A
【考点】
根的判别式
完全平方公式
【解析】
根据t是一元二次方程的根，把t代入原方程得到at2+bt+c=0进行整理，两边同乘以4a，再移项，两边同加上b2，就得到了(2at+b)2=b2−4ac．
【解答】
解：t是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，
则有at2+bt+c=0，
方程两边同时乘以4a得，
4a2t2+4abt+4ac=0，
移项得4a2t2+4abt=−4ac，
4a2t2+b2+4abt=b2−4ac，
(2at)2+4abt+b2=b2−4ac，
(2at+b)2=b2−4ac=Δ，
故选A.
二、填空题
【答案】
3
【考点】
一元二次方程的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据题意可得，|m|−1=2，
解得m=3或m=−3.
又因为m+3≠0，
所以m≠−3，
因此m=3符合题意.
故答案为：3.
【答案】
不正确
【考点】
一元二次方程的解
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：不正确，将方程化简移项得x2−3x+2=0，
解得方程的根为x=1或x=2.
故答案为：不正确.
【答案】
4
【考点】
二次函数的性质
【解析】
已知抛物线的对称轴，利用对称轴公式可求b的值．
【解答】
解：∵ y=2x2−bx+3，对称轴是直线x=1，
∴ −−b4=1，解得b=4．
故答案为：4.
【答案】
12
【考点】
三角形三边关系
解一元二次方程-因式分解法
等腰三角形的判定与性质
【解析】
首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案．
【解答】
解：x2−7x+10=0
(x−2)(x−5)=0，
解得：x1=2（不合题意舍去），x2=5，
故等腰三角形的腰长只能为5，5，底边长为2，
则其周长为：5+5+2=12．
故答案为：12．
【答案】
y=x2+1（答案不唯一）
【考点】
二次函数的性质
【解析】
根据二次函数的性质，开口向上，要求a值大于0即可．
【解答】
解：抛物线y=x2+1开口向上，且与y轴的交点为(0, 1)．
故答案为：y=x2+1（答案不唯一）．
【答案】
20%
【考点】
一元二次方程的应用
【解析】
设每年投资的增长率为x，根据题意可得，2014年投资额×(1+x)2=2016年的投资额，据此列方程求解．
【解答】
解：设每年投资的增长率为x，
由题意得，5×(1+x)2=7.2，
解得：x=0.2或x=−2.2（不合题意，舍去），
答：每年投资的增长率为20%．
故答案为：20%．
【答案】
xy=z
【考点】
规律型：数字的变化类
有理数的乘方
【解析】
首项判断出这列数中，2的指数各项依次为1，2，3，5，8，13，…，从第三个数起，每个数都是前两数之和；然后根据同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，可得这列数中的连续三个数，满足xy=z，据此解答即可．
【解答】
解：∵ 21×22=23，22×23=25，23×25=28，25×28=213，…，
∴ x，y，z满足的关系式是：xy=z．
故答案为：xy=z．
【答案】
①③④
【考点】
二次函数综合题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由图象可得：当x<0时，y>n，故①正确；
n>0，−b2a=−m2>0，解得：m<0，则mn<0，故②错误；
y=x2+mx+n+2是由y=x2+mx+n向上平移2单位得到，
由图象可得，y=x2+mx+n+2的图象的顶点在x轴上，
所以方程x2+mx+n+2=0 有两个相等的实数根，故③正确；
因为−b2a=−m2>0，所以|m|大于函数与x轴的右交点的横坐标，
所以当 x=t 时， y<0 ，则当x=t+m<0， y>n，故④正确.
故答案为：①③④.
三、解答题
【答案】
解：(1)x2−4x−1=0
x2−4x+22=1+22
(x−2)2=5
x−2=±5
∴ x1=2+5，x2=2−5;
(2)(3−x)2+x2=5
x2−3x+2=0
(x−1)(x−2)=0
∴ x−1=0或x−2=0，
∴ x1=1，x2=2.
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
解一元二次方程-配方法
【解析】
（1）、（2）的二次项系数为1，一次项是偶数，宜用配方法；
（3）宜用公式法．
【解答】
解：(1)x2−4x−1=0
x2−4x+22=1+22
(x−2)2=5
x−2=±5
∴ x1=2+5，x2=2−5;
(2)(3−x)2+x2=5
x2−3x+2=0
(x−1)(x−2)=0
∴ x−1=0或x−2=0，
∴ x1=1，x2=2.
【答案】
解：(1)y=−12x2−x+72，
=−12(x2+2x+1)+12+72，
=−12(x+1)2+4；
(2)由(1)可知，a=−12<0，
∴ 开口向下；
顶点坐标(−1, 4)；
对称轴为直线x=−1．
【考点】
二次函数的三种形式
【解析】
（1）根据配方法，先提取−12，然后配成完全平方式，整理即可；
（2）根据a是负数以及顶点式解析式分别求解即可．
【解答】
解：(1)y=−12x2−x+72，
=−12(x2+2x+1)+12+72，
=−12(x+1)2+4；
(2)由(1)可知，a=−12<0，
∴ 开口向下；
顶点坐标(−1, 4)；
对称轴为直线x=−1．
【答案】
解：(1)由表可得，
y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围为x>2；
(2)如图，
当0【考点】
二次函数的性质
二次函数的图象
【解析】
（1）根据二次函数图象的作法画出图象，然后求出对称轴，再根据二次函数的增减性解答；
（2）根据函数图象写出即可．
【解答】
解：(1)由表可得，
y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围为x>2；
(2)如图，
当0【答案】
(1)证明：∵ m≠0，
Δ=(m+2)2−4m×2
=m2−4m+4
=(m−2)2，
而(m−2)2≥0，即Δ≥0，
∴ 方程总有两个实数根；
(2)解：(x−1)(mx−2)=0，
x−1=0或mx−2=0，
∴ x1=1，x2=2m，
当m为正整数1或2时，x2为整数，
即方程的两个实数根都是整数时，
则正整数m的值为1或2．
【考点】
根的判别式
一元二次方程的解
【解析】
（1）先计算判别式的值得到△=(m+2)2−4m×2=(m−2)2，再根据非负数的值得到△≥0，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；
（2）利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=2m，然后利用整数的整除性确定正整数m的值．
【解答】
(1)证明：∵ m≠0，
Δ=(m+2)2−4m×2
=m2−4m+4
=(m−2)2，
而(m−2)2≥0，即Δ≥0，
∴ 方程总有两个实数根；
(2)解：(x−1)(mx−2)=0，
x−1=0或mx−2=0，
∴ x1=1，x2=2m，
当m为正整数1或2时，x2为整数，
即方程的两个实数根都是整数时，
则正整数m的值为1或2．
【答案】
解：(1)∵ 抛物线y=−x2+2x+m与x轴的一个交点为A(3, 0),
∴ −9+2×3+m=0，
解得：m=3；
(2)∵ 抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3，
∴ 当y=0时，−x2+2x+3=0，
解得：x1=3，x2=−1，
∴ B(−1, 0)；
(3)如图，连接BD，AD，过点D作DE⊥AB，
∵ 当x=0时，y=3，
∴ C(0, 3)，
若S△ABD=S△ABC，
∵ D(x, y)（其中x>0，y>0），
则可得OC=DE=3，
∴ 当y=3时，−x2+2x+3=3，
解得：x=0或x=2，
∴ 点D的坐标为(2, 3)．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）由二次函数y=−x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3, 0)，利用待定系数法将点A的坐标代入函数解析式即可求得m的值；
（2）根据（1）求得二次函数的解析式，然后将y=0代入函数解析式，即可求得点B的坐标；
（3）根据（2）中的函数解析式求得点C的坐标，由二次函数图象上有一点D(x, y)（其中x>0，y>0），可得点D在第一象限，又由S△ABD=S△ABC，可知点D与点C的纵坐标相等，代入函数的解析式即可求得点D的坐标．
【解答】
解：(1)∵ 抛物线y=−x2+2x+m与x轴的一个交点为A(3, 0),
∴ −9+2×3+m=0，
解得：m=3；
(2)∵ 抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3，
∴ 当y=0时，−x2+2x+3=0，
解得：x1=3，x2=−1，
∴ B(−1, 0)；
(3)如图，连接BD，AD，过点D作DE⊥AB，
∵ 当x=0时，y=3，
∴ C(0, 3)，
若S△ABD=S△ABC，
∵ D(x, y)（其中x>0，y>0），
则可得OC=DE=3，
∴ 当y=3时，−x2+2x+3=3，
解得：x=0或x=2，
∴ 点D的坐标为(2, 3)．
【答案】
解：(1)∵ 矩形的一边长为xm，则另一边长为32−2x2=(16−x)m，
∴ y=x(16−x)=−x2+16x，( 0(2)当y=60时，−x2+16x=60，解得 x1=10，x2=6，
所以当x=10或6时，围成的养鸡场的面积为60m2．
(3)当y=70时，−x2+16x=70，整理得：x2−16x+70=0，
由于Δ=256−280=−24<0，
所以此方程无解，不能围成面积为70m2的养鸡场．
【考点】
一元二次方程的应用
【解析】
（1）根据矩形的面积公式进行列式；
（2）、（3）把y的值代入（1）中的函数关系，求得相应的x值即可．
【解答】
解：(1)∵ 矩形的一边长为xm，则另一边长为32−2x2=(16−x)m，
∴ y=x(16−x)=−x2+16x，( 0(2)当y=60时，−x2+16x=60，解得 x1=10，x2=6，
所以当x=10或6时，围成的养鸡场的面积为60m2．
(3)当y=70时，−x2+16x=70，整理得：x2−16x+70=0，
由于Δ=256−280=−24<0，
所以此方程无解，不能围成面积为70m2的养鸡场．
【答案】
降次,转化
(2)①x3−9x=0，
x(x2−9)=0
x(x+3)(x−3)=0，
∴ x=0或x+3=0或x−3=0,
∴ x1=0，x2=−3，x3=3.
②(x2−2x)2+3(x2−2x)+2=0，
令x2−2x=a，则
a2+3a+2=0，
(a+2)(a+1)=0，
∴ a1=−2，a1=−1，
∴ 当a=−2时，
x2−2x=−2，
x2−2x+2=0，
Δ=(−2)2−4×2<0，
此方程无解；
当a=−1时，
x2−2x=−1，
x2−2x+1=0，
(x−1)2=0，
∴ x1=x2=1.
【考点】
换元法解一元二次方程
方程的解
【解析】
关理解这种记法的规律．把10时记为0，向前5记为一个“−1．
【解答】
解：(1)由上面解法可以看出，
由方程①得到方程②，实质上是利用换元法把一个一元四次方程进行降次，转化为一个一元二次方程.
故答案为：降次；转化.
(2)①x3−9x=0，
x(x2−9)=0
x(x+3)(x−3)=0，
∴ x=0或x+3=0或x−3=0,
∴ x1=0，x2=−3，x3=3.
②(x2−2x)2+3(x2−2x)+2=0，
令x2−2x=a，则
a2+3a+2=0，
(a+2)(a+1)=0，
∴ a1=−2，a1=−1，
∴ 当a=−2时，
x2−2x=−2，
x2−2x+2=0，
Δ=(−2)2−4×2<0，
此方程无解；
当a=−1时，
x2−2x=−1，
x2−2x+1=0，
(x−1)2=0，
∴ x1=x2=1.
【答案】
(1)解：将 A(−3,0),B(5,−4) 代入y=ax2+bx−4，得
9a−3b−4=0，25a+5b−4=−4，
解得a=16，b=−56，
故抛物线的解析式为y=16x2−56x−4.
(2)证明：在 y=16x2−56x−4 中，
令 x=0， y=−4，
∴C(0,−4).
∵A(−3,0)， C(0,−4)，
∴AO=3 ，OC=4 .
根据勾股定理，得 AC=5.
∵C(0,−4)，B(5,−4)，
∴BC//x轴，BC=5 ，
∴∠OAB=∠CBA.
∵AC=BC=5，∠BAC=∠CBA，
∴∠OAB=∠BAC ，即AB平分 ∠CAO.
(3)解：∵BC//x 轴，
∴点B，C关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线 x=52，
设M(52,m)，又A(−3,0) ，B(5,−4)，
∴AB2=82+42=80,AM2=(52+3)2+m2=1214+m2，
BM2=(52−5)2+(m+4)2=m2+8m+894 ，
要使 △ABM是以AB为直角边的直角三角形，
可分两种情况讨论：
① AB2+AM2=BM2，80+1214+m2=m2+8m+894，
解得 m=11 ，此时，点M的坐标为(52,11)；
②AB2+BM2=AM2， 80+m2+8m+894=1214+m2 ，
解得m=−9 ，此时点M的坐标为 (52,−9) .
综上所述，存在满足条件的点M,且点M的坐标为(52,11)或 (52,−9).
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）将A(−3, 0)，B(5, −4)代入抛物线的解析式得到关于a、b的方程组，从而可求得a、b的值；
（2）先求得AC的长，然后取D(2, 0)，则AD=AC，连接BD，接下来，证明BC=BD，然后依据SSS可证明△ABC≅△ABD，接下来，依据全等三角形的性质可得到∠CAB=∠BAD；
（3）作抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F，作点A作AM′⊥AB，作BM⊥AB，分别交抛物线的对称轴与M′、M，依据点A和点B的坐标可得到tan∠BAE=12，从而可得到tan∠M′AE=2或tan∠MBF=2，从而可得到FM和M′E的长，故此可得到点M′和点M的坐标．
【解答】
(1)解：将 A(−3,0),B(5,−4) 代入y=ax2+bx−4，得
9a−3b−4=0，25a+5b−4=−4，
解得a=16，b=−56，
故抛物线的解析式为y=16x2−56x−4.
(2)证明：在 y=16x2−56x−4 中，
令 x=0， y=−4，
∴C(0,−4).
∵A(−3,0)， C(0,−4)，
∴AO=3 ，OC=4 .
根据勾股定理，得 AC=5.
∵C(0,−4)，B(5,−4)，
∴BC//x轴，BC=5 ，
∴∠OAB=∠CBA.
∵AC=BC=5，∠BAC=∠CBA，
∴∠OAB=∠BAC ，即AB平分 ∠CAO.
(3)解：∵BC//x 轴，
∴点B，C关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线 x=52，
设M(52,m)，又A(−3,0) ，B(5,−4)，
∴AB2=82+42=80,AM2=(52+3)2+m2=1214+m2，
BM2=(52−5)2+(m+4)2=m2+8m+894 ，
要使 △ABM是以AB为直角边的直角三角形，
可分两种情况讨论：
① AB2+AM2=BM2，80+1214+m2=m2+8m+894，
解得 m=11 ，此时，点M的坐标为(52,11)；
②AB2+BM2=AM2， 80+m2+8m+894=1214+m2 ，
解得m=−9 ，此时点M的坐标为 (52,−9) .
综上所述，存在满足条件的点M,且点M的坐标为(52,11)或 (52,−9).x
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
y
12
5
0
−3
−4
−3
0
5
12
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
−1
0
3
…