考点56 空间几何体计算问题——面面角

考点56 空间几何体计算问题——面面角

一、单选题

1．如图.是圆的直径，，，是圆上一点(不同于，)，且，则二面角的平面角为（    ）

A． B． C． D．

2．在等腰直角中，，M为的中点，沿把折成二面角，折后A与C的距离为，则二面角的大小为（    ）

A． B． C． D．

3．已知菱形满足，，现将沿直线进行翻折，当时，二面角的平面角的大小是（    ）

A． B． C． D．

4．AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P­-BC­-A的大小为（    ）

A．60° B．30°

C．45° D．15°

5．如图，正方体的棱长为1，E、F分别为棱AD、BC的中点，则平面与底面ABCD所成的二面角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

6．已知四面体中，，，，则二面角的余弦值为

A． B． C． D．

7．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B′AC＝60°．那么这个二面角大小是（　　　　）

A．30° B．60° C．90° D．120°

8．在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的平面角的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．长方体，，，点在长方体的侧面上运动，，则二面角的平面角正切值的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

10．正四棱锥相邻侧面所成二面角的平面角为，则面与底面所成二面角的平面角为，则的值为（    ）

A．1 B．0.5 C．0 D．-1

11．将半径为的圆剪去如图所示的阴影部分(，为圆的直径)，沿图所画的线折成一个正三棱锥，这个正三棱锥侧面与底面所成的二面角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

12．在边长为的正三角形中，于点，沿折成二面角后，，这时二面角的大小为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知点分别在正方体的棱、上，且，，侧面与面所成的二面角的正切值等于_______.

14．已知点在二面角的棱上，点在内，且．若对于内异于的任意一点，都有，则二面角的大小是_________．

15．在正方体中，二面角的大小是________.

16．已知为锐二面角内一点，且到两个半平面及棱的距离之比为，则此二面角的度数为________．

参考答案

1．C

【分析】

由圆的性质知：，根据线面垂直的判定得到面，即，结合二面角定义可确定二面角的平面角.

【详解】

∵是圆上一点(不同于，)，是圆的直径，

∴，，，即面，而面，

∴，又面面，，

∴由二面角的定义：为二面角的平面角.

故选：C

2．A

【分析】

根据题意，求得各个边长， 且，根据二面角的定义，可得是二面角的平面角，结合余弦定理，即可得答案.

【详解】

因为为等腰直角三角形，且，M为的中点，

所以折之前，，，

折之后，，，

所以是二面角的平面角，

在中，由余弦定理得，

因为，所以.

故选：A.

3．C

【分析】

设，由菱形的性质得出就是二面角的平面角，

求出的边长可得答案.

【详解】

设，菱形满足，，，

所以，即，所以就是二面角的平面角，由于，所以，所以是等边三角形，

所以.

故选：C.

4．C

【分析】

根据面面角的定义先找出二面角P­-BC­-A的平面角为∠PCA，再在直角三角形PCA进行求角即可.

【详解】

∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．

易得BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，

∴BC⊥PC，∴∠PCA为二面角P­-BC­-A的平面角．

在Rt△PAC中，PA＝AC，

∴∠PCA＝45°．

故选：C

【点睛】

作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.

5．B

【分析】

显然平面，所以就是平面与底面ABCD所成的二面角的平面角，再解三角形即可.

【详解】

解：在正方体中，平面，

E、F分别为棱AD、BC的中点，所以，所以平面，

所以，

所以就是平面与底面ABCD所成的二面角的平面角，

，

故选：B.

【点睛】

思路点睛：按照二面角的平面角的定义先找到平面角，再求角.找角时注意找与二面角的棱垂直的平面与两个半平面的交线就是平面角，求角时一般是解三角形，二面角平面角的范围是，基础题.

6．B

【分析】

在上取，过作，交于，作，交于，连接，从而得到为二面角的平面角，在中，利用余弦定理求出，从而得到答案.

【详解】

在上取，过作，交于，

作，交于，连接，

所以为二面角的平面角，

在中，，，

所以，，

在中，，，

所以，，

因为，所以，

在中，由余弦定理得

.

所以二面角的余弦值为.

故选：B.

【点睛】

本题考查了二面角的平面角，求二面角的大小，余弦定理解三角形，属于简单题.

7．C

【分析】

根据折的过程中不变的角的大小、结合二面角的定义进行判断即可.

【详解】

因为AD是等腰直角△ABC斜边BC上的高，所以

，因此是二面角的平面角，

∠B′AC＝60°．所以是等边三角形，因此，在中

.

故选：C

【点睛】

本题考查了二面角的判断，考查了数学运算能力，属于基础题.

8．A

【分析】

采取极限思想，两种思路：一是棱锥的顶点无限趋近于底面（即高无限趋近于0），得相邻两侧面所成的二面角的极限结果，再让顶点离底面距离无限大（或高不变，底面无限小趋近于一点），再得相邻两侧面所成的二面角的极限值，由此可得范围．

【详解】

当正n棱锥的顶点无限趋近底面正多边形的中心时，则底面正多边形便为极限状态，此时棱锥相邻侧面所成的二面角，且小于；当锥高无穷大且底面相对固定不变时，或底面无穷小而锥高相对固定不变时，正n棱锥又是另一种极限状态，此时，且大于，

故选：A.

9．B

【分析】

根据题中的线面关系建立空间坐标系，运用空间向量求解即可.

【详解】

如图以点D为坐标原点建立空间坐标系

设点P的坐标为 图中各点的坐标表示如下：

B(1，1，0)，D1(0，0，2)，A(1，0，0)

，又

即，，所以

所以点P在平面BCC1B1内的轨迹为由点C到BB1四等分点（靠近B点）的一条线段，

且点P由C点向BB1四等分点移动过程中，二面角B-AD-P逐渐增大

当点P位于C点处时，二面角B-AD-P最小，最小值为0

当点P为与BB1四等分点处时，二面角B-AD-P最大，此时，

即为二面角B-AD-P的平面角，

所以二面角B-AD-P正切值的取值范围为[0，].选项ACD错误，选项B正确

故选：B.

10．D

【分析】

由题可知为钝角，把棱锥的高想成无穷大，可得出，在由三角函数值可求出答案.

【详解】

显然为钝角，当棱锥的高充分大时，可有，从而，由此可得，

故选：D.

11．A

【分析】

根据题中条件，得到折成的正三棱锥的侧面是顶角为，腰长为的等腰三角形，即三棱锥的侧棱长为；求出底面边长，以及底面三角形的高，与侧面三角形的高，结合二面角的概念，由余弦定理，即可求出结果.

【详解】

由题意，在圆中，，，，则，

所以折成的正三棱锥的侧面是顶角为，腰长为的等腰三角形，即三棱锥的侧棱长为；

所以底面边长为

，

画出该三棱锥的直观图如下：

记点在底面的投影为，根据正三棱锥的特征可得，点即为底面正三角形的重心，

又侧面上的高，底面三角形中 ，

所以即为正三棱锥侧面与底面所成的二面角的平面角，

又，，

所以.

故选：A.

【点睛】

思路点睛：

求解二面角时，可根据二面角的定义，通过作辅助线，得出二面角的平面角，再由题中数据，通过解三角形，即可求出结果.

12．C

【分析】

由题意可知就是二面角的平面角，进而利用余弦定理求出结果即可.

【详解】

解：由正三角形中，，可知就是二面角的平面角，

，

的范围是，

，即二面角的大小为60°.

故选：C.

【点睛】

本题考查二面角的求法，考查余弦定理在几何中的应用，考查分析问题能力与运算求解能力，属于基础题.

13．

【分析】

由题意画出正方体的图形，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是，求出BP与正方体的棱长的关系，然后求出面AEF与面ABC所成的二面角的正切值．

【详解】

由题意画出图形如图：

因为E、F分别在正方体的棱、上，

延长CB、FE交点为S连接AS，过B作连接PE，

所以面AEF与面ABC所成的二面角就是，

因为，，

所以，所以，

设正方体的棱长为，所以，，，

在中，，

故答案为.

【点睛】

本题是基础题，考查二面角的平面角的正切值的求法，解题的关键是能够作出二面角的棱，作出二面角的平面角，考查计算能力，逻辑推理能力．

14．

【详解】

点在内，内异于的任意一点，都有，

所以与平面所成的角为，

过做于，连，则，

过做于，连，

因为，所以，

又，

所以平面，所以，

即，

，

，

所以重合，所以，

，

即二面角的大小是.

故答案为：.

15．

【分析】

在正方体中，，则是二面角的平面角，即可得出答案.

【详解】

在正方体中，平面.

所以

所以是二面角的平面角.

在直角中，，所以

故答案为：

【点睛】

本题考查求二面角的大小，求二面角的常见方法有定义法和向量法，属于基础题

16．

【分析】

画图，设锐二面角为，作，，，连接，再分别计算正弦值可得，，进而求得此二面角的度数.

【详解】

设锐二面角为，作，，，连接.

易得为二面角的平面角，又，故,，且锐二面角.故，.

故，即此二面角的度数为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了三角函数的运用、二面角的计算等，需要根据题意作出对应的角度求解.属于基础题.