2019-2020学年初三（上）10月月考数学试卷

这是一份2019-2020学年初三（上）10月月考数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 一元二次方程2x2−3x−1=0的二次项系数是2，则一次项系数是( )
A.3B.−3C.1D.−1

2. 已知x=1是方程x2+ax+2=0的一个根，则a的值是（ ）
A.−2B.−3C.2D.3

3. 用配方法解方程x2+8x+7=0，则配方正确的是（ ）
A.(x−4)2=9B.(x+4)2=9C.(x−8)2=16D.(x+8)2=57

4. 对于抛物线y=−12(x−1)2+2的说法错误的是( )
A.抛物线的开口向下B.抛物线的顶点坐标是(1, 2)
C.抛物线的对称轴是直线x=1D.当x0且b>a+c时，方程ax2+bx+c=0一定有实数根；
④若a+c=0，则方程ax2+bx+c=0有两个不相等实数根；
其中正确的结论个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题

如图所示，在△ABC中，∠C=90∘，AC=6cm，BC=8cm.点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，如果P，Q同时出发，存在某一时刻t，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的13，则t=________s.

三、解答题

请按指定的方法解方程，否则不得分．
(1)x2+10x+9=0（配方法）；

(2)3x2−6x−2=0（公式法）.

已知关于x的一元二次方程(x−3)(x−2)=m2.
(1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．

已知关于x的方程x2+(2k−1)x+k2−1=0有两个实数根x1，x2．
(1)求实数k的取值范围；

(2)若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值．

如图，二次函数y2=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A(−3, 0)，B(1, 0)，交y轴于点C，C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数y1=mx+n的图象经过B，D两点．

(1)求a，b的值及点D的坐标；

(2)根据图象写出y2>y1时，x的取值范围．

如图，要建一个矩形的鸡场ABCD，鸡场的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，墙的长度为14m，墙的对面开一个1m宽的门，现有竹篱笆总长31m.

(1)若要围成的鸡场面积为120m2，求鸡场的长和宽各是几米？

(2)当AB边的长为多少m时，鸡场面积最大，最大面积为多少？

已知方程x2+x−1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x=y2．把x=y2代入已知方程，得(y2)2+y2−1=0.
化简，得y2+2y−4=0.故所求方程为y2+2y−4=0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用“换根法”求新方程（要求：把新方程化成一般形式）.
(1)已知方程x2+x−2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数.

(2)己知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个均不为零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．

如图1，已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(−1, 0)，B(3, 0)两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．

(1)求抛物线的表达式；

(2)设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是菱形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．
①求S关于t的函数表达式；
②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
参考答案与试题解析
2019-2020学年湖北省荆州市某校初三（上）10月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
一元二次方程的一般形式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可知，该一元二次方程的一次项系数为：−3.
故选B.
2.
【答案】
B
【考点】
一元二次方程的解
【解析】
一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【解答】
解：把x=1代入方程x2+ax+2=0，
得1+a+2=0，
即a=−3．
故选B.
3.
【答案】
B
【考点】
解一元二次方程-配方法
【解析】
方程常数项移到右边，两边加上16，配方得到结果，即可做出判断．
【解答】
解：方程x2+8x+7=0，
变形得：x2+8x=−7，
配方得：x2+8x+16=9，即(x+4)2=9，
故选B.
4.
【答案】
D
【考点】
二次函数的性质
【解析】
找到题目中函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性后即可得到答案．
【解答】
解：在y=−12(x−1)2+2中，a=−121时，
y随着x的增大而减小．
故选D．
5.
【答案】
C
【考点】
一元二次方程的应用——增长率问题
【解析】
本题可根据：原售价×（1−降低率）​2=降低后的售价，然后列出方程求解即可．
【解答】
解：设每次降价的百分率为x，
依题意得：1000(1−x)2=810，
化简得：(1−x)2=0.81，
解得：x=0.1或1.9（舍去），
所以平均每次降价的百分率为10%．
故选C．
6.
【答案】
D
【考点】
二次函数图象与几何变换
【解析】
利用二次函数图象平移规律，上加下减进而得出即可．
【解答】
解：二次函数图象平移规律为：上加下减，
则抛物线y=x2向下平移一个单位得到抛物线y=x2−1.
故选D.
7.
【答案】
B
【考点】
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质
一次函数图象与系数的关系
点的坐标
【解析】
由直线y=3x+m经过第一，三，四象限可判断m的符号，再由抛物线y=(x−m)2+1求顶点坐标，判断象限．
【解答】
解：∵ 直线y=3x+m经过第一，三，四象限，
∴ m0，即可得出△=b2−4ac>0，则方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等实根．
【解答】
解：①当c=0时Δ=b2≥0，一元二次方程为x(ax+b)=0，
即若c=0，则方程必有一根为0，故此选项正确；
②当a⋅c=1时，方程ax2+bx+1a=0的两根之积为1aa=1a2，
仅当a=±1时，积为1，此时两根才互为倒数，故此选项错误；
③当a>0且b>a+c时，
Δ=b2−4ac>(a+c)2−4ac=(a−c)2≥0，
此时方程ax2+bx+c=0必有实数根，故此选项正确；
④当a+c=0时，把x=1代入方程ax2+bx+c=0得a+b+c=0，
则b=0，c=−a≠0，Δ=b2−4ac=4a2>0，
则方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等实根，故此选项正确.
所以①③④正确.
故选C.
二、填空题
【答案】
2或4
【考点】
一元二次方程的应用——几何图形面积问题
【解析】
根据直角三角形的面积公式和路程=速度×时间进行求解即可．
【解答】
解：由题意得：S△ABC=12×6×8=24cm2.
设x秒钟后，S△PCQ=13S△ABC，
2x×(6−x)÷2=8
解得x1=2，x2=4．
经检验均是原方程的解．
故答案为：2或4．
三、解答题
【答案】
解：(1)x2+10x+9=0，
配方，得(x+5)2=16，
开方，得x+5=4或x+5=−4，
解得x1=−1，x2=−9.
(2)解：a=3，b=−6，c=−2，
b2−4ac=(−6)2−4×3×(−2)=60，
∵ x=−(−6)±602×3=3±153，
∴ x1=3+153，x2=3−153．
【考点】
解一元二次方程-公式法
解一元二次方程-配方法
【解析】
（1）移项，配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）求出b2−4ac的值，再代入公式求出即可．
【解答】
解：(1)x2+10x+9=0，
配方，得(x+5)2=16，
开方，得x+5=4或x+5=−4，
解得x1=−1，x2=−9.
(2)解：a=3，b=−6，c=−2，
b2−4ac=(−6)2−4×3×(−2)=60，
∵ x=−(−6)±602×3=3±153，
∴ x1=3+153，x2=3−153．
【答案】
解：(1)∵ 关于x的一元二次方程(x−3)(x−2)=m2，
∴ x2−5x+6−m2=0，
∴ Δ=25−4(6−m2)=1+4m2>0，
∴ 对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是1，
则(1−3)×(1−2)=m2，
∴ 2=m2，
解得m=±2，
原方程变形为x2−5x+4=0，
设方程的另一个根为a，
则1×a=4，
a=4，
则方程的另一个根为4．
【考点】
根的判别式
一元二次方程的解
【解析】
（1）先把方程(x−3)(x−2)=m2，变形为x2−6x+6−m2=0，得出△=36−4(6−m2)=12+4m2>0，即可得出答案；
（2）把1代入原方程，得出m，再把原方程变形为x2−6x+4=0，设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系求出方程的另一个根即可．
【解答】
解：(1)∵ 关于x的一元二次方程(x−3)(x−2)=m2，
∴ x2−5x+6−m2=0，
∴ Δ=25−4(6−m2)=1+4m2>0，
∴ 对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是1，
则(1−3)×(1−2)=m2，
∴ 2=m2，
解得m=±2，
原方程变形为x2−5x+4=0，
设方程的另一个根为a，
则1×a=4，
a=4，
则方程的另一个根为4．
【答案】
解：(1)∵ 关于x的方程x2+(2k−1)x+k2−1=0有两个实数根x1，x2，
∴ Δ=(2k−1)2−4(k2−1)=−4k+5≥0，
解得：k≤54，
∴ 实数k的取值范围为k≤54．
(2)∵ 关于x的方程x2+(2k−1)x+k2−1=0有两个实数根x1，x2，
∴ x1+x2=1−2k，x1⋅x2=k2−1．
∵ x12+x22=(x1+x2)2−2x1⋅x2=16+x1⋅x2，
∴ (1−2k)2−2×(k2−1)=16+(k2−1)，即k2−4k−12=0，
解得：k=−2或k=6（不符合题意，舍去）．
∴ 实数k的值为−2．
【考点】
根与系数的关系
根的判别式
【解析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=−4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=1−2k、x1⋅x2=k2−1，将其代入x12+x22=(x1+x2)2−2x1⋅x2=16+x1⋅x2中，解之即可得出k的值．
【解答】
解：(1)∵ 关于x的方程x2+(2k−1)x+k2−1=0有两个实数根x1，x2，
∴ Δ=(2k−1)2−4(k2−1)=−4k+5≥0，
解得：k≤54，
∴ 实数k的取值范围为k≤54．
(2)∵ 关于x的方程x2+(2k−1)x+k2−1=0有两个实数根x1，x2，
∴ x1+x2=1−2k，x1⋅x2=k2−1．
∵ x12+x22=(x1+x2)2−2x1⋅x2=16+x1⋅x2，
∴ (1−2k)2−2×(k2−1)=16+(k2−1)，即k2−4k−12=0，
解得：k=−2或k=6（不符合题意，舍去）．
∴ 实数k的值为−2．
【答案】
解：(1)设抛物线解析式为y=a(x+3)(x−1)=ax2+2ax−3a，
则−3a=3，解得a=−1，
所以抛物线解析式为y=−x2−2x+3，
所以b=−2，
抛物线的对称轴为直线x=−1，
当x=0时，y2=ax2+bx+3=0，则C点坐标为(0, 3)，
由于C，D是二次函数图象上的一对对称点，
∴ D点坐标为(−2, 3)；
(2)当二次函数图象在一次函数图象上方时，y2>y1，
即当−2