部分学校八年级（上）月考数学试卷（12月份）

这是一份部分学校八年级（上）月考数学试卷（12月份），共23页。试卷主要包含了 下列运算结果正确的是等内容，欢迎下载使用。


1. 如图所示图形是轴对称图形的有( )

A.2个B.3个C.4个D.5个

2. 下列运算结果正确的是( )
A.a3⋅a4=a12B.a2+a2=a4C.(−a2)3=−a6D.(3a)3=3a3

3. 点P(1, −2)关于x轴的对称点是P1，P1关于y轴的对称点坐标是P2，则P2的坐标为( )
A.(1, −2)B.(−1, 2)C.(−1, −2)D.(−2, −1)

4. 下列条件中，能判定△ABC≅△DEF的是( )
A.AB=DE，BC=EF，∠A=∠D
B.∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF
C.∠B=∠E，∠A=∠D，AC=EF
D.∠B=∠E，∠A=∠D，AB=DE

5. 下列多项式中，不能进行因式分解的是( )
A.−a2+b2B.−a2−b2
C.a3−3a2+2aD.a2−2ab+b2−1

6. 如图，把矩形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是( )

A.△EBD是等腰三角形，EB=ED
B.折叠后∠ABE和∠CBD一定相等
C.折叠后得到的图形是轴对称图形
D.△EBA和△EDC一定是全等三角形

7. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A.4B.5C.6D.7

8. 如图，△ABC中BD，CD平分∠ABC，∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F，当∠A的位置及大小变化时，线段EF和BE+CF的大小关系( )

A.EF>BE+CFB.EF=BE+CFC.EF
9. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是( )

A.6B.7C.8D.9

10. 如图所示，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是( )
①点P在∠A的平分线上；
②AS=AR；
③QP // AR；
④△BRP≅△QSP．
A.全部正确B.仅①和②正确C.仅②③正确D.仅①和③正确
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

已知am⋅a3=a10，则m=________．

在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=2∠A，BC=3cm，AB=________cm．

若4x2−2kx+1是完全平方式，则k=________．

计算：(−2)2012×(12)2013等于________．

如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=________​∘．


边长分别为a和2a的两个正方形按如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为________．

三、解答题

计算：
1a2(2a)3−a(3a+8a4)

2x(x−1)+2x(x+1)−3x(2x−5)

分解因式：
1x4−2x3−35x2;

2x2−4xy−1+4y2．

已知x+y=5，xy=1，求.
1x2+y2；

2(x−y)2．

如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．

1求证：DE=DF；

2若∠A=60∘，BE=1，求△ABC的周长．

已知：如图，已知△ABC．

1分别画出与△ABC关于x轴、y轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2；

2求△ABC的面积；

3在x轴上画出点P，使△PAB的周长最小．

如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．
1求C点的坐标；

2如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP−DE的值．


如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110∘，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60∘得△ADC，连接OD．

1求证：△COD是等边三角形；

2当a=150∘时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

3探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？

如图1，△ACB为等腰三角形，∠ABC=90∘，点P在线段BC上（不与B，C重合），以AP为腰长作等腰直角△PAQ，QE⊥AB于E．

1求证：△PAB≅△AQE；

2连接CQ交AB于M，若PC=2PB，求PCMB的值；

3如图2，过Q作QF⊥AQ交AB的延长线于点F，过P点作DP⊥AP交AC于D，连接DF，当点P在线段BC上运动时（不与B，C重合），式子QF−DPDF的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．
参考答案与试题解析
2015-2016学年湖北省武汉市部分学校八年级（上）月考数学试卷（12月份）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.
【答案】
C
【考点】
轴对称图形
【解析】
根据轴对称图形的概念求解．
【解答】
解：由图可得，第1，2，4，5个图形为轴对称图形，共4个．
故选C．
2.
【答案】
C
【考点】
同底数幂的乘法
幂的乘方与积的乘方
合并同类项
【解析】
结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方以及合并同类项等运算，然后选择正确选项．
【解答】
解：A、a3⋅a4=a7，原式计算错误，故本选项错误；
B、a2+a2=2a2，原式计算错误，故本选项错误；
C、(−a2)3=−a6，原式计算正确，故本选项正确；
D、(3a)3=27a3，原式计算错误，故本选项错误．
故选C．
3.
【答案】
B
【考点】
关于x轴、y轴对称的点的坐标
【解析】
根据平面直角坐标系中对称点的规律解答．
【解答】
解：点P(1, −2)关于x轴的对称点是P1(1, 2)，
P1关于y轴的对称点坐标P2的坐标为(−1, 2)，
故选B．
4.
【答案】
D
【考点】
全等三角形的判定
【解析】
全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，看看已知是否符合条件，即可得出答案．
【解答】
解：如图：
A、根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠D不能判定两三角形全等，故本选项错误；
B、根据∠A=∠D，∠C=∠F，AC=DF才能得出两三角形全等，故本选项错误；
C、根据∠B=∠E，∠A=∠D，AC=DF才能得出两三角形全等，故本选项错误；
D、∵ 在△ABC和△DEF中
∠B=∠E,AB=DE,∠A=∠D.
∴ △ABC≅△DEF(ASA)，故本选项正确；
故选D．
5.
【答案】
B
【考点】
因式分解-分组分解法
因式分解的概念
因式分解-提公因式法
因式分解-运用公式法
【解析】
根据多项式特点判断后利用排除法求解．
【解答】
解：A、两个平方项异号，可用平方差公式进行因式分解；
B、两个平方项同号，不能运用平方差公式进行因式分解；
C、可先运用提公因式法，再运用十字相乘法，原式=a(a2−3a+2)=a(a−1)(a−2)；
D、可先分组，再运用公式法，原式=(a−b)2−1=(a−b+1)(a−b−1)．
故选B．
6.
【答案】
B
【考点】
矩形的性质
翻折变换（折叠问题）
【解析】
对翻折变换及矩形四个角都是直角和对边相等的性质的理解及运用．
【解答】
解：
∵ ABCD为矩形,
∴ ∠A=∠C，AB=CD,
∵ ∠AEB=∠CED,
∴ △AEB≅△CED,（故D选项正确）
∴ BE=DE（故A选项正确）
∠ABE=∠CDE（故B选项不正确）
∵ △EBA≅△EDC，△EBD是等腰三角形
∴ 过E作BD边的中垂线，即是图形的对称轴．（故C选项正确）
故选B．
7.
【答案】
C
【考点】
多边形内角与外角
【解析】
多边形的外角和是360∘，则内角和是2×360＝720∘．设这个多边形是n边形，内角和是(n−2)⋅180∘，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．
【解答】
解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
(n−2)×180∘=2×360∘，
解得：n＝6．
即这个多边形为六边形．
故选C.
8.
【答案】
B
【考点】
等腰三角形的判定与性质
平行线的性质
【解析】
根据平行线的性质和角平分线的性质，解出△BED和△CFD是等腰三角形，通过等量代换即可得出结论．
【解答】
解：如图：
由BD平分∠ABC得，∠EBD=12∠ABC，
∵ EF // BC，
∴ ∠AEF=∠ABC=2∠EBD，∠AEF=∠EBD+∠EDB，
∴ ∠EBD=∠EDB，
∴ △BED是等腰三角形，
∴ ED=BE，
同理可得，DF=FC(△CFD是等腰三角形)，
∴ EF=ED+DF=BE+FC，
∴ EF=BE+CF．
故选B．
9.
【答案】
C
【考点】
等腰三角形的判定与性质
【解析】
根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．
【解答】
解：
如图：分情况讨论．
①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选C．
10.
【答案】
A
【考点】
等边三角形的判定方法
等边三角形的判定
【解析】
因为△ABC为等边三角形，根据已知条件可推出Rt△ARP≅Rt△ASP，则AR=AS，故(2)正确，∠BAP=∠CAP，所以AP是等边三角形的顶角的平分线，故(1)正确，根据等腰三角形的三线合一的性质知，AP也是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点，因为AQ=PQ，所以点Q是AC的中点，所以PQ是边AB对的中位线，有PQ // AB，故(3)正确，又可推出△BRP≅△QSP，故(4)正确．
【解答】
解：如图：
∵ PR⊥AB于R，PS⊥AC于S,
∴ ∠ARP=∠ASP=90∘.
∵ PR=PS，AP=AP,
∴ Rt△ARP≅Rt△ASP.
∴ AR=AS，故②正确，∠BAP=∠CAP,
∴ AP是等边三角形的顶角的平分线，故①正确.
∴ AP是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点.
∵ AQ=PQ,
∴ 点Q是AC的中点.
∴ PQ是边AB所对的中位线,
∴ PQ // AB，故③正确.
∴ △CPQ是等边三角形，
∴ PQ=PC，∠PQS=∠C,
∵ ∠B=∠C=∠PQS=60∘，
∠BRP=∠CSP=90∘，BP=CP=QP.
∴ △BRP≅△QSP，
故④正确.
∴ 全部正确．
故选A．
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
【答案】
7
【考点】
同底数幂的乘法
【解析】
先根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得出m+3=10，从而求出m的值．
【解答】
解：∵ am⋅a3=a10，
∴ m+3=10，
∴ m=7，
故答案为：7．
【答案】
6
【考点】
直角三角形的性质
含30度角的直角三角形
【解析】
根据直角三角形的性质即可解答．
【解答】
解：如图，
∵ Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=2∠A，
∴ ∠A+∠B=90∘，
∴ ∠A=30∘，∠B=60∘，
∴ BCAB=12.
∵ BC=3cm，
∴ AB=2×3=6cm．
故答案为：6．
【答案】
±2
【考点】
完全平方公式
【解析】
这里首末两项是2x和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和1积的2倍．
【解答】
解：∵ 4x2−2kx+1是完全平方式，
又∵ 4x2±4x+1=(2x±1)2是完全平方式，
∴ −2k=±4，
解得k=±2．
故答案为：±2.
【答案】
12
【考点】
幂的乘方与积的乘方
【解析】
根据积的乘方，即可解答．
【解答】
解：原式=(−2×12)2012×12
=1×12
=12．
故答案为：12．
【答案】
135
【考点】
全等三角形的性质
【解析】
观察图形可知∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，利用这些关系可解此题．
【解答】
解：如图：
观察图形可知：△ABC≅△BDE，
∴ ∠1=∠DBE，
又∵ ∠DBE+∠3=90∘，
∴ ∠1+∠3=90∘．
∵ ∠2=45∘，
∴ ∠1+∠2+∠3=∠1+∠3+∠2
=90∘+45∘=135∘．
故答案为：135．
【答案】
2a2
【考点】
整式的混合运算在实际中的应用
整式的混合运算
【解析】
结合图形，发现：阴影部分的面积=大正方形的面积的+小正方形的面积-直角三角形的面积．
【解答】
解：阴影部分的面积=大正方形的面积+小正方形的面积−直角三角形的面积
=(2a)2+a2−12⋅2a⋅3a
=4a2+a2−3a2=2a2．
故答案为：2a2．
三、解答题
【答案】
解：1原式=a2⋅8a3−3a2−8a5
=8a5−3a2−8a5
=−3a2；
2原式=x2−x+2x2+2x−6x2+15x
=−3x2+16x．
【考点】
整式的混合运算
【解析】
（1）先进行乘方运算，再进行乘法运算，然后合并即可；
（2）先进行单项式乘多项式，然后合并即可．
【解答】
解：1原式=a2⋅8a3−3a2−8a5
=8a5−3a2−8a5
=−3a2；
2原式=x2−x+2x2+2x−6x2+15x
=−3x2+16x．
【答案】
解：1原式=x2(x2−2x−35)
=x2(x−7)(x+5)．
2原式=(x2−4xy+4y2)−1
=(x−2y)2−1
=(x−2y+1)(x−2y−1)．
【考点】
因式分解-分组分解法
因式分解-提公因式法
【解析】
（1）利用提公因式法和十字相乘法分解因式，即可解答；
（2）利用平方差公式和完全平方公式分解因式，即可解答．
【解答】
解：1原式=x2(x2−2x−35)
=x2(x−7)(x+5)．
2原式=(x2−4xy+4y2)−1
=(x−2y)2−1
=(x−2y+1)(x−2y−1)．
【答案】
解：1x2+y2=(x+y)2−2xy
=52−2×1
=25−2
=23；
2(x−y)2=(x+y)2−4xy
=52−4×1
=25−4
=21.
【考点】
整式的混合运算——化简求值
【解析】
根据完全平方公式分别利用已知条件表示出所求代数式，然后代入数据计算即可．
【解答】
解：1x2+y2=(x+y)2−2xy
=52−2×1
=25−2
=23；
2(x−y)2=(x+y)2−4xy
=52−4×1
=25−4
=21.
【答案】
1证明：如图：
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠BED=∠CFD=90∘，
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C（等边对等角）．
∵ D是BC的中点，
∴ BD=CD．
在△BED和△CFD中，
∠BED=∠CFD，∠B=∠C，BD=CD.
∴ △BED≅△CFD(AAS)．
∴ DE=DF.
2解：∵ AB=AC，∠A=60∘，
∴ △ABC为等边三角形．
∴ ∠B=60∘，
∵ ∠BED=90∘，
∴ ∠BDE=30∘，
∴ BE=12BD，
∵ BE=1，
∴ BD=2，
∴ BC=2BD=4，
∴ △ABC的周长为12．
【考点】
全等三角形的性质与判定
直角三角形的性质
等边三角形的判定方法
全等三角形的性质
【解析】
（1）根据DE⊥AB，DF⊥AC，AB=AC，求证∠B=∠C．再利用D是BC的中点，求证△BED≅△CFD即可得出结论．
（2）根据AB=AC，∠A=60∘，得出△ABC为等边三角形．然后求出∠BDE=30∘，再根据题目中给出的已知条件即可算出△ABC的周长．
【解答】
1证明：如图：
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠BED=∠CFD=90∘，
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C（等边对等角）．
∵ D是BC的中点，
∴ BD=CD．
在△BED和△CFD中，
∠BED=∠CFD，∠B=∠C，BD=CD.
∴ △BED≅△CFD(AAS)．
∴ DE=DF.
2解：∵ AB=AC，∠A=60∘，
∴ △ABC为等边三角形．
∴ ∠B=60∘，
∵ ∠BED=90∘，
∴ ∠BDE=30∘，
∴ BE=12BD，
∵ BE=1，
∴ BD=2，
∴ BC=2BD=4，
∴ △ABC的周长为12．
【答案】
解：1如图所示，
2S△ABC=3×4−12×1×4
−12×2×2−12×2×3
=12−2−2−3
=5；
3如图：
连接AB1交x轴于点P，则P点即为所求点．
【考点】
三角形的面积
轴对称——最短路线问题
作图-轴对称变换
【解析】
（1）作出各点关于x、y轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）利用矩形的面积减去各顶点上三角形的面积即可；
（3）连接AB1交x轴于点P，则P点即为所求点．
【解答】
解：1如图所示，
2S△ABC=3×4−12×1×4
−12×2×2−12×2×3
=12−2−2−3
=5；
3如图：
连接AB1交x轴于点P，则P点即为所求点．
【答案】
解：1如图，过C作CM⊥x轴于M点，
∵ ∠MAC+∠OAB=90∘，∠OAB+∠OBA=90∘，
则∠MAC=∠OBA，
在△MAC和△OBA中
∠CMA=∠AOB=90∘,∠MAC=∠OBA,AC=AB.
∴ △MAC≅△OBA(AAS)，
∴ CM=OA=2，MA=OB=4，
∴ OM=OA+AM=2+4=6，
∴ 点C的坐标为(−6, −2)．
2如图，过D作DQ⊥OP于Q点，
则DE=OQ,
∴ OP−DE=OP−OQ=PQ，
∵ ∠APO+∠QPD=90∘，
∠APO+∠OAP=90∘，
∴ ∠QPD=∠OAP，
在△AOP和△PQD中，
∠AOP=∠PQD=90∘,∠OAP=∠QPD,AP=PD.
∴ △AOP≅△PQD(AAS)．
∴ PQ=OA=2．
即OP−DE=2．
【考点】
全等三角形的性质与判定
直角三角形全等的判定
【解析】
①如图1，过C作CM⊥x轴于M点，则可以求出△MAC≅△OBA，可得CM=OA=2，MA=OB=4，故点C的坐标为(−6, −2)．
②如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，则DE=OQ
利用三角形全等的判定定理可得△AOP≅△PQD(AAS)
进一步可得PQ=OA=2，即OP−DE=2．
【解答】
解：1如图，过C作CM⊥x轴于M点，
∵ ∠MAC+∠OAB=90∘，∠OAB+∠OBA=90∘，
则∠MAC=∠OBA，
在△MAC和△OBA中
∠CMA=∠AOB=90∘,∠MAC=∠OBA,AC=AB.
∴ △MAC≅△OBA(AAS)，
∴ CM=OA=2，MA=OB=4，
∴ OM=OA+AM=2+4=6，
∴ 点C的坐标为(−6, −2)．
2如图，过D作DQ⊥OP于Q点，
则DE=OQ,
∴ OP−DE=OP−OQ=PQ，
∵ ∠APO+∠QPD=90∘，
∠APO+∠OAP=90∘，
∴ ∠QPD=∠OAP，
在△AOP和△PQD中，
∠AOP=∠PQD=90∘,∠OAP=∠QPD,AP=PD.
∴ △AOP≅△PQD(AAS)．
∴ PQ=OA=2．
即OP−DE=2．
【答案】
1证明：∵ 将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60∘得△ADC，
∴ CO=CD，∠OCD=60∘，
∴ △COD是等边三角形．
解：2当α=150∘时，△AOD是直角三角形．
理由是：∵ 将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60∘得△ADC，
∴ △BOC≅△ADC，
∴ ∠ADC=∠BOC=150∘，
又∵ △COD是等边三角形，
∴ ∠ODC=60∘，
∴ ∠ADO=∠ADC−∠ODC=90∘，
∵ ∠α=150∘，∠AOB=110∘，∠COD=60∘，
∴ ∠AOD=360∘−∠α−∠AOB−∠COD
=360∘−150∘−110∘−60∘=40∘，
∴ △AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．
3①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，
∵ ∠AOD=360∘−110∘−60∘−α=190∘−α，
∠ADO=α−60∘，
∴ 190∘−α=α−60∘，
∴ α=125∘；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．
∵ ∠OAD=180∘−(∠AOD+∠ADO)=180∘−(190∘−α+α−60∘)=50∘，
∴ α−60∘=50∘，
∴ α=110∘；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．
∵ ∠AOD=360∘−110∘−60∘−α=190∘−α，
∠OAD=180∘−(α−60∘)2=120∘−α2，
∴ 190∘−α=120∘−α2，
解得α=140∘．
综上所述：当α的度数为125∘或110∘或140∘时，△AOD是等腰三角形．
【考点】
旋转的性质
等边三角形的判定方法
等腰三角形的判定与性质
全等三角形的性质
【解析】
（1）根据旋转的性质可得出OC=OD，结合题意即可证得结论；
（2）结合（1）的结论可作出判断；
（3）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答．
【解答】
1证明：∵ 将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60∘得△ADC，
∴ CO=CD，∠OCD=60∘，
∴ △COD是等边三角形．
解：2当α=150∘时，△AOD是直角三角形．
理由是：∵ 将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60∘得△ADC，
∴ △BOC≅△ADC，
∴ ∠ADC=∠BOC=150∘，
又∵ △COD是等边三角形，
∴ ∠ODC=60∘，
∴ ∠ADO=∠ADC−∠ODC=90∘，
∵ ∠α=150∘，∠AOB=110∘，∠COD=60∘，
∴ ∠AOD=360∘−∠α−∠AOB−∠COD
=360∘−150∘−110∘−60∘=40∘，
∴ △AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．
3①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，
∵ ∠AOD=360∘−110∘−60∘−α=190∘−α，
∠ADO=α−60∘，
∴ 190∘−α=α−60∘，
∴ α=125∘；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．
∵ ∠OAD=180∘−(∠AOD+∠ADO)=180∘−(190∘−α+α−60∘)=50∘，
∴ α−60∘=50∘，
∴ α=110∘；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．
∵ ∠AOD=360∘−110∘−60∘−α=190∘−α，
∠OAD=180∘−(α−60∘)2=120∘−α2，
∴ 190∘−α=120∘−α2，
解得α=140∘．
综上所述：当α的度数为125∘或110∘或140∘时，△AOD是等腰三角形．
【答案】
1证明：∵ △ACB为等腰三角形，∠ABC=90∘，
点P在线段BC上（不与B，C重合），
以AP为腰长作等腰直角△PAQ，
QE⊥AB于E．
∴ AP=AQ，∠ABC=∠QEA=90∘，
∠QAE+∠BAP=∠BAP+∠APB=90∘，
∴ ∠QAE=∠APB，
在△PAB和△AQE中，
∠ABP=∠QEA,∠APB=∠QAE,PA=AQ.
∴ △PAB≅△AQE(AAS)；
解：2∵ △PAB≅△AQE，
∴ AE=PB，
∵ AB=CB，
∴ QE=AB=CB．
在△QEM和△CBM中，
∠QME=∠CMB,∠QEM=∠CBM,QE=CB.
∴ △QEM≅△CBM(AAS)，
∴ ME=MB，
∵ AB=CB，AE=PB，PC=2PB，
∴ BE=PC，
∵ PC=2PB，
∴ PC=2MB，
∴ PCMB=2；
3式子QF−DPDF的值不会变化．
如下图2所示：作HA⊥AC交QF于点H，
∵ QA⊥AP，HA⊥AC，AP⊥PD，
∴ ∠QAH+∠HAP=∠HAP+∠PAD=90∘，
∠AQH=∠APD=90∘，
∴ ∠QAH=∠PAD，
∵ △PAQ为等腰直角三角形，
∴ AQ=AP，
在△AQH和△APD中，
∠AQH=∠APD,AQ=AP,∠QAH=∠PAD.
∴ △AQH≅△APD(ASA)，
∴ AH=AD，QH=PD，
∵ HA⊥AC，∠BAC=45∘，
∴ ∠HAF=∠DAF，
在△AHF和△ADF中，
AH=AD,∠HAF=∠DAF,AF=AF.
∴ △AHF≅△ADF(SAS)，
∴ HF=DF，
∴ QF−DPDF=QF−QHHF=HFHF=1．
【考点】
全等三角形的性质与判定
等腰直角三角形
【解析】
（1）根据题目中的信息可以得到AQ=AP，∠QEA与∠ABP之间的关系，∠QAE与∠APB之间的关系，从而可以解答本题；
（2）由第一问中的两个三角形全等，可以得到各边之间的关系，然后根据题目中的信息找到PC与MB的关系，从而可以解答本题；
（3）作合适的辅助线，构造直角三角形，通过三角形的全等可以找到所求问题需要的边之间的关系，从而可以解答本题．
【解答】
1证明：∵ △ACB为等腰三角形，∠ABC=90∘，
点P在线段BC上（不与B，C重合），
以AP为腰长作等腰直角△PAQ，
QE⊥AB于E．
∴ AP=AQ，∠ABC=∠QEA=90∘，
∠QAE+∠BAP=∠BAP+∠APB=90∘，
∴ ∠QAE=∠APB，
在△PAB和△AQE中，
∠ABP=∠QEA,∠APB=∠QAE,PA=AQ.
∴ △PAB≅△AQE(AAS)；
解：2∵ △PAB≅△AQE，
∴ AE=PB，
∵ AB=CB，
∴ QE=AB=CB．
在△QEM和△CBM中，
∠QME=∠CMB,∠QEM=∠CBM,QE=CB.
∴ △QEM≅△CBM(AAS)，
∴ ME=MB，
∵ AB=CB，AE=PB，PC=2PB，
∴ BE=PC，
∵ PC=2PB，
∴ PC=2MB，
∴ PCMB=2；
3式子QF−DPDF的值不会变化．
如下图2所示：作HA⊥AC交QF于点H，
∵ QA⊥AP，HA⊥AC，AP⊥PD，
∴ ∠QAH+∠HAP=∠HAP+∠PAD=90∘，
∠AQH=∠APD=90∘，
∴ ∠QAH=∠PAD，
∵ △PAQ为等腰直角三角形，
∴ AQ=AP，
在△AQH和△APD中，
∠AQH=∠APD,AQ=AP,∠QAH=∠PAD.
∴ △AQH≅△APD(ASA)，
∴ AH=AD，QH=PD，
∵ HA⊥AC，∠BAC=45∘，
∴ ∠HAF=∠DAF，
在△AHF和△ADF中，
AH=AD,∠HAF=∠DAF,AF=AF.
∴ △AHF≅△ADF(SAS)，
∴ HF=DF，
∴ QF−DPDF=QF−QHHF=HFHF=1．