模块十一函数与导数综合练习题

模块十一 函数与导数综合

一、解答题

1．已知函数的最小值为0，其中

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若对任意的有≤成立，求实数的最小值；

（Ⅲ）证明（）.

2．已知函数，（），

（1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a,b的值

（2）当时，若函数在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围

3．

设函数

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）已知对任意成立，求实数的取值范围．

4．已知函数.

（1）求的值；

（2）求，求实数的取值范围.

5．已知函数的定义域是.

（1）求实数的取值范围;

（2）解关于的不等式.

6．已知函数（ 为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）设,其中 为的导函数.证明：对任意 .

7．设

（I）求在上的最小值；

（II）设曲线在点的切线方程为；求的值．

8．已知函数f（x）=ex＋ax2-ex，a∈R[

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P

9．设函数，为正整数，为常数，曲线在处的切线方程为．

（1）求的值； （2）求函数的最大值； （3）证明：．

10．已知函数（且）在区间上的最大值是16，

（1）求实数的值；

（2）假设函数的定义域是，求不等式的实数的取值范围．

11．设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4．

（1）求直线AB的斜率；

（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．

12．已知函数

（1）画出函数的图象；

（2）若，求的取值范围.

13．已知函数．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．

14．已知函数．

（1）画出和的图像；

（2）若，求a的取值范围．

15．已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）记在区间，上的最小值为，令

如果对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围；

求证：．

参考答案

1．(1)(2)(3) 见解析

【考点定位】本小题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，不等式基础知识.考查函数思想、分类讨论思想.考查综合分析和解决问题的能力.试题分为三问，题面比较简单，给出的函数比较常规，因此入手对于同学们来说没有难度，第二问中，解含参数的不等式时，要注意题中参数的讨论所有的限制条件，从而做到不重不漏；第三问中，证明不等式，应借助于导数证不等式的方法进行.

【解析】

(1)解：的定义域为

由，得

当x变化时，，的变化情况如下表：

因此，在处取得最小值，故由题意，所以

（2）解：当时，取，有，故时不合题意.当时，令，即

令，得

①当时，，在上恒成立．因此在上单调递减.从而对于任意的，总有，即在上恒成立，故符合题意.

②当时，，对于，，故在上单调递增.因此当取时，，即不成立.

故不合题意.

综上，k的最小值为.

（3）证明：当n=1时，不等式左边==右边，所以不等式成立.

当时，

在（2）中取，得，

从而

所以有

综上，，

2．

【详解】

试题分析：（1）求a,b的值,根据曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，列方程组,即可求出的值；（2）求k的取值范围．,先求出的解析式,由已知时，设,求导函数，确定函数的极值点，进而可得时，函数在区间上的最大值为；时，函数在在区间上的最大值小于，由此可得结论．

试题解析：（1）,因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，所以,所以;

（2）当时，，，，令，则，令，得，所以在与上单调递增，在上单调递减，其中为极大值，所以如果在区间最大值为，即区间包含极大值点，所以．

考点：导数的几何意义，函数的单调性与最值．

3．（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】

若则列表如下

(2) 在两边取对数, 得,由于所以

(1)

由(1)的结果可知,当时,,

为使(1)式对所有成立,当且仅当,即

4．（1）；（2）.

【分析】

（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；

（2）先判断的取值范围，再代入分段函数解析式，得到的具体不等式写法，解不等式即可.

【详解】

解：（1）因为，

所以，因为，

所以.

（2）因为，

则，

因为，所以，

即，解得.

5．（1）；（2）.

【分析】

（1）本题可根据对数函数的性质得出恒成立，然后通过即可得出结果；

（2）本题首先可根据得出，然后通过计算即可得出结果.

【详解】

（1）因为函数的定义域是，

所以恒成立，

则，解得，的取值范围为.

（2），即，

因为，所以，即，解得，

故不等式的解集为.

6．：（Ⅰ）；

（Ⅱ）的单调增为单调减区为.

（Ⅲ）见解析

【详解】

试题分析：(1)根据导数的几何意义，可知，所以先求函数的导数，然后代入，即得.

(2)根据导数求函数的单调区间，第一步先求，因为，所以，第二步，令，求，或的解集，即为函数的单调增，减区间；

（3）第一步先求函数，再设，第二步求，以及求函数的极值点，分析两侧的单调性以及最大值，第三步，分析当时，，所以，即命题成立.

试题解析：解 (1)由f(x)＝，

得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，

由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．

所以f′(1)＝0，因此k＝1.

(2)由(1)得f′(x)＝ (1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)，

令h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，

当x∈(0,1)时，h(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0.

又ex＞0，所以x∈ (0,1)时，f′(x)＞0；

x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0.

因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)

(3)因为g(x)＝xf′(x)，

所以g(x)＝ (1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)，

由(2)得，h(x)＝1－x－xln x，

求导得h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－ln e－2)．

所以当x∈(0，e－2)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增；

当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减．

所以当x∈(0，＋∞)时，h(x)≤h(e－2)＝1＋e－2.

又当x∈(0，＋∞)时，0＜＜1，

所以当x∈(0，＋∞)时， h(x)＜1＋e－2，即g(x)＜1＋e－2.

综上所述结论成立

考点：导数的综合应用

7．（1） （2）

【详解】

（I）设；则

①当时，在上是增函数

得：当时，的最小值为

②当时，

当且仅当时，的最小值为

（II）

由题意得：

8．见解析

【考点定位】本题主要考查函数的导数、导数应用、二次函数的性质、函数的零点等基础知识啊，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查数形结合思想、转化化归思想、分了讨论思想、有限与无线思想

【解析】、

视频

9．（1）（2）

（3）见解析

【解析】

（1）因为，由点在上，可得

因为，所以

又因为切线的斜率为，所以，所以

（2）由（1）可知，

令，即在上有唯一的零点．

在上，，故单调递增；而在上，，单调递减，故在的最大值为．

（3）令，则

在上，，故单调递减，而在上，，单调递增，

故在上的最小值为，所以即，令，得，即所以，即由（2）知，，故所证不等式成立．

【点评】本题考查多项式函数的求导，导数的几何意义，导数判断函数的单调性，求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归，分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值，最值等；另外，要注意含有等的函数求导的运算及其应用考查

10．（1）或；（2）．

【分析】

（1）当时，由函数在区间上是减函数求解；，当时，函数在区间上是增函数求解；

（2）根据的定义域是，由恒成立求解．

【详解】

（1）当时，函数在区间上是减函数，

因此当时，函数取得最大值16，即，

因此．

当时，函数在区间上是增函数，

当时，函数取得最大值16，即，

因此．

（2）因为的定义域是，

即恒成立．

则方程的判别式，即，

解得，

又因为或，因此．

代入不等式得，即，

解得，

因此实数的取值范围是．

11．（1）1；（2）y＝x＋7．

【分析】

（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率k＝＝，代入即可求得斜率；

（2）由（1）中直线AB的斜率，根据导数的几何意义求得M点坐标，设直线AB的方程为y＝x＋m，与抛物线联立，求得根，结合弦长公式求得AB，由知，|AB|＝2|MN|，从而求得参数m.

【详解】

解：（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，

于是直线AB的斜率k＝＝＝1．

（2）由y＝，得y′＝．

设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1)．

设直线AB的方程为y＝x＋m，

故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|．

将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0．

当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2．

从而|AB|＝|x1－x2|＝．

由题设知|AB|＝2|MN|，即＝2(m＋1)，

解得m＝7．

所以直线AB的方程为y＝x＋7．

12．（1）答案见解析；（2）

【分析】

（1）根据指数函数的图象特点作出的图象，再根据一次函数的特点作出的图象即可；

（2）当时，解不等式，当，解不等式即可求解.

【详解】

（1）函数的图象如图所示：

（2），

当时， ，可得：，

当，，可得：，

所以的解集为：，

所以的取值范围为.

13．（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.

【分析】

（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；

（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.

【详解】

（1）当时，，则，，，

此时，曲线在点处的切线方程为，即；

（2）因为，则，

由题意可得，解得，

故，，列表如下：

所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.

当时，；当时，.

所以，，.

14．（1）图像见解析；（2）

【分析】

（1）分段去绝对值即可画出图像；

（2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求.

【详解】

（1）可得，画出图像如下：

，画出函数图像如下：

（2），

如图，在同一个坐标系里画出图像，

是平移了个单位得到，

则要使，需将向左平移，即，

当过时，，解得或（舍去），

则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.

【点睛】

关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.

15．（1）的单调递增区间为；的单调递减区间为．（2），； 证明见解析

【分析】

（1）先求函数的导数，再根据导函数的正负和原函数的关系可得答案．

（2）先求出的值然后代入到放缩可得答案．

根据知，然后用数学归纳法证明即可．

【详解】

（1）因为，所以函数定义域为，且．

由得，的单调递增区间为；

由’ 得，的单调递减区间为．

（2）因为在，上是减函数，所以，

则．

因为对恒成立．所以对恒成立．

则对恒成立．

设，，则对恒成立．

考虑．

因为，

所以在，内是减函数；则当时，随的增大而减小，

又因为．

所以对一切，，因此，即实数的取值范围是，．

（ⅱ）由（ⅰ）知．

下面用数学归纳法证明不等式

①当时，左边，右边，左边右边．不等式成立．

②假设当时，不等式成立．即．

当时，

，

即时，不等式成立

综合①、②得，不等式成立．

所以，

所以．

即．