2019-2020学年某校初三（上）9月月考数学试卷

这是一份2019-2020学年某校初三（上）9月月考数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为( )
A.3x2+1=0B.4x+x=4
C.2x2+y=5D.ax2+2x−3=0

2. 方程x2−4x+5=0根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.没有实数根
C.有一个实数根D.有两个相等的实数根

3. 一元二次方程x2−8x−1=0配方后可变形为( )
A.(x+4)2=17B.(x−4)2=17C.(x+4)2=15D.(x−4)2=15

4. 已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为−2，则它的两根之积为( )
A.3B.2C.−2D.−3

5. 用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是( )
A.x1,2=12±122−3×42
B.x1,2=−12±122−3×42
C.x1,2=−12±−(−12)2−4×3×42×3
D.x1,2=−(−12)±(−12)2−4×3×42×3

6. 某市2018年国内生产总值(GDP)比2017年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计2019年比2018年增长7%．若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是( )
A.12%+7%=x%B.(1+12%)(1+7%)=2(1+x%)
C.12%+7%=2x%D.(1+12%)(1+7%)=(1+x%)2

7. 已知二次函数y=−(x−1)2+2，当tA.t≤0B.0
8. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ）
A.B.
C.D.

9. 已知一个等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程(x−2)(x−4)=0的两个根，则该等腰三角形的周长为( )
A.8B.10C.8或10D.12

10. 在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A(1, 0)，与y轴交于点B (0, 3)，则a的取值范围是( )

A.a<0B.−3C.a<−32D.−92二、解答题

解方程：
(1)(x−2)2−4=0；

(2)x2−4x−3=0.

关于x的二次方程2x2−4x+(2m−1)=0有一个根为x=2，求m的值和另一根．

已知关于x的一元二次方程x2−6x−k2=0．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)设x1，x2为方程的两个实数根，且x1+2x2=14，试求出方程的两个实数根和k的值．

已知二次函数y=−x2+6x−8．
(1)该函数图象的对称轴是________，顶点坐标________；

(2)选取适当的数据填入下表，并描点画出函数图象；

(3)求抛物线与坐标轴的交点坐标；

(4)利用图象直接回答当x为何值时，函数值y大于0？

河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为6米时，水面离桥孔顶部3米．把桥孔看成一个二次函数的图象，以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图所示的平面直角坐标系.

(1)请求出这个二次函数的表达式；

(2)因降暴雨水位上升1米，此时水面宽为多少？

某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
(1)设每件童装降价x元时，每天可销售________件，每件盈利________元；（用x的代数式表示）

(2)每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元．

(3)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．

抛物线y=x2−2x+c（c为常数）的对称轴如图所示，且抛物线过点C(0, c)．
(1)当c=−3时，点(x1, y1)在抛物线y=x2−2x+c上，求y1的最小值；

(2)若抛物线与x轴有两个交点，自左向右分别为点A，B，且OA=12OB，求抛物线的解析式；

(3)当−1
我们约定，在平面直角坐标系中两条抛物线有且只有一个交点时，我们称这两条抛物线为“共点抛物线”，这个交点为“共点”.
(1)判断抛物线y=x2与y=−x2是“共点抛物线”吗？如果是，直接写出“共点”坐标； 如果不是，说明理由；

(2)抛物线y=x2−2x与y=x2−2mx−3 是“共点抛物线”，且“共点”在x轴上，求抛物线y=x2−2mx−3的函数关系式；

(3)抛物线 L1:y=−x2+2x+1 的图象如图所示， L1 与 L2:y=−2x2+mx 是“共点抛物线”；
①求m的值；
②点P是x轴负半轴上一点，设抛物线 L1,L2 的“共点”为Q,作点P关于点Q的对称点 P′，
以PP′ 为对角线作正方形 PMP′N ，当点M或点N落在抛物线 L1 上时，直接写出点P的坐标.
参考答案与试题解析
2019-2020学年湖北省仙桃市天门外国语学校仙桃市某校初三（上）9月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
一元二次方程的定义
【解析】
本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
(1)未知数的最高次数是2；
(2)二次项系数不为0；
(3)是整式方程；
(4)含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】
解：A、方程3x2+1=0符合一元二次方程的定义；故本选项正确；
B、方程4x+x=4是分式方程，不是整式方程，所以它不是一元二次方程；故本选项错误；
C、方程2x2+y=5中含有两个未知数，是二元二次方程；故本选项错误；
D、当方程ax2+2x−3=0的二次项系数a=0时，该方程属于一元一次方程；故本选项错误.
故选A．
2.
【答案】
B
【考点】
根的判别式
【解析】
先求一元二次方程的判别式，由△与0的大小关系来判断方程根的情况．
【解答】
解：∵ a=1，b=−4，c=5，
∴ Δ=b2−4ac=16−20=−4<0，
∴ 方程x2−4x+5=0没有实数根.
故选B.
3.
【答案】
B
【考点】
解一元二次方程-配方法
【解析】
先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．
【解答】
解：∵ x2−8x−1=0，
∴ x2−8x=1，
∴ x2−8x+16=1+16，即(x−4)2=17.
故选B．
4.
【答案】
B
【考点】
根与系数的关系
一元二次方程的解
【解析】
根据关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为−2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．
【解答】
解：∵ 关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为−2，设另一个根为m，
∴ −2+m=−31，
解得，m=−1，
∴ 两根之积为2.
故选B.
5.
【答案】
D
【考点】
解一元二次方程-公式法
【解析】
用公式法解一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式，然后再确定a、b、c的值，代入公式即可．
【解答】
解：∵ 3x2+4=12x，
∴ 3x2−12x+4=0，
∴ a=3，b=−12，c=4，
∴ x1,2=−(−12)±(−12)2−4×3×42×3，
故选D．
6.
【答案】
D
【考点】
由实际问题抽象出一元二次方程
【解析】
根据增长率为12%，7%，可表示出2012年的国内生产总值，2013年的国内生产总值；求2年的增长率，可用2011年的国内生产总值表示出2013年的国内生产总值，让20013年的国内生产总值相等即可求得所列方程．
【解答】
解：设2017年的国内生产总值为1，
∵ 2018年国内生产总值(GDP)比2017年增长了12%，
∴ 2018年的国内生产总值为1+12%；
∵ 2019年比2018年增长7%，
∴ 2019年的国内生产总值为(1+12%)(1+7%)，
∵ 这两年GDP年平均增长率为x%，
∴ 2019年的国内生产总值也可表示为：(1+x%)2，
∴ 可列方程为：(1+12%)(1+7%)=(1+x%)2．
故选D．
7.
【答案】
C
【考点】
二次函数的性质
【解析】
先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线x=−k，则当x>−k时，y的值随x值的增大而减小，由于x>−2时，y的值随x值的增大而减小，于是得到−k≤−2，再解不等式即可．
【解答】
解：抛物线的对称轴为直线x=1，
因为a=−1<0，
所以抛物线开口向下，
所以当x>1时，y的值随x值的增大而减小，
而t所以1≤t<5，
故选C．
8.
【答案】
C
【考点】
二次函数的图象
一次函数的图象
二次函数图象与系数的关系
一次函数图象与系数的关系
【解析】
本题可先由一次函数y=ax+1图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+a的图象相比较看是否一致．
【解答】
解：当a<0时，二次函数顶点在y轴负半轴，
一次函数经过一、二、四象限；
当a>0时，二次函数顶点在y轴正半轴，
一次函数经过一、二、三象限.
故选C．
9.
【答案】
B
【考点】
三角形三边关系
解一元二次方程-因式分解法
等腰三角形的性质
【解析】
用因式分解法可以求出方程的两个根分别是4和2，根据等腰三角形的三边关系，腰应该是4，底是2，然后可以求出三角形的周长．
【解答】
解：∵ (x−2)(x−4)=0，
∴ x1=4，x2=2，
由三角形的三边关系可得：
腰长是4，底边是2，
所以周长是：4+4+2=10．
故选B.
10.
【答案】
B
【考点】
抛物线与x轴的交点
二次函数图象与系数的关系
【解析】
根据图象得出a<0，b>0，由抛物线与x轴交于A(1, 0)，与y轴交于点B (0, 3)，得出a+b=−3，得出−3【解答】
解：根据图象得：a<0，b<0，
∵ 抛物线与x轴交于A(1, 0)，与y轴交于点B (0, 3)，
∴ a+b+c=0,c=3,
∴ a+b=−3，
∵ b<0，
∴ −3故选B．
二、解答题
【答案】
解：(1)(x−2)2−4=0，
移项，得：(x−2)2=4，
开方，得：x−2=±2，
解得：x1=4，x2=0.
(2)x2−4x−3=0，
常数项移到等号的右边，得：x2−4x=3，
配方，得：(x−2)2=7，
两边开方，得：x−2=±7，
解得：x1=2+7，x2=2−7．
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
解一元二次方程-直接开平方法
【解析】
（1）先变形得到x2=14，然后利用直接开平方法求解．
（2）将方程左边的多项式提取公因式x，分解因式后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】
解：(1)(x−2)2−4=0，
移项，得：(x−2)2=4，
开方，得：x−2=±2，
解得：x1=4，x2=0.
(2)x2−4x−3=0，
常数项移到等号的右边，得：x2−4x=3，
配方，得：(x−2)2=7，
两边开方，得：x−2=±7，
解得：x1=2+7，x2=2−7．
【答案】
解：∵ x=2是这个方程的一个根，
∴ 8−8+2m−1=0，
∴ m=12，
∴ 方程为：2x2−4x=0，
整理得：2x(x−2)=0，
∴ x1=0，x2=2．
答：m的值为12，方程的另一根为0．
【考点】
根与系数的关系
根的判别式
【解析】
(2)将x=1代入方程可求得m的值，解方程即可求得方程的另一根，即可解题．
【解答】
解：∵ x=2是这个方程的一个根，
∴ 8−8+2m−1=0，
∴ m=12，
∴ 方程为：2x2−4x=0，
整理得：2x(x−2)=0，
∴ x1=0，x2=2．
答：m的值为12，方程的另一根为0．
【答案】
(1)证明：∵ 在方程x2−6x−k2=0中，
Δ=(−6)2−4×1×(−k2)=36+4k2，
∵ k2≥0，
∴ 36+4k2>0，即Δ>0.
∴ 方程有两个不相等的实数根．
(2)解：∵ x1，x2为方程x2−6x−k2=0的两个实数根，
∴ x1+x2=6，
∵ x1+2x2=14，
∴ x2=8，x1=−2．
将x=8代入x2−6x−k2=0中，
得：64−48−k2=0，
解得：k=±4．
答：方程的两个实数根为−2和8，k的值为±4．
【考点】
根与系数的关系
根的判别式
【解析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=36+4k2≥36，由此即可证出结论；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=6，结合x1+2x2=14即可求出方程的两个根，再将其中一个根代入原方程中即可求出k的值．
【解答】
(1)证明：∵ 在方程x2−6x−k2=0中，
Δ=(−6)2−4×1×(−k2)=36+4k2，
∵ k2≥0，
∴ 36+4k2>0，即Δ>0.
∴ 方程有两个不相等的实数根．
(2)解：∵ x1，x2为方程x2−6x−k2=0的两个实数根，
∴ x1+x2=6，
∵ x1+2x2=14，
∴ x2=8，x1=−2．
将x=8代入x2−6x−k2=0中，
得：64−48−k2=0，
解得：k=±4．
答：方程的两个实数根为−2和8，k的值为±4．
【答案】
x=3,(3, 1)
(2)列表并画图：
(3)令y=0，则−x2+6x−8=0，
解得x1=2，x2=4，
令x=0，则y=−8，
∴ 抛物线与坐标轴的交点坐标(2, 0),(4, 0),(0, −8)；
(4)由图象可知：当2【考点】
二次函数的性质
二次函数的图象
【解析】
（1）把一般式化成顶点式即可求得；
（2）列表，描点，连线画出函数的图象；
（3）令y=0，解方程求得与x轴的交点坐标，令x=0，求得与y轴的交点坐标；
（4）根据图象即可求得．
【解答】
解：(1)∵ 二次函数y=−x2+6x−8=−(x−3)2+1，
∴ 对称轴为直线x=3，顶点坐标为(3, 1)；
故答案为：x=3；(3, 1)；
(2)列表并画图：
(3)令y=0，则−x2+6x−8=0，
解得x1=2，x2=4，
令x=0，则y=−8，
∴ 抛物线与坐标轴的交点坐标(2, 0),(4, 0),(0, −8)；
(4)由图象可知：当2【答案】
解：(1)设抛物线解析式为y=ax2，
把x=3，y=−3代入，得a=−13，
所以这个二次函数的表达式为y=−13x2；
(2)把y=−2代入解y=−13x2得，x=±6，
所以此时水面宽为26米.
【考点】
二次函数的应用
【解析】
（1）待定系数法求解可得；
【解答】
解：(1)设抛物线解析式为y=ax2，
把x=3，y=−3代入，得a=−13，
所以这个二次函数的表达式为y=−13x2；
(2)把y=−2代入解y=−13x2得，x=±6，
所以此时水面宽为26米.
【答案】
20+2x,40−x
(2)根据题意，得：(20+2x)(40−x)=1200,
解得：x1=20，x2=10,
答：每件童装降价20元或10元，平均每天盈利1200元；
(3)不能，
因为(20+2x)(40−x)=2000 ，此方程无解.
所以不可能做到平均每天盈利2000元．
【考点】
一元二次方程的应用
【解析】
（1）根据：销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润=实际售价-进价，列式即可；
（2）根据：总利润=每件利润×销售数量，列方程求解可得；
（3）根据（2）中相等关系列方程，判断方程有无实数根即可得．
【解答】
解：(1)根据：销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，
每件利润=实际售价−进价，可得，
每天可销售(20+2x)件，每件盈利为：120−x−80=40−x(元).
故答案为：20+2x；40−x.
(2)根据题意，得：(20+2x)(40−x)=1200,
解得：x1=20，x2=10,
答：每件童装降价20元或10元，平均每天盈利1200元；
(3)不能，
因为(20+2x)(40−x)=2000 ，此方程无解.
所以不可能做到平均每天盈利2000元．
【答案】
解：(1)当c=−3时，抛物线为y=x2−2x−3，
∴ 抛物线开口向上，有最小值，
∴ y最小值=4ac−b24a=4×1×(−3)−(−2)24=−4，
∴ y1的最小值为−4；
(2)抛物线与x轴有两个交点，
①当点A，B都在原点的右侧时，如解图1，
设A(m, 0)，
∵ OA=12OB，
∴ B(2m, 0)，
∵ 二次函数y=x2−2x+c的对称轴为x=1，
由抛物线的对称性得1−m=2m−1，解得m=23，
∴ A(23, 0)，
∵ 点A在抛物线y=x2−2x+c上，
∴ 0=49−43+c，解得c=89，
此时抛物线的解析式为y=x2−2x+89；
②当点A在原点的左侧，点B在原点的右侧时，如解图2，
设A(−n, 0)，
∵ OA=12OB，且点A，B在原点的两侧，
∴ B(2n, 0)，
由抛物线的对称性得n+1=2n−1，
解得n=2，
∴ A(−2, 0)，
∵ 点A在抛物线y=x2−2x+c上，
∴ 0=4+4+c，解得c=−8，
此时抛物线的解析式为y=x2−2x−8，
综上，抛物线的解析式为y=x2−2x+89或y=x2−2x−8；
(3)∵ 抛物线y=x2−2x+c与x轴有公共点，
∴ 对于方程x2−2x+c=0，判别式b2−4ac=4−4c≥0，
∴ c≤1，当x=−1时，y=3+c；当x=0时，y=c，
∵ 抛物线的对称轴为x=1，且当−1∴ 3+c>0且c<0，解得−3综上，当−3【考点】
抛物线与x轴的交点
待定系数法求二次函数解析式
二次函数的最值
【解析】
（1）根据二次函数的性质，求出顶点的纵坐标即可解决问题；
（2）分两种情形①当点A、B都在原点的右侧时，如解图1，②当点A在原点的左侧，点B在原点的右侧时，如解图2，分别求解即可；
（3）把问题转化为不等式即可解决问题；
【解答】
解：(1)当c=−3时，抛物线为y=x2−2x−3，
∴ 抛物线开口向上，有最小值，
∴ y最小值=4ac−b24a=4×1×(−3)−(−2)24=−4，
∴ y1的最小值为−4；
(2)抛物线与x轴有两个交点，
①当点A，B都在原点的右侧时，如解图1，
设A(m, 0)，
∵ OA=12OB，
∴ B(2m, 0)，
∵ 二次函数y=x2−2x+c的对称轴为x=1，
由抛物线的对称性得1−m=2m−1，解得m=23，
∴ A(23, 0)，
∵ 点A在抛物线y=x2−2x+c上，
∴ 0=49−43+c，解得c=89，
此时抛物线的解析式为y=x2−2x+89；
②当点A在原点的左侧，点B在原点的右侧时，如解图2，
设A(−n, 0)，
∵ OA=12OB，且点A，B在原点的两侧，
∴ B(2n, 0)，
由抛物线的对称性得n+1=2n−1，
解得n=2，
∴ A(−2, 0)，
∵ 点A在抛物线y=x2−2x+c上，
∴ 0=4+4+c，解得c=−8，
此时抛物线的解析式为y=x2−2x−8，
综上，抛物线的解析式为y=x2−2x+89或y=x2−2x−8；
(3)∵ 抛物线y=x2−2x+c与x轴有公共点，
∴ 对于方程x2−2x+c=0，判别式b2−4ac=4−4c≥0，
∴ c≤1，当x=−1时，y=3+c；当x=0时，y=c，
∵ 抛物线的对称轴为x=1，且当−1∴ 3+c>0且c<0，解得−3综上，当−3【答案】
解：(1)是，“共点”坐标是(0,0).
令x2=−x2得x=0，所以y=0，
故“共点”坐标为(0,0).
(2)令y=x2−2x=0，
得x1=0，x2=2.
当x=0时，−3≠0，
所以(0,0)点不是共点；
当x=2时，4−4m−3=0，
得m=14，
所以y=x2−12x−3.
(3)①若两条抛物线是“共点抛物线”，
则方程−x2+2x+1=−2x2+mx有两个相等的实数根，
方程化简得：x2+(2−m)x+1=0，
由Δ=(2−m)2−4=0，
解得m=0或m=4，
所以m的值为0或4.
② P(−3,0)或P(−5,0)或P(−13,0)，
设点P(a，0)，
当m=0时，Q(−1,−2)，
∴ P′(−2−a，−4)，
∵ PM=MP′，∠A=∠B，∠AMP=∠BP′M，
∴ △APM≅△BMP′(AAS)，
∴ AM=BP′，AP=BM，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1−a=y1+4,y1=−2−a−x1，
∴ 可得M(1，−3−a)，
同理可得，N(−3，a−1)，
分别代入L1解析式可得
a1=−5，a2=−13.
当m=4时，Q(1,2)，
∴ P′(2−a，4).
∵ PM=MP′，∠A=∠B，∠AMP=∠BP′M，
∴ △APM≅△BMP′(AAS)，
∴ AM=BP′，AP=BM，
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
则x3−a=y3−4,y3=2−a−x3，
∴ 可得M(−1，3−a)，N(3，a+1)，
分别代入L1解析式可得
a3=5(舍去)，a4=−3.
∴ P(−3,0)或P(−5,0)或P(−13,0).
【考点】
二次函数综合题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)是，“共点”坐标是(0,0).
令x2=−x2得x=0，所以y=0，
故“共点”坐标为(0,0).
(2)令y=x2−2x=0，
得x1=0，x2=2.
当x=0时，−3≠0，
所以(0,0)点不是共点；
当x=2时，4−4m−3=0，
得m=14，
所以y=x2−12x−3.
(3)①若两条抛物线是“共点抛物线”，
则方程−x2+2x+1=−2x2+mx有两个相等的实数根，
方程化简得：x2+(2−m)x+1=0，
由Δ=(2−m)2−4=0，
解得m=0或m=4，
所以m的值为0或4.
② P(−3,0)或P(−5,0)或P(−13,0)，
设点P(a，0)，
当m=0时，Q(−1,−2)，
∴ P′(−2−a，−4)，
∵ PM=MP′，∠A=∠B，∠AMP=∠BP′M，
∴ △APM≅△BMP′(AAS)，
∴ AM=BP′，AP=BM，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1−a=y1+4,y1=−2−a−x1，
∴ 可得M(1，−3−a)，
同理可得，N(−3，a−1)，
分别代入L1解析式可得
a1=−5，a2=−13.
当m=4时，Q(1,2)，
∴ P′(2−a，4).
∵ PM=MP′，∠A=∠B，∠AMP=∠BP′M，
∴ △APM≅△BMP′(AAS)，
∴ AM=BP′，AP=BM，
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
则x3−a=y3−4,y3=2−a−x3，
∴ 可得M(−1，3−a)，N(3，a+1)，
分别代入L1解析式可得
a3=5(舍去)，a4=−3.
∴ P(−3,0)或P(−5,0)或P(−13,0).
x
…
…
y
…
…
x
…
1
2
3
4
5
…
y
…
−3
0
1
0
−3
…
x
…
1
2
3
4
5
…
y
…
−3
0
1
0
−3
…